Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R hoorcollege

Metrische ruimten (11)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r )

:= {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0 ∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦.

Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r )

:= {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0 ∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E .

Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0 ∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦.

Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E .

Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦. Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦.

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦. Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦. Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦. Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

2 De vereniging van een willekeurige collectie open verzamelingen is weer open.

3 De doorsnede van eindig veel open verzamelingen is weer open.

Open verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte en s₀ ∈ S.

De open bol met straal r > 0 om s₀ is B(s0, r ) := {s ∈ S : d (s0, s) < r }.

Als E ⊆ S en s0∈ E , dan noemen we s₀ eeninwendig punt van E als er een r > 0 bestaat zodat B(s₀, r ) ⊆ E .

We schrijven E^◦ voor de verzameling van inwendige punten in E : hetinwendige.

We noemen E openin S als elk punt van E inwendig is, dus als E = E^◦. Eigenschappen van open verzamelingen:

1 S en ∅ zijn open in S.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U. We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F .

De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F .

verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F .

De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F .

verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦.

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

3 De vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Gesloten verzamelingen

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

We noemen U ⊆ S open als voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

De rand ∂E van E is de verzameling E⁻\ E^◦. Eigenschappen van gesloten verzamelingen:

1 S en ∅ zijn gesloten in S.

2 De doorsnede van elke collectie gesloten verzamelingen is weer gesloten.

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1)

open (0, 1) [0, 1]

[0, 1]

gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R

open en gesloten R R

∅

open en gesloten ∅ ∅

[0, 1) ∪ (1, 2]

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r )

het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) [0, 1]

gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R

open en gesloten R R

∅

open en gesloten ∅ ∅

[0, 1) ∪ (1, 2]

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ).

Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1)

open (0, 1) [0, 1]

[0, 1]

gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R

open en gesloten R R

∅

open en gesloten ∅ ∅

[0, 1) ∪ (1, 2]

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) [0, 1]

gesloten (0, 1) [0, 1]

(0, 1) [0, 1]

open en gesloten R R

open en gesloten ∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open

(0, 1) [0, 1]

[0, 1]

gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R

open en gesloten R R

open en gesloten ∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open

[0, 1] gesloten

(0, 1) [0, 1] (0, 1) [0, 1]

open en gesloten R R

open en gesloten ∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open

(0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten

(0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R open en gesloten

R R

open en gesloten ∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open

[0, 1] gesloten

(0, 1) [0, 1] (0, 1) [0, 1]

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1)

[0, 1]

[0, 1] gesloten

(0, 1) [0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R open en gesloten

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten

(0, 1) [0, 1]

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1)

[0, 1]

[0, 1)

(0, 1) [0, 1]

R open en gesloten

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1) (0, 1) [0, 1]

R open en gesloten

R R

∅ ∅

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1) (0, 1) [0, 1]

R open en gesloten R R

(0, 1) ∪ (1, 2) [0, 2]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

Voorbeelden

Zij (S , d ) een metrische ruimte.

Als E ⊆ S dan is hetinwendigeE^◦ de verzameling van alle s₀ ∈ E waarvoor er r > 0 bestaat zodat B(s0, r ) ⊆ E .

We noemen U ⊆ S openals voor elke s₀ ∈ U er een r > 0 is zodat B(s₀, r ) ⊆ U.

We noemen F ⊆ S gesloten als het complement S \ F open is.

Voor een willekeurige E ⊆ S defini¨eren we de afsluitingE⁻ van E als de

doorsnede van alle gesloten F zodat E ⊆ F . De afsluiting is “de kleinste gesloten verzameling die E bevat”.

Merk op: in R is B(s0, r ) het interval (s₀− r , s₀+ r ). Bekijk

E type E^◦ E⁻

(0, 1) open (0, 1) [0, 1]

[0, 1] gesloten (0, 1) [0, 1]

[0, 1) (0, 1) [0, 1]

R open en gesloten R R

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (sn) in E is met sn→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (sn) in E is met sn→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (sn) in E is met sn→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻ We bewijzen 2,

“⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻ We bewijzen 2, “⇒”:

Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E .

Stel dat s₀ 6∈ E

, dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E

, dus s₀∈ S \ E . S \ E is open

0

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s₀, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open

, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

n 0

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .

Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E

, dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak

: x_{n 0}, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak

: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀

B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak: x_n→ s₀

, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀

B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”:

Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀

B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!

Gesloten en afsluiting

Propositie 13.9

Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan

1 E is gesloten desda E = E⁻

2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt

3 s ∈ E⁻ desda er een rij (s_n) in E is met s_n→ s

4 s ∈ ∂E desda s ∈ E⁻ en s ∈ (S \ E )⁻

We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat x_n → s₀ een convergente rij in E . Stel dat s₀6∈ E , dus s₀∈ S \ E .

S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.

Tegenspraak: x_n→ s₀, dus d (x_n, s₀) → 0.

“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.

Dan is er s₀ ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.

Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s₀, 1/n) ∩ E . d (x_n, s₀) → 0

⇒ x_n→ s₀ ⇒ s₀ ∈ E . Tegenspraak!