0 1
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
2
En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2 En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2 En herhalen:
0 1
F3
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2 En herhalen:
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1 F2 En herhalen: 0 1 F3 Merk op:
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3 Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is geslotenFn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 23n.
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op:
Iedere Fn is gesloten
, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 23n.
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten
, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 3 .
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 23n.
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 3 .
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n.
Totaal: 23n. F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 1n. Totaal:
2 3
n . F heeft totale lengte
limn→∞ 3 = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n. Totaal: 23n.
F heeft totale lengte
limn→∞ 23n = 0.
Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 1n. Totaal: 2n.
limn→∞ 23n = 0. Het inwendige F◦ van F
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n. Totaal: 23n. F heeft totale lengte lim 2n
= 0. Het inwendige F◦ van F
is leeg.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 1n. Totaal: 2n.
Het inwendige F◦ van F F is overaftelbaar.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n. Totaal: 23n. F heeft totale lengte lim 2n = 0.
is leeg. F is overaftelbaar.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
De Cantorverzameling
0 1 F0 0 13 23 1 F1 0 19 29 13 23 79 89 1 F2 0 1 F3Neem nu de “limiet” F =T∞n=1Fn. Merk op: Iedere Fn is gesloten, dus F ook.
Fn bestaat uit 2n intervallen van lengte 13n. Totaal: 23n. F heeft totale lengte lim 2n = 0.
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt.
We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat.
We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op
: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Compactheid
Zij (S , d ) een metrische ruimte en E ⊆ S .
Een collectie (Uα)α∈A heet een open overdekkingvan E als elke Uα⊆ S open is en geldt E ⊆S
α∈AUα.
Een deeloverdekkingvan (Uα)α∈A is een deelcollectie die nog steeds E overdekt. Een (deel)overdekking heet eindig als deze uit eindig veel verzamelingen bestaat. We noemen E compactals elke overdekking van E een eindige deeloverdekking heeft.
Merk op: het interval (0, 1) ⊆ R is niet compact.
Stelling van Heine-Borel (13.12)