Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )− We bewijzen 2,
“⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )− We bewijzen 2, “⇒”:
Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s0 6∈ E
, dus s0
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E .
Stel dat s0 6∈ E
, dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E
, dus s0∈ S \ E . S \ E is open
0
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open
, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E .
Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E
, dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak
: xn 0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n.
Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak
: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0
B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0
, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0
B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”:
Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0
B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E . Stel S \ E is niet open.
Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
zodat voor alle r > 0 geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E .
Stel S \ E is niet open. Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0
geldt B(s0, r ) 6⊂ S \ E , oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅.
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
, oftewel B(s0, r ) ∩ E 6= ∅. Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E .
Stel S \ E is niet open. Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt
Voor n ∈ N, neem xn∈ B(s0, 1/n) ∩ E . d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
d (xn, s0) → 0
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E .
Stel S \ E is niet open. Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E .
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.
“⇐”: Stel E bevat de limiet van iedere convergente rij in E .
Stel S \ E is niet open. Dan is er s0 ∈ S \ E zodat voor alle r > 0 geldt
Gesloten en afsluiting
Propositie 13.9
Zij E een deelverzameling van een metrische ruimte (S , d ). Dan
1 E is gesloten desda E = E−
2 E is gesloten desda voor elke rij in E die convergeert, de limiet in E ligt
3 s ∈ E− desda er een rij (sn) in E is met sn→ s
4 s ∈ ∂E desda s ∈ E− en s ∈ (S \ E )−
We bewijzen 2, “⇒”: Zij E gesloten en laat xn → s0 een convergente rij in E . Stel dat s06∈ E , dus s0∈ S \ E .
S \ E is open, dus er is r > 0 zodat B(s0, r ) ⊂ S \ E . Dan d (y , s0) > r voor y ∈ E , dus d (xn, s0) > r voor alle n. Tegenspraak: xn→ s0, dus d (xn, s0) → 0.