Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fn willekeurig
en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs
: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fn willekeurig
n
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok.
Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fn willekeurig
en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg.
Kies ~xn∈ Fn willekeurig
n
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig
en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` 0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij
~xn` → ~x0. Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn` ∈ Fn` ⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0.
Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` n` n` n.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast.
Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n
en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` 0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn.
Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n
ligt geheel in Fn en ~xn` 0. Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n ligt geheel in Fn
en ~xn` → ~x0. Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 n. Dit geldt voor alle n, dus ~x0 ∈ F .
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
Vanwege geslotenheid van Fn geldt ~x0 ∈ Fn.
Doorsnedes van gesloten verzamelingen
Stelling 13.10
Zij (Fn) een rij gesloten begrensde niet-lege verzamelingen in Rk met F1 ⊇ F2⊇ · · · . Dan is F =T∞n=1Fn ook begrensd, gesloten en niet-leeg.
Bewijs: gesloten en begrensd is ok. Te bewijzen: niet-leeg. Kies ~xn∈ Fnwillekeurig en bekijk de rij (~xn).
Volgens Bolzano-Weierstrass heeft de rij een convergente deelrij ~xn` → ~x0. Kies nu n vast. Voor alle ` ≥ n geldt n` ≥ n en dus ~xn`∈ Fn`⊆ Fn. Dus de rij ~xn`∞`=n ligt geheel in Fn en ~xn` → ~x0.
De Cantorverzameling
Neem het interval [0, 1]:
0 1
F0
Deel het in drie¨en en haal het (open) middelste stuk weg:
0 13 23 1
F1
Doe nu hetzelfde op de twee stukken:
0 19 29 13 23 79 89 1
F2
En herhalen:
0 1
F3