Analyse: van R naar R hoorcollege
Uniforme convergentie (4)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1].
Dan wordt de puntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn= (
0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn
gegeven door f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn= (
0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x )
= lim
n→∞xn= (
0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn
= (
0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn= (
0 als x < 1, 1 als x = 1. We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn= (
0
als x < 1,
1 als x = 1. We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1,
1 als x = 1. We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1,
1
als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1]. Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ). In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ).
In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ).
In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N. Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ).
In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N.
Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Puntsgewijze convergentie
Bekijk de rij van functies fn(x ) = xn op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn gegeven door
f (x ) := lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞xn=
(0 als x < 1, 1 als x = 1.
We zien dat f niet continu is op [0, 1].
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt
n→∞lim fn(x ) = f (x ).
In symbolen betekent dit
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N.
Belangrijk is dat N hier van x afhangt.
Uniforme convergentie
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N.
We kunnen dit sterker maken door de N in de definitie onafhankelijk van x te laten zijn: Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Uniforme convergentie
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N.
We kunnen dit sterker maken door de N in de definitie onafhankelijk van x te laten zijn:
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Uniforme convergentie
Definitie 24.1
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) puntsgewijs convergeertnaar f als
∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < als n > N.
We kunnen dit sterker maken door de N in de definitie onafhankelijk van x te laten zijn:
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn → f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn → f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn → f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1].
Gezien is dat fn → f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs
, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1.
Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is
, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N
en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1) als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fn(x )| < voor alle x ∈ [0, 1) als n ≥ N.
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|fN(x )| < voor alle x ∈ [0, 1).
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|xN| < voor alle x ∈ [0, 1).
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|xN| < voor alle x ∈ [0, 1).
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1).
Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|xN| < voor alle x ∈ [0, 1).
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1.
We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We bekijken nogmaals fn(x ) = xn op [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor
> 0 er een N zijn zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus
|xN| < voor alle x ∈ [0, 1).
Neem nu x = 2−1/N∈ (0, 1). Dan is |xN| = 2−1. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R.
Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R.
Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0|
=
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx )
≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n. Dus we zien dat voor N = 1
geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Voorbeeld van uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Bekijk fn(x ) = n1sin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt
|fn(x ) − 0| =
1nsin(nx ) ≤ 1n.
Dus we zien dat voor N = 1 geldt |fn(x )| < als n > N.
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)| ≤ |f (x ) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|. Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0.
We bekijken
|f (x) − f (x0)| ≤ |f (x ) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|. Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|
≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|. Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie
is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S .
Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN
is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ
geldt |f (x ) − f (x0)| < 3+ 3+3 = .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+3 +3
= .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 24.3
Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke fn continu is in x0 ∈ S, dan is f dat ook.
Bewijs: zij > 0. We bekijken
|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − fN(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.
Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt
|f (x) − fN(x )| < 3 voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat
|fN(x ) − fN(x0)| < 3 als |x − x0| < δ.
Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x0)| < 3+3 +3 = .
Suprema en uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We kunnen dit herformuleren als volgt:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| < als n > N oftewel
n→∞lim sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| = 0.
E´en manier om uniforme convergentie aan te tonen is dus om het maximum van
|fn(x ) − f (x )| te bepalen en te laten zien dat dit naar 0 gaat als n → ∞.
Suprema en uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We kunnen dit herformuleren als volgt:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| < als n > N
oftewel
n→∞lim sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| = 0.
E´en manier om uniforme convergentie aan te tonen is dus om het maximum van
|fn(x ) − f (x )| te bepalen en te laten zien dat dit naar 0 gaat als n → ∞.
Suprema en uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We kunnen dit herformuleren als volgt:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| < als n > N oftewel
n→∞lim sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| = 0.
E´en manier om uniforme convergentie aan te tonen is dus om het maximum van
|fn(x ) − f (x )| te bepalen en te laten zien dat dit naar 0 gaat als n → ∞.
Suprema en uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
We kunnen dit herformuleren als volgt:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| < als n > N oftewel
n→∞lim sup
x ∈S
|fn(x ) − f (x )| = 0.
E´en manier om uniforme convergentie aan te tonen is dus om het maximum van
|fn(x ) − f (x )| te bepalen en te laten zien dat dit naar 0 gaat als n → ∞.
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx .
Bewijs: zij > 0. We bekijkenEr bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx .
Bewijs: zij > 0. We bekijkenEr bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx . Bewijs
: zij > 0. We bekijkenEr bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx . Bewijs: zij > 0.
We bekijkenEr bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx . Bewijs: zij > 0. We bekijken
Er bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx . Bewijs: zij > 0. We bekijken
Er bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx . Bewijs: zij > 0. We bekijken
Er bestaat N zodat voor n > N geldt
|fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b].
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx .
Bewijs: zij > 0. Er bestaat N zodat voor n > N geldt |fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b]. We bekijken
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx .
Bewijs: zij > 0. Er bestaat N zodat voor n > N geldt |fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b]. We bekijken
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx
= .
Uniforme convergentie en integraal
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Stelling 25.2
Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx .
Bewijs: zij > 0. Er bestaat N zodat voor n > N geldt |fn(x ) − f (x )| < b−a voor alle x ∈ [a, b]. We bekijken
Z b a
fn(x ) dx − Z b
a
f (x ) dx
=
Z b a
fn(x ) − f (x ) dx
≤ Z b
a
fn(x ) − f (x ) dx .
≤ Z b
a
b − adx = .
Uniform Cauchy
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Eenvoudig in te zien: als (fn) uniform convergent, dan ook uniform Cauchy.
Uniform Cauchy
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Eenvoudig in te zien: als (fn) uniform convergent, dan ook uniform Cauchy.
Uniform Cauchy
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Eenvoudig in te zien: als (fn) uniform convergent, dan ook uniform Cauchy.