Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Convergentie van reeksen, vervolg (2)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0

1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0

1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0

1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0

1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0

1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat

Z n 1

f (t) dt

≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k

≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an< ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Stel dat we een reeksP a_n hebben waarbij a_n= f (n) voor een zekere dalende positieve functie f .

1 2 3 4 5

1 2

0 1 2 3 4 5

1 2

0

We zien dat Z n

1

f (t) dt ≤

n

X

k=1

a_k,

n

X

k=2

a_k ≤ Z n

1

f (t) dt.

Dus: P∞

n=1an < ∞ dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert: Z ∞

1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1: Z ∞

1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1: Z ∞

1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt

=



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1: Z ∞

1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1: Z ∞

1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1: Z ∞

1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt

=

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1. En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

= (

1/(p − 1)

als p > 1

∞ als p < 1. En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1. En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞

als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞ 1 t⁻¹dt

= [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁

= ∞. Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞.

Bewezen: Stelling 15.1

De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Integralen en sommen

Integraalkenmerk

ZijP a_n een reeks zodat an= f (n) voor een dalende positieve functie f . Dan geldt datP∞

n=1an convergeert dan en slechts dan alsR∞

1 f (t) dt < ∞.

Hiermee kunnen we inzien datP ₁

n² convergeert:

Z ∞ 1

1 t² dt =



−1 t

∞ 1

= 1.

Meer algemeen bekijken weP ₁

n^p voor p 6= 1:

Z ∞ 1

t^−pdt =

 1 1 − pt^1−p

∞ 1

=

(1/(p − 1) als p > 1

∞ als p < 1.

En voor p = 1 krijgen weR∞

1 t⁻¹dt = [log t]^∞₁ = ∞. Bewezen:

Stelling 15.1 De reeksP ₁

n^p convergeert desda p > 1.

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=P_n

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen. De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3

a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3

a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4

a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4

a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend

en (s_2n+1) is dalend. Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1

≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1 ≤ s₁

en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1 ≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n

≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1 ≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂

voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5

Alternerende reeksen

Stelling 15.3

Zij a1 ≥ a₂ ≥ · · · een dalende rij van positieve getallen met lim a_n= 0. Dan convergeertP(−1)ⁿ⁺¹a_n.

We schrijven s_n=Pn

k=1(−1)^k+1a_k voor de parti¨ele sommen.

De deelrij (s_2n) is stijgend en (s_2n+1) is dalend.

Er geldt s_2n≤ s_2n−1 ≤ s₁ en s_2n+1≥ s_2n≥ s₂ voor alle n.

Dus de begrensde monotone rijen (s2n) en (s2n+1) hebben eindige limieten

, zeg s_2n→ s en s_2n+1 → t. Dan volgt

t − s = lim

n→∞s_2n+1− lim

n→∞s_n= lim

n→∞(s_2n+1− s_2n) = lim

n→∞a_2n+1= 0.

Er volgt t = s

, dus limn→∞sn= s.

n

1 2 3 4 5

a1= s1

s2

s3

s4

s5

a2

a3 a4 a5