Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als ∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Uniform Cauchy
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als ∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Uniform Cauchy
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als ∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗)
dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen.
Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗)
dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N. Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen.
Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen.
Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N. Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen.
Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert
; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗).
Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S
Volledigheid
Stelling 25.4
Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fn uniform naar een zekere functie f op S .
We hebben
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
|fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < als n, m > N.
Voor elke x is de rij fn(x ) dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert; definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).
Zij > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat |f (x) − fm(x )| = lim n→∞fn(x ) − fm(x ) = lim n→∞|fn(x ) − fm(x )| ≤ Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.