Zomercursus Wiskunde A Week 2, les 2

Zomercursus Wiskunde A

Week 2, les 2

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

19 juli 2011

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein x³− 3x

R (alle getallen)

√x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³− 3x R (alle getallen)

√x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen) x

x ≥ 0 x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x

√ R

x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4

x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3)

x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂

2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4

x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0.

De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2.

Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4 x³log (x²− 4)

x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1 x²+ 2x − 3

x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op x²− 4 > 0. De vergelijking x²− 4 = 0 heeft als oplossingen ±2. Plaatje:

-2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1

0

y = x²− 4

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1 x²+ 2x − 3

x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1 x²+ 2x − 3

x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0,

dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1 x²+ 2x − 3

x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1

x⁻¹ x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹

x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

We lossen op

x²+ 2x − 3 = 0.

Dit geeft

(x + 3)(x − 1) = 0, dus x = −3 of x = 1.

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

In het algemeen

wat onder een wortel staat moet ≥ 0 zijn wat in een logaritme staat moet > 0 zijn

wat in een noemer staat moet 6= 0 zijn

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

In het algemeen

wat onder een wortel staat moet ≥ 0 zijn

wat in een logaritme staat moet > 0 zijn

wat in een noemer staat moet 6= 0 zijn

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

In het algemeen

wat onder een wortel staat moet ≥ 0 zijn wat in een logaritme staat moet > 0 zijn

wat in een noemer staat moet 6= 0 zijn

Domein

Het domein van een functie f bestaat uit alle x waarvoor f (x ) gedefinieerd is.

f (x ) Domein

x³√− 3x R (alle getallen)

x x ≥ 0

x²− 2^x R

√x + 4 x ≥ −4

2log (2x − 3) x > ³₂ 2^x+ 4

x − 4 x 6= 4

x³log (x²− 4) x > 2 of x < −2

√x − 1

x²+ 2x − 3 x ≥ 0 en x 6= 1 x⁻¹ x 6= 0

In het algemeen

wat onder een wortel staat moet ≥ 0 zijn wat in een logaritme staat moet > 0 zijn

wat in een noemer staat moet 6= 0 zijn

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0

y = x²

bereik y ≥ 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1 2 3 4 5 6

0

y = x²+ 2

bereik y ≥ 2

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

0 y = 2^x

bereik y > 0

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-2 -1 1 2

1

0

y = 2^−x2

bereik 0 < y ≤ 1

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3

0

y = −¹₂x²+ 2x + 1

bereik y ≤ 3

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3

0

y = −¹₂x²+ 2x + 1

bereik y ≤ 3

Bereik

Het bereik van een functie bestaat uit alle waardes die de functie aanneemt.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

0 y = x³

bereik R

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3

0

y = −¹₂x²+ 2x + 1

bereik y ≤ 3

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x².

Domein:

R.

Nulpunten:

x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein:

R. Nulpunten:

x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten:

x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten:

x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2. Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0

geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2. Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0,

dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2. Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0.

We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2. Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1). f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x )

= 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x

= x (4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4)

= 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0

geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0

of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0

⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0

⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1, dus x = 1 of x = −1.

Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1, dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x )

= 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1, dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4.

We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0)

= −4 maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)

Functieonderzoek

Bekijk f (x ) = x⁴− 2x². Domein: R.

Nulpunten: x⁴− 2x² = 0 geeft x²(x²− 2) = 0, dus x² = 0 of x²− 2 = 0. We vinden x = 0, x =√

2 en x = −√ 2.

Toppen:

maximum in (0, 0), minima in (1, −1) en (−1, −1).

f⁰(x ) = 4x³− 4x = x(4x²− 4) = 0 geeft x = 0 of

4x²− 4 = 0 ⇒ x²− 1 = 0 ⇒ x² = 1,

dus x = 1 of x = −1. Er geldt f⁰⁰(x ) = 12x²− 4. We vinden f⁰⁰(0) = −4

maximum in 0, f (0)
= (0, 0)

f⁰⁰(1)

= 8 minimum in 1, f (1)
= (1, −1)

f⁰⁰(−1)

= 8 minimum in −1, f (−1)
= (−1, −1)