Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Lengtes van krommen (23)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b].

We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b].

We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b]. We defini¨eren

Λ(P, γ)

=

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b]. We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b]. We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Krommes en lengte

Eenkromme is een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een kromme en P een partitie a = x0 < x1 < · · · < xn= b van [a, b]. We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu.

Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

fi(t) dt

n i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt

=

Z b a

fi(t) dt

n i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

, de vector van integralen van de componenten fi.

Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk²

=

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i²

=

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt

= Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt. Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t)

≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k.

Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk²

≤ Z b

a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt

= k~Jk Z b

a

kf (t)k dt. Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt.

Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Definieer

~J = Z b

a

f (t) dt =

Z b a

f_i(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk² =

n

X

i =1

J_i² =

n

X

i =1

J_i Z b

a

f_i(t) dt = Z b

a n

X

i =1

J_if_i(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk² ≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt.

Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿ continu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b].

Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(xi −1)k =

n

X

i =1

Z xi

xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b].

Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k

=

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt

voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞. Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P

, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞. Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0.

Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0. Omdat γ⁰ uniform continu is

, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0. Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0. Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i .

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k =

n

X

i =1

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

≤

n

X

i =1

Z x_i xi −1

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0. Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x₀ < · · · < x_n van [a, b] zodat x_i− x_{i −1} < δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(x_i)k <  als t ∈ (x_{i −1}, x_i).

Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi).

Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ Z xi

xi −1

kγ⁰(x_i)k + 
dt =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt

≤ Z xi

xi −1

kγ⁰(x_i)k + 
dt =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ Z xi

xi −1

kγ⁰(x_i)k + 
dt

=

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1}) =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1}) =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i− x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1}) =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i− x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + Z xi

xi −1

kγ⁰(xi) − γ⁰(t)k dt + (xi − x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1}) =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i− x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + Z x_i

xi −1

kγ⁰(x_i) − γ⁰(t)k dt + (x_i − x_{i −1})

Dus Z b

a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹ kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z xi

xi −1

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(x_i)k + 
(x_i − x_{i −1}) =

Z xi

xi −1

γ⁰(x_i) dt

+ (x_i − x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i− x_{i −1})

≤

Z x_i xi −1

γ⁰(t) dt

+

Z x_i xi −1

γ⁰(x_i) − γ⁰(t)
dt

+ (x_i − x_{i −1})

≤ kγ(x_i) − γ(x_{i −1})k + 2(x_i − x_{i −1})

Dus Z b

a

kγ⁰(t)k dt

≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(xi −1)k + 2(b − a).