Zomercursus Wiskunde A
Week 2, les 1
Gerrit Oomens
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
18 juli 2011
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14.
Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7?
Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7
en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3.
In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3
f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6
u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x f0(x )
= 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x f0(x ) = 7u62x
= 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
We kunnen nu machtsfuncties differenti¨eren:
f (x ) = x2−x +1, g (x ) = 3√
x − x +x14. Maar hoe differenti¨eren we h(x ) = (x2− 3)7? Dit is een samenstelling van de twee functies f (u) = u7 en u = x2− 3. In dit geval geldt de kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0.
f (u) = u7 u = x2− 3 f0(u) = 7u6 u0= 2x
f0(x ) = 7u62x = 14xu6 = 14x (x2− 3)6
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0
[f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies.
Bijv.: f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100
u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1
f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u)
= 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99
u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2
f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x )
= 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2
= 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100
, g (x ) = (√ x − 1)5
f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99
g (u) = u5 u =√ x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99
g (u) = u5 u =√ x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5
u =√ x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1
g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u)
= 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4
u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x
g0(x ) = 5u4· 1 2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x )
= 5u4· 1 2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√ x
= 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
De kettingregel [f (u)]0 = f0(u)u0 geeft afgeleides van samengestelde functies. Bijv.:
f (x ) = (2x − 1)100, g (x ) = (√ x − 1)5 f (u) = u100 u = 2x − 1 f0(u) = 100u99 u0 = 2 f0(x ) = 100u99· 2 = 200u99
= 200(2x − 1)99 g (u) = u5 u =√
x − 1 g0(u) = 5u4 u0 = 2√1x g0(x ) = 5u4· 1
2√
x = 5(√ x − 1)4 2√
x
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6
= (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6
h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6
u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5
h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7
u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x h0(x ) = −6u−7· 6x
= −36x (3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7
Nog een voorbeeld: f (x ) =√ 1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2.
f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u
u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2
f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u
u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x
f0(x ) = 1 2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x)
= − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√ u
= − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
Regels voor differenti¨ eren
Voorbeeld: h(x ) = (3x21−5)6 = (3x2− 5)−6 h(u) = u−6 u = 3x2− 5 h0(u) = −6u−7 u0= 6x
h0(x ) = −6u−7· 6x = −36x(3x2− 5)−7
= −36x
(3x2− 5)7 Nog een voorbeeld: f (x ) =√
1 − x2. f (u) =√
u u = 1 − x2 f0(u) = 2√1u u0 = −2x f0(x ) = 1
2√
u·(−2x) = − 2x 2√
u = − x
√1 − x2.
f (x ) f0(x )
1 0
x 1
x2 2x xn nxn−1
[f + g ]0= f0+ g0 [cf ]0= cf0 [f (u)]0= f0(u)u0
