Zomercursus Wiskunde A Week 3, les 2 Gerrit Oomens

(1)

Zomercursus Wiskunde A

Week 3, les 2

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

28 juli 2011

(2)

Ballen tellen

Hoeveel manieren zijn er om drie verschillende ballen te ordenen?

Zes:

Gerrit Oomens Zomercursus Wiskunde A

(3)

Ballen tellen

Zes:

(4)

Ballen tellen

Zes:

(5)

Ballen tellen

Zes:

(6)

Ballen tellen

Zes:

(7)

Ballen tellen

Zes:

(8)

Ballen tellen

Zes:

(9)

Ballen tellen

Zes:

(10)

Vier ballen tellen

Er zijn zes manieren om drie ballen te ordenen. En vier ballen?

We beginnen met de eerste bal:

? ? ?

6 manieren

? ? ?

6 manieren

? ? ? 6 manieren

Totaal: 4 · 6 = 24 manieren.

(11)

Vier ballen tellen

? ? ?

6 manieren

? ? ?

6 manieren

? ? ? 6 manieren

(12)

Vier ballen tellen

? ? ?

6 manieren

? ? ?

6 manieren

? ? ? 6 manieren

(13)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

? ? ?

6 manieren

? ? ? 6 manieren

(14)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

? ? ?

6 manieren

? ? ? 6 manieren

(15)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

(16)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

(17)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

(18)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

Totaal: 4 · 6

= 24 manieren.

(19)

Vier ballen tellen

? ? ? 6 manieren

(20)

Meer ballen tellen

Er is ´e´en manier om 1 bal te ordenen. Er zijn 2 manieren om 2 ballen te ordenen. Er zijn 6 manieren om 3 ballen te ordenen.

Er zijn 4 · 6 = 24 manieren om 4 ballen te ordenen. Er zijn 5 · 24 = 120 manieren om 5 ballen te ordenen.

Merk op dat 5 · 24 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!. Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, spreek uit “n faculteit”. Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(21)

Meer ballen tellen

Er zijn 4 · 6 = 24 manieren om 4 ballen te ordenen.

? ? ? ? ?

(22)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(23)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(24)

Meer ballen tellen

Er is ´e´en manier om 1 bal te ordenen.

Er zijn 2 manieren om 2 ballen te ordenen. Er zijn 6 manieren om 3 ballen te ordenen.

? ? ? ? ?

(25)

Meer ballen tellen

Er zijn 2 manieren om 2 ballen te ordenen.

? ? ? ? ?

(26)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(27)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(28)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(29)

Meer ballen tellen

Merk op dat 5 · 24

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!. Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, spreek uit “n faculteit”. Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(30)

Meer ballen tellen

Merk op dat 5 · 24 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 5!. Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, spreek uit “n faculteit”. Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(31)

Meer ballen tellen

Merk op dat 5 · 24 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!.

Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, spreek uit “n faculteit”. Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(32)

Meer ballen tellen

Merk op dat 5 · 24 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!. Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1

, spreek uit “n faculteit”. Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(33)

Meer ballen tellen

Merk op dat 5 · 24 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!. Voor een getal n schrijven we n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, spreek uit “n faculteit”.

Het aantal manieren om n verschillende ballen te ordenen is n!.

? ? ? ? ?

(34)

Meer ballen tellen

? ? ? ? ?

(35)

Meer ballen tellen

(36)

Identieke ballen tellen

Wat als er twee ballen hetzelfde zijn?

Er waren 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 manieren om 4 verschillende ballen te ordenen, maar hier tellen we elke manier dubbel:

1 2

=

1 2

Er zijn dus 24/2

= 12

manieren om deze ballen te ordenen.

(37)

Identieke ballen tellen

1 2

=

1 2

Er zijn dus 24/2

= 12

(38)

Identieke ballen tellen

Er waren 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 manieren om 4 verschillende ballen te ordenen

, maar hier tellen we elke manier dubbel:

1 2

=

1 2

Er zijn dus 24/2

= 12

(39)

Identieke ballen tellen

1 2

=

1 2

Er zijn dus 24/2

= 12

(40)

Identieke ballen tellen

1 2

=

² ¹

Er zijn dus 24/2

= 12

(41)

Identieke ballen tellen

1 2

=

1 2

Er zijn dus 24/2

= 12

(42)

Identieke ballen tellen

1 2

=

² ¹

Er zijn dus 24/2

= 12

(43)

Identieke ballen tellen

1 2

=

² ¹

Er zijn dus 24/2

= 12

(44)

Identieke ballen tellen

1 2

=

² ¹

Er zijn dus 24/2 = 12 manieren om deze ballen te ordenen.

(45)

Meer identieke ballen

Wat gebeurt er als drie ballen hetzelfde zijn?

Nu zijn er vier manieren:

1 2 3

Het aantal mogelijkheden is 4!/3!

= 24/6 = 4

(46)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

.

(47)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

(48)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

.

(49)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

(50)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

.

(51)

Meer identieke ballen

1 2 3

4!/3!

= 24/6 = 4

(52)

Meer identieke ballen

1 2 3

Het aantal mogelijkheden is

4!/3!

= 24/6 = 4

.

(53)

Meer identieke ballen

1 2 3

= 24/6 = 4

(54)

Meer identieke ballen

1 2 3

Het aantal mogelijkheden is 4!/3! = 24/6

= 4

.

(55)

Meer identieke ballen

1 2 3

(56)

2 blauw, 3 groen

Als ze allemaal verschillend waren, zouden er 5! = 120 manieren zijn.

Maar we mogen de 2 blauwe ballen op willekeurige manier ordenen

, net zoals de 3 groene ballen.

Er zijn 2! = 2 manieren om de 2 blauwe ballen te ordenen

en 3! = 6 manieren om de 3 blauwe ballen te ordenen.

We tellen elke mogelijkheid 2 · 6 = 12 keer. Het aantal manieren is 120/12

= 10.

(57)

2 blauw, 3 groen

= 10.

(58)

2 blauw, 3 groen

= 10.

(59)

2 blauw, 3 groen

Maar we mogen de 2 blauwe ballen op willekeurige manier ordenen, net zoals de 3 groene ballen.

= 10.

(60)

2 blauw, 3 groen

= 10.

(61)

2 blauw, 3 groen

Er zijn 2! = 2 manieren om de 2 blauwe ballen te ordenen en 3! = 6 manieren om de 3 blauwe ballen te ordenen.

= 10.

(62)

2 blauw, 3 groen

We tellen elke mogelijkheid 2 · 6 = 12 keer.

Het aantal manieren is 120/12

= 10.

(63)

2 blauw, 3 groen

Het aantal manieren is 120/12

= 10.

(64)

2 blauw, 3 groen

Het aantal manieren is 120/12 = 10.

(65)

3 blauw, 4 groen

Het aantal manieren om deze te ordenen is

7 3

= 7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35. Als we n ballen hebben, waarvan k blauw en de rest groen, dan is het aantal manieren om deze te ordenen gelijk aan

n k

= n!

k! · (n − k)!,

wat we uitspreken als “n boven k”.

(66)

3 blauw, 4 groen

7 3

= 7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(67)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4!

= 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(68)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 (3 · 2) · (4 · 3 · 2)

= 7 · 6 · 5

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(69)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5 3 · 2

= 7 · 5 = 35. Als we n ballen hebben, waarvan k blauw en de rest groen, dan is het aantal manieren om deze te ordenen gelijk aan

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(70)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5

= 35. Als we n ballen hebben, waarvan k blauw en de rest groen, dan is het aantal manieren om deze te ordenen gelijk aan

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(71)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

Als we n ballen hebben, waarvan k blauw en de rest groen, dan is het aantal manieren om deze te ordenen gelijk aan

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(72)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

Als we n ballen hebben, waarvan k blauw en de rest groen

, dan is het aantal manieren om deze te ordenen gelijk aan

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(73)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(74)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

n k

=

n!

k! · (n − k)!,

(75)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(76)

3 blauw, 4 groen

7 3

=

7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(77)

3 blauw, 4 groen

7 3

= 7!

3! · 4! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · (4 · 3 · 2) = 7 · 6 · 5

3 · 2 = 7 · 5 = 35.

n k

= n!

k! · (n − k)!,

(78)

Tellen en kansen

We leggen bovenstaande ballen neer in een willekeurige volgorde.

Wat is de kans dat twee blauwe ballen vooraan liggen? Herinner P(A) = aantal uitkomsten waarbij A optreedt

totaal aantal uitkomsten .

Het totaal aantal manieren om de 7 ballen te ordenen is _3!·4!^7! = 35. Het aantal manieren waarbij er 2 blauwe ballen vooraan liggen:

? ? ? ? ?

We hebben 1 blauwe bal en 4 groene over om te verdelen over 5 plekken. Dit kan op _1!·4!^5! = 5 manieren. De gevraagde kans is dus gelijk aan ₃₅⁵ = ¹₇.

(79)

Tellen en kansen

Wat is de kans dat twee blauwe ballen vooraan liggen?

Herinner P(A) = aantal uitkomsten waarbij A optreedt

? ? ? ? ?

(80)

Tellen en kansen

? ? ? ? ?

(81)

Tellen en kansen

Het totaal aantal manieren om de 7 ballen te ordenen is _3!·4!^7! = 35.

Het aantal manieren waarbij er 2 blauwe ballen vooraan liggen:

? ? ? ? ?

(82)

Tellen en kansen

? ? ? ? ?

(83)

Tellen en kansen

? ? ? ? ?

We hebben 1 blauwe bal en 4 groene over om te verdelen over 5

Dit kan op _1!·4!^5! = 5 manieren. De gevraagde kans is dus gelijk aan ₃₅⁵ = ¹₇.

(84)

Tellen en kansen

? ? ? ? ?

We hebben 1 blauwe bal en 4 groene over om te verdelen over 5 plekken. Dit kan op _1!·4!^5! = 5 manieren.

De gevraagde kans is dus gelijk aan ₃₅⁵ = ¹₇.

(85)

Tellen en kansen

? ? ? ? ?

We hebben 1 blauwe bal en 4 groene over om te verdelen over 5

(86)

Kop of munt

Stel we gooien 5 munten op. Uitkomsten zijn van de vorm MMKMK . We willen weten wat de kans op precies 3 keer kop is.

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?

Antwoord: 2⁵= 32.

De kans op een uitkomst is

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

Hoeveel uitkomsten hebben precies 3 keer kop?

Dit is het aantal manieren om drie M en twee K te ordenen:

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

De gevraagde kans is ¹⁰₃₂.

Wat gebeurt er als de munt niet eerlijk is, bijvoorbeeld als de kans op kop is gelijk aan ¹₄? Dan is de kans op munt ³₄, dus de kans op een uitkomst zoals KMKMK is ¹₄ ·³₄ ·¹₄·³₄ ·¹₄ = ₁₀₂₄⁹ . Dit is nog steeds hetzelfde voor de andere uitkomsten met drie keer kop, dus de kans op precies drie keer kop is nu 10 ·₁₀₂₄⁹

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(87)

Kop of munt

Stel we gooien 5 munten op.

Uitkomsten zijn van de vorm MMKMK . We willen weten wat de kans op precies 3 keer kop is.

Antwoord: 2⁵= 32.

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(88)

Kop of munt

Stel we gooien 5 munten op. Uitkomsten zijn van de vorm MMKMK .

We willen weten wat de kans op precies 3 keer kop is. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?

Antwoord: 2⁵= 32.

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(89)

Kop of munt

Antwoord: 2⁵= 32.

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(90)

Kop of munt

Antwoord: 2⁵= 32. De kans op een uitkomst is

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(91)

Kop of munt

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Antwoord: 2⁵

= 32. De kans op een uitkomst is

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(92)

Kop of munt

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Antwoord: 2⁵= 32.

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(93)

Kop of munt

1

2 ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹. Hoeveel uitkomsten hebben precies 3 keer kop?

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(94)

Kop of munt

De kans op een uitkomst is ¹₂ ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂

= ₃₂¹. Hoeveel uitkomsten hebben precies 3 keer kop?

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(95)

Kop of munt

De kans op een uitkomst is ¹₂ ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹.

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(96)

Kop of munt

De kans op een uitkomst is ¹₂ ·¹₂ ·¹₂·¹₂ ·¹₂ = ₃₂¹. Hoeveel uitkomsten hebben precies 3 keer kop?

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10. De gevraagde kans is ¹⁰₃₂.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(97)

Kop of munt

Hoeveel uitkomsten hebben precies 3 keer kop? Dit is het aantal manieren om drie M en twee K te ordenen:

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(98)

Kop of munt

5!

3! · 2!

= 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(99)

Kop of munt

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 (3 · 2) · 2

= 5 · 4

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(100)

Kop of munt

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4 2

= 5 · 2 = 10. De gevraagde kans is ¹⁰₃₂.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(101)

Kop of munt

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2

= 10. De gevraagde kans is ¹⁰₃₂.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.

(102)

Kop of munt

5!

3! · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

(3 · 2) · 2 = 5 · 4

2 = 5 · 2 = 10.

= ₁₀₂₄⁹⁰

.