Analyse: van R naar R
nhoorcollege
Uniforme convergentie van reeksen (5)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn) een rij continu functies is met fn→ f uniform op een verzameling S ⊆ R, dan is f continu op S .
Als fn→ f uniform op [a, b], dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx = Z b
a
n→∞lim fn(x ) dx .
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn) een rij continu functies is met fn→ f uniform op een verzameling S ⊆ R, dan is f continu op S .
Als fn→ f uniform op [a, b], dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx = Z b
a
n→∞lim fn(x ) dx .
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn) een rij continu functies is met fn→ f uniform op een verzameling S ⊆ R, dan is f continu op S .
Als fn→ f uniform op [a, b], dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx = Z b
a
n→∞lim fn(x ) dx .
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn) een rij continu functies is met fn→ f uniform op een verzameling S ⊆ R, dan is f continu op S .
Als fn→ f uniform op [a, b], dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx = Z b
a
n→∞lim fn(x ) dx .
Uniforme convergentie
Definitie 24.2
Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn) uniform convergeertnaar f als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| < voor alle x ∈ S als n > N.
Definitie 25.3
We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| < voor alle x ∈ S als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn) een rij continu functies is met fn→ f uniform op een verzameling S ⊆ R, dan is f continu op S .
Als fn→ f uniform op [a, b], dan geldt
n→∞lim Z b
a
fn(x ) dx = Z b
a
f (x ) dx = Z b
a
n→∞lim fn(x ) dx .
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies: sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S .
We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert.
We zien Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform
⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy. Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy.
Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Reeksen van functies
Zij (gk) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
k=0
gk(x ).
De parti¨ele sommen zijn nu ook functies:
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x ).
Deze rij functies kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S . We zeggen dan datP gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
Xgk convergeert uniform ⇔ (sn) convergeert uniform
⇔ (sn) is uniform Cauchy.
Dit laatste geeft hetuniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞
k=0gk. Dan is sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞ k=0gk.
Dan is
sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞
k=0gk. Dan is sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞
k=0gk. Dan is sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n
, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞
k=0gk. Dan is sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie en continu¨ıteit
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Stel dat (gk) een rij continue functies is en bekijk P∞
k=0gk. Dan is sn(x ) =
n
X
k=0
gk(x )
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is f (x ) = lim
n→∞sn(x ) =
∞
X
k=0
gk(x )
een continue functie op S .
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert: Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S .
Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0.
De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium
: er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < .
Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )|
≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk
< .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
Een reeksP gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium:
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat
n
X
k=m
gk(x )
< voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bewijs: zij > 0. De reeksP Mk convergeert, dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt |Pn
k=mMk| < . Dan is
n
X
k=m
gk(x )
≤
n
X
k=m
|gk(x )| ≤
n
X
k=m
Mk < .
We zien datP gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk.
Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt
|2−kxk|
≤ 2−k · 2k = 1.
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2.
Op (−2, 2) geldt
|2−kxk|
≤ 2−k · 2k = 1.
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt
|2−kxk|
≤ 2−k · 2k = 1. en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · 2k
= 1. en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · 2k = 1.
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op (−2, 2) geldt
|2−kxk|
≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk|
≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak
= a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
.
Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2. Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2.
Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want: Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2.
Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk) een rij positieve getallen en (gk) een rij functies op S ⊆ R zodat
|gk(x )| ≤ Mk voor alle x ∈ S . AlsP Mk < ∞, dan convergeert P gk uniform op S . Bekijk de machtreeksP∞
k=02−kxk. Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−kxk| ≤ 2−k · ak = a2k
en voor a < 2 convergeertP
k a 2
k
. Dus kunnen we de M-test toepassen met Mk = a2k
om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2.
Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel datP gk uniform convergeert op S . Dan geldt gk → 0 uniform op S.
