Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Stelling van Taylor (8)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal.

Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x )

=

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1

, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x )

=

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2

en meer algemeen f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x )

=

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n.

Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0)

= a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀

, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0)

= 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁

, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0)

= 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂

, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0)

= 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃ en algemeen f⁽ⁿ⁾(0)

= n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃ en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n

= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃ en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n.

Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾.

Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie

willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie (eenC^∞-functie)

willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie (eenC^∞-functie) willen schrijven als machtreeks

, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Machtreeksen en afgeleides

Bekijk een machtreeks f (x ) =P∞

k=0a_kx^k met positieve convergentiestraal. Er geldt f⁰(x ) =

∞

X

k=1

ka_kx^k−1, f⁰⁰(x ) =

∞

X

k=2

k(k − 1)a_kx^k−2 en meer algemeen

f⁽ⁿ⁾(x ) =

∞

X

k=n

k(k − 1) · · · (k − n + 1)akx^k−n. Merk op dat

f (0) = a₀, f⁰(0) = 1 · a₁, f⁰⁰(0) = 2 · 1 · a₂, f⁽³⁾(0) = 3 · 2 · 1 · a₃

en algemeen f⁽ⁿ⁾(0) = n · · · 2 · 1 · a_n= n!a_n. Dus voor een machtreeks is a_n= ^f(n)_n!⁽⁰⁾. Als we nu een willekeurige oneindig vaak differentieerbare functie (eenC^∞-functie) willen schrijven als machtreeks, ligt het voor de hand om te kijken naar

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0.

Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

R_n(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k. deTaylorreeks van f

rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

R_n(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0.

We bekijken de n-derestterm

R_n(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x )

= f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f

, dus of R_n→ 0 rond 0. Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of Rn→ 0 rond 0.

Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of Rn→ 0 rond 0.

Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of Rn→ 0 rond 0.

Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k

, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of Rn→ 0 rond 0.

Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k

en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Taylorreeksen

Zij f een functie die oneindig vaak differentieerbaar is in 0. Dan noemen we

∞

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

deTaylorreeks van f rond het punt 0. We bekijken de n-derestterm

Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k.

We willen nu weten of de reeks convergeert naar f , dus of Rn→ 0 rond 0.

Meer algemeen kunnen we naar Taylorreeksen om een punt c kijken:

∞

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k, Rn(x ) = f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k en willen we weten of Rn→ 0 rond c.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x )

= f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ.

Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs

: neem x 6= c vast en laat M zodat R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast

en laat M zodat R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ

, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ.

Bekijk nu g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0

, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0

, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · ·

, g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0.

Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0

, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c). Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.

Restterm

Stelling van Taylor (31.3)

Zij f een n-keer differentieerbare functie op (a, b) en neem c ∈ (a, b). Dan is voor elke x ∈ (a, b) een y tussen c en x zodat

f (x ) −

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k =: Rn(x ) = f⁽ⁿ⁾(y )

n! (x − c)ⁿ. Bewijs: neem x 6= c vast en laat M zodat

R_n(x ) = M

n!(x − c)ⁿ, dus f (x ) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (x − c)^k +M

n!(x − c)ⁿ. Bekijk nu

g (t) =

n−1

X

k=0

f^(k)(c)

k! (t − c)^k +M

n!(t − c)ⁿ− f (t).

Merk op dat geldt g (c) = 0, g⁰(c) = 0, · · · , g⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0. Maar ook g (x ) = 0, dus geeft Rolle g⁰(x₁) = 0 voor zekere x₁ ∈ (x, c).

Nog een keer Rolle geeft g⁰⁰(x₂) = 0 voor zekere x₂. Herhalen geeft g⁽ⁿ⁾(y )=0 voor zekere y . Merk op dat

g⁽ⁿ⁾(t) = M − f⁽ⁿ⁾(t), dus er volgt M = f⁽ⁿ⁾(y ) zoals gewenst.