• No results found

Analyse: van R naar R

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Analyse: van R naar R"

Copied!
155
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Analyse: van R naar R

n

hoorcollege

Continue functies in metrische ruimtes (13)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

(2)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden: als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu,

dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(3)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu, als f , g : S → R continu,

dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(4)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu,

dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(5)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu, als f , g : S → R continu,

dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(6)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(7)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk

en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(8)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj.

Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(9)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(10)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0)

= |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(11)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0|

≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(12)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2

= d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(13)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(14)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie.

Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(15)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld

f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y )7→ ex +ycos x

(16)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R

g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz

(x , y ) 7→ ex +ycos x

(17)

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimtes en f : S → S een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d f (s), f (s0) < .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t

k

X

j =1

|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R g : R2 → R

(x , y , z) 7→ xyz (x , y ) 7→ ex +ycos x

(18)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0. Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(19)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”

: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0. Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(20)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen:

fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0. Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(21)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0. Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(22)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”:

neem s0∈ S en laat  > 0. Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(23)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(24)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0

, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(25)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(26)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(27)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)

= v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(28)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0) = v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2

< v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(29)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0) = v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 <

v u u t

k

X

j =1

2

=√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(30)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0) = v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 <

v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(31)

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0) = v u u t

k

X

j =1

|fj(s) − fj(s0)|2 <

v u u t

k

X

j =1

2 =√ k .

We zien dat f continu is in s0.

(32)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), .

Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(33)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”:

stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), .

Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(34)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U.

Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), .

Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(35)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), .

Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(36)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), .

Dan is U open en s0∈ f−1(U). f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(37)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open

en s0∈ f−1(U). f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(38)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(39)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U). Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(40)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(41)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ

⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(42)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ)

⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(43)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U

⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(44)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

(45)

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S, d) metrische ruimten. Een f : S → S is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S.

“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).

f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).

Nu:

d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d f (s), f (s0) < .

“⇒”:

stel dat f continu is. Zij U ⊆ S open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0),  ⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d f (s), f (s0) <  als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)

⇒ d f (s), f (s0) <  ⇒ f (s) ∈ B f (s0),  ⊆ U,

Dus s ∈ f−1(U)

voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)

, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit