Analyse: van R naar R
nhoorcollege
Continue functies in metrische ruimtes (13)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden: als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu,
dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu, als f , g : S → R continu,
dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu,
dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu, als f , g : S → R continu,
dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk
en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj.
Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0)
= |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0|
≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2
= d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie.
Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld
f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y )7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R
g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz
(x , y ) 7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continuin s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:
d πj(~x), πj( ~x0) = |xj − xj0| ≤ v u u t
k
X
j =1
|xj − xj0|2 = d ~x, ~x0.
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R3 → R g : R2 → R
(x , y , z) 7→ xyz (x , y ) 7→ ex +ycos x
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0. Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”
: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0. Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen:
fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0. Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0. Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”:
neem s0∈ S en laat > 0. Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0
, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk). Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0)
= v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 < v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0) = v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2
< v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0) = v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 <
v u u t
k
X
j =1
2
=√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0) = v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 <
v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit van componenten
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj = πj◦ f .
“⇐”: neem s0∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| < als d (s, s0) < δj.
Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).
Als d (s, s0) < δ, dan geldt
d f (s), f (s0) = v u u t
k
X
j =1
|fj(s) − fj(s0)|2 <
v u u t
k
X
j =1
2 =√ k .
We zien dat f continu is in s0.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0. Kies U = B f (s0), .
Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”:
stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0. Kies U = B f (s0), .
Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U.
Neem s0∈ S en > 0. Kies U = B f (s0), .
Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), .
Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), .
Dan is U open en s0∈ f−1(U). f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open
en s0∈ f−1(U). f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open
, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U). Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ
⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ)
⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U
⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.
Continu¨ıteit in topologische zin
Stelling 21.3
Zij (S , d ) en (S∗, d∗) metrische ruimten. Een f : S → S∗ is continu desda f−1(U) open is voor elke open U ⊆ S∗.
“⇐”: stel dat f−1(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0), . Dan is U open en s0∈ f−1(U).
f−1(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f−1(U).
Nu:
d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
“⇒”:
stel dat f continu is. Zij U ⊆ S∗ open en neem s0 ∈ f−1(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U
, bestaat er > 0 zodat B f (s0), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d∗ f (s), f (s0) < als d(s, s0) < δ. Nu: s ∈ B(s0, δ)
⇒ d∗ f (s), f (s0) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0), ⊆ U,
Dus s ∈ f−1(U)
voor elke s ∈ B(s0, δ).
We zien B(s0, δ) ⊆ f−1(U)
, dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.