Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Machtreeksen (3)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ

= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ

= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert

, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Polynomen en machtreeksen

Depolynomenvormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

anxⁿ= a0+ a1x + a2x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ.

Voor welke x convergeert deze? We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar

α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n. De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n. De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe

en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n. De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n

= |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n. De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1

, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n

=: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks.

Voor |x | > R

convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet

, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet.

We hebben bewezen: Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeksP a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n.

De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R deconvergentiestraalvan de machtreeks. Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen:

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor

|x| < R en divergeert hij voor |x| > R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ.

Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n

= 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1.

De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1).

Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: het interval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert

: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat

, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n.

Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ.

Hier is an+1

an

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n

= n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n = n!

(n + 1)!

= 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1 n + 1

→ 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0, dus R = ∞.

De reeks convergeert dus op heel R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = _{lim sup |a}¹

n|^1/n. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = _{lim sup 1}¹ _1/n = 1. De reeks convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1

an

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |an|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bijP ₁

n!xⁿ. Hier is an+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I .

Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x )

=

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ).

De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen

, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar.

Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben

met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval.

Is f dan continu op dat interval?

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt limn→∞sn(x ) = f (x ). De sn zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies fn hebben met fn(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?