Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Limieten van functies (14)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → S^∗ een functie. Zij s₀ ∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗ als voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d^∗ f (s), L
<  geldt als d (s, s₀) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s₀,

2 lim_s→s0f (s) = f (s₀),

3 voor elke rij s_n→ s₀ geldt f (s_n) → f (s₀).

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → S^∗ een functie. Zij s₀ ∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗ als voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d^∗ f (s), L
<  geldt als d (s, s₀) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s₀,

2 lim_s→s0f (s) = f (s₀),

3 voor elke rij s_n→ s₀ geldt f (s_n) → f (s₀).

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → S^∗ een functie. Zij s₀ ∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗ als voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d^∗ f (s), L
<  geldt als d (s, s₀) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s₀,

2 lim_s→s0f (s) = f (s₀),

3 voor elke rij s_n→ s₀ geldt f (s_n) → f (s₀).

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → S^∗ een functie. Zij s₀ ∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗ als voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d^∗ f (s), L
<  geldt als d (s, s₀) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s₀,

2 lim_s→s0f (s) = f (s₀),

3 voor elke rij s_n→ s₀ geldt f (s_n) → f (s₀).

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m.

Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1.

We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y)

= v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)²

= k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk

= v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ. Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ.

Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ.

Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert

, onafhankelijk van de richting.

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿ naar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)² = k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ.

Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y².

Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen

, met graden −2, 0 en 1.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen, met graden −2

, 0 en 1.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen, met graden −2, 0

en 1.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs:

stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ

, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x

, zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1

en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z.

Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)|

=

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z
 

= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)|

≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0. Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0

gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0.

Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x)

en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y)

= f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat

moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴.

Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0. Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry )

= r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0. Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy² r²x²+ r⁴y⁴

= r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0. Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy² x²+ r²y⁴

→ 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0)

, maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y )

= y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet. Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet.

Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy² x²+ y⁴. Er geldt

f (rx , ry ) = r³xy²

r²x²+ r⁴y⁴ = r xy²

x²+ r²y⁴ → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y², y ) = y⁴

y⁴+ y⁴ = 1 2,

dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet.

Wat gebeurt er bij f (x , y ) = _x^x2³+y^y24?