Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1}
is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1}
is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs:
stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1}
is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1}
is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1}
is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn
, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1
: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig
kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x
, zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1
en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z.
Dan |f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)|
= f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z
= k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)|
≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα.
Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1 = {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact. Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1 geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z = k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.