Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100
Citation for published version (APA):Kraemer, J. M. (2011). Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100. Technische Universiteit Eindhoven. https://doi.org/10.6100/IR721544
DOI:
10.6100/IR721544
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/2011
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
Oplossingsmethoden
voor aftrekken tot 100
CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG Kraemer, Jean-Marie
Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 / Jean-Marie Kraemer ISBN 978-90-5834-105-1
Trefw.: rekenen; didactiek
© Cito B.V. Arnhem (2011)
Niets uit dit werk mag zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van Cito B.V. worden openbaar gemaakt en/of verveelvoudigd door middel van druk, fotokopie, scanning, computersoftware of andere elektronische verveelvoudiging of
openbaarmaking, microfilm, geluidskopie, film- of videokopie of op welke wijze dan ook.
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior permission in writing from the proprietor(s).
Oplossingsmethoden
voor aftrekken tot 100
PROEFSCHRIFT
ter verkrijging van de graad van doctor aan de Technische Universiteit Eindhoven, op gezag van de rector magnificus, prof.dr.ir. C.J. van Duijn, voor een
commissie aangewezen door het College voor Promoties in het openbaar te verdedigen op dinsdag 20 december 2011 om 14.00 uur
.
door
Jean-Marie Kraemer
Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor: prof.dr. K.P.E. Gravemeijer
Inhoud
Hoofdstuk 1 Aanleiding en probleemstelling ... 1
1.1 Achtergrond ...1
1.2 Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve… ...5
1.2.1 Typering van RW als leerstofgebied...5
1.2.2 Basisvaardigheden ...6
1.2.3 Typering van hoofdrekenen ...6
1.2.4 De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en variarekenen ...7
1.2.5 Schattend rekenen ...8
1.2.6 Waardering van hoofdrekenen ...8
1.2.7 Didactiek en doorgaande lijn ...9
1.3 Aanleiding voor de systematische analyse van oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100 ... 10
1.3.1 Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling halverwege de basisschool (1997) ... 11
1.3.2 Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS ... 14
1.4 Probleemstelling ... 17
1.4.1 Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken ... 17
1.4.2 Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als motor van de ontwikkeling ... 22
1.4.3 Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven ... 24
1.4.4 Conclusie ... 25
1.5 Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van de studie ... 26
1.6 Relevantie van het onderzoek ... 29
1.6.1 Vaktheoretische en vakdidactisch relevantie ... 29
1.6.2 Praktische relevantie ... 30
1.7 Indeling van de rapportage ... 31
Hoofdstuk 2 Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistischonderwijsprogramma ... 31
2.1 Inleiding ... 31
2.2 Internationale bezinning over de betekenis van rekenen op de basisschool anno 1980 ... 32
2.2.1 De Amerikaanse Agenda for action ... 33
2.2.2 Het Engelse Cockcroft report ... 34
2.2.3 Stille revolutie in Nederland ... 35
2.3 Nederlandse koers: integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen ... 40
2.4 Uitgangspunten voor het onderwijs in optellen en aftrekken van gehele
getallen ... 43
2.5 Hoofdrekenen en cijferen in het realistische programma ... 45
2.5.1 Tellen ... 46
2.5.2 Optellen en aftrekken tot 20 ... 46
2.5.3 Optellen en aftrekken tot 100 ... 47
2.5.4 Kanttekeningen ... 53
2.5.5 Reacties van de ontwerpers op de reacties van de Nederlandse experts ... 54
2.6 Overeenkomsten en verschillen met het nieuwe curriculum in Engeland en de V.S. ... 55
2.7 Samenvatting en conclusie ... 57
Hoofdstuk 3 Drie reconstructiedidactieken ... 59
3.1 Inleiding ... 59
3.2 Reconstructiedidactiek als vorm van domeinspecifiek ontwerpen ... 61
3.3 Uitwerking van de reconstructiedidactiek ... 63
3.3.1 Organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen ... 64
3.3.2 Encapsulation... 67
3.3.3 Didactische hulpmiddelen ... 68
3.3.4 Samenvattende conclusie ... 70
3.4 Didactische variant 1: de TAL didactiek ... 70
3.4.1 Theoretisch kader ... 70
3.4.2 TAL-didactiek ... 74
3.4.3 Kritische kanttekeningen binnen de eigen kleine en grote kring ... 81
3.5 Didactische variant 2: probleemoplossende didactiek ... 82
3.5.1 Theoretisch kader ... 82
3.5.2 Didactische aanpak van rekenen tot honderd ... 93
3.5.3 Kernkwesties met betrekking tot aftrekken ... 95
3.6 Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek ... 97
3.6.1 Theoretisch kader ... 98
3.6.2 Didactiek ... 101
3.7 Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden ... 106
3.8 Profiel van de drie stijlen van geleid uitvinden ... 107
3.8.1 Algemeen doel ... 107
3.8.2 Leerstofordening ... 108
3.8.3 Macro structuur van verticaal mathematiseren ... 110
3.8.4 Didactische middelen ... 110
3.9 Conclusie en aandachtspunten voor de classificatieproblematiek ... 111
Hoofdstuk 4 Classificatiesysteem ... 113
4.1 Inleiding ... 113
4.2 Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode'... 114
4.3 Ambiguïteit van variarekenen ... 121
4.4 Abstractieproces ... 123
4.6 Methoden, niveaus en vormen van hoofdrekenen ... 125
4.6.1 Drie hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en beredeneren ... 125
4.6.2 Verticale mathematisering van direct modelleren ... 127
4.6.3 Verticale mathematisering van tellen/meten met eenheden van ‘Tien’ en ‘Één’ ... 128
4.6.4 Verticale mathematisering van puzzelen met geheugenfeiten ... 129
4.7 Classificatiesysteem ... 129
4.8 Terugblik en vooruitblik ... 130
Hoofdstuk 5 Opzet en instrumentatie van het onderzoek ... 133
5.1 Inleiding ... 133
5.2 Achtergrond en opzet van de 4e PPON rekenpeiling ... 134
5.2.1 Doelen van PPON ... 134
5.2.2 Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden ... 134
5.2.3 Opzet van de 4e PPON ... 137
5.2.4. Analyse van de resultaten van het PPON- en LVS-onderzoek ... 140
5.3 Methode, opzet en instrumentatie van het onderzoek naar oplossingsmethoden ... 141
5.3.1 Directe observatie van oplossingsmethoden ... 141
5.3.2 Voortgangsgegevens ter bevordering van objectiviteit ... 143
5.3.3 Instrumentatie ... 143
5.3.4 Opgavenkenmerken ... 146
5.3.5 Afnameprocedure ... 150
5.3.6 Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid ... 152
5.4 Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies ... 154
Hoofdstuk 6 Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool ... 157
6.1 Inleiding ... 157
6.2 Vaardigheidsniveau in het getalgebied onder de honderd ... 158
6.2.1 Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep (≤P33) ... 158
6.2.2 Ontwikkelingsniveaus binnen middelste vaardigheidsgroep (P33-P66) ... 167
6.2.3 Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep (>P66) ... 175
6.3 Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de duizend ... 179
6.3.1 Niveau van de laagste vaardigheidsgroep ... 179
6.3.2 Niveau van de middengroep ... 182
6.3.3 Niveau van de hoogste vaardigheidsgroep ... 183
6.3.4 Conclusie ... 186
6.4 Onderwijsresultaten en aanbod van de leraar... 186
6.4.1 Gebruikte rekenmethoden en omgang met de eigen methode ... 187
6.4.2 Toegepaste differentiatie ... 188
6.4.3 Introductie en vorm van algoritmisch rekenen ... 189
Hoofdstuk 7 Gebruikte methoden en vormen van aftrekken ... 191 7.1 Inleiding ... 191 7.2 Gebruikte methoden ... 192 7.2.1 Gebruiksfrequentie ... 192 7.2.2 Succes ... 193 7.2.3 Patroon ... 195
7.3 Hoe leerlingen rijgen ... 196
7.3.1 Rijgcondities ... 196
7.3.2 Vormen van rijgen... 198
7.3.3 Gebruikspatroon en succes per niveau van rijgen ... 198
7.3.4 Patroon en voorlopige conclusie ... 201
7.4 Hoe leerlingen splitsen ... 202
7.4.1 Splitscondities ... 202
7.4.2 Rekenvormen ... 204
7.4.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van splitsen ... 204
7.4.4 Patroon en voorlopige conclusie ... 207
7.5 Hoe leerlingen beredeneren ... 208
7.5.1 Beredeneercondities ... 208
7.5.2 Rekenvormen ... 209
7.5.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van beredeneren ... 209
7.5.4 Voorlopige conclusie ... 210
7.6 Weten ... 211
7.6.1 Indirect optelfeit en aftrekfeit als antwoord ... 211
7.6.2 Frequentie, succes en conclusie ... 212
7.7 Eerste balans van de modernisering ... 213
7.8 Staalkaart van oplossingen ... 218
7.8.1 Rijgen ... 219
7.8.2 Splitsen ... 223
7.8.3 Beredeneren... 227
7.8.4 Weten ... 232
Hoofdstuk 8 Omgang met de context en de getallen ... 235
8.1 lnleiding ... 235
8.2 Combinatie van de hoofdrekenmethode met de aftrekstrategie ... 237
8.3 Invloed van de context en de getallen van de gemaakte set opgaven ... 241
8.3.1 Relatie tussen de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en het strategiegebruik ... 242
8.3.2 Relatie tussen de orde van grootte van het verschil tussen de getallen en het strategiegebruik ... 244
8.3.3 Patroon ... 246
8.4 Interactie tussen de betekenis van aftrekken en de relatie tussen de getallen van de opgave ... 246
8.4.1 Groep Laag ... 247
8.4.2 Groep Midden ... 249
8.4.4 Conclusie ... 252
8.5 Relatie tussen het vaardigheidsniveau, het strategiegebruik en het succes bij aftrekken... 253
8.5.1 Relatie tussen vaardigheidsniveau en strategiegebruik ... 254
8.5.2 Relatie tussen vaardigheidsniveau en succes ... 255
8.5.3 Conclusie ... 256
8.6 Terugblik en afsluitende conclusie ... 257
8.6.1 Beeld van de omgang met de context en de getallen ... 257
8.6.2 Tweede voorlopige balans van realistisch hoofdrekenen ... 259
Hoofdstuk 9 Staalkaart van de gemaakte fouten... 263
9.1 Inleiding ... 263
9.2 Frequentieverdeling van de drie klassen fouten ... 264
9.3 Foutieve schematisering ... 266
9.4 Bewerkingsfouten bij rijgen ... 267
9.4.1 Begripsfouten ... 268
9.4.2 Foutieve basisoperaties ... 270
9.4.3 Overige fouten ... 270
9.4.4 Conclusie ... 271
9.5 Bewerkingsfouten bij splitsen ... 273
9.5.1 Begripsfouten ... 274
9.5.2 Basisoperaties ... 276
9.5.3. Overige fouten ... 276
9.5.4 Conclusie ... 277
9.6 Bewerkingsfouten bij beredeneren ... 280
9.6.1 Begripsfouten ... 280
9.6.2 Basisoperaties ... 282
9.6.3 Overige fouten ... 282
9.6.4 Conclusie ... 282
9.7 Samenvattend overzicht van de structurele fouten ... 284
9.7.1 Hoofdresultaten van de foutenanalyse ... 284
9.7.2 Relatie met de didactiek, evaluatie en organisatie van het leerproces ... 285
Hoofdstuk 10 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren ... 291
10.1 Inleiding ... 291
10.2 Rijgen ... 291
10.2.1 Sterke kanten van het rijgen ... 291
10.2.2 Zwakke kanten van het rijgen ... 293
10.2.3 Balans van het rijgen ... 294
10.3 Splitsen ... 294
10.3.1 Sterke kanten van het splitsen ... 294
10.3.2 Zwakke kanten van het splitsen ... 294
10.3.3 Balans van het splitsen ... 295
10.4. Beredeneren ... 296
10.4.2 Zwakke punten van het beredeneerd aftrekken ... 297
10.4.3 Balans van het beredeneerd aftrekken ... 298
10.5 Ontwikkelingspatroon ... 299
Hoofdstuk 11 Discussie ... 301
11.1 Inleiding ... 301
11.2 Interpretatie van wat er bij aftrekken onder de honderd/duizend gebeurt .... 302
11.2.1 Beweegredenen van de leerlingen ... 302
11.2.2 Omgang van de leraar met de houding en gedragspatronen van de leerlingen ... 305
11.3 Discussie: realistische kleuring van geleid uitvinden ... 307
11.3.1 Algemeen doel (focus) ... 307
11.3.2 Leerstofstructuur ... 309
11.3.3 Structurering van de verticale mathematisering van tellen-meten-rekenen ... 311
11.3.4 Rol van contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies ... 312
11.3.5 Gebruik van de samenwerking en communicatie in de groep ... 314
11.4 Opbrengst ... 315 11.4.1 Onderzoektheoretische opbrengst ... 315 11.4.2 Praktische bijdrage ... 316 11.5 Beperkingen ... 317 11.6 Aanbevelingen ... 318 Literatuur ... 319 Appendix ... 343 Summary ... 353 Curriculum Vitae ... 359
Voorwoord
Deze studie wortelt in mijn eerste Nederlandse beroepservaring als ontwerper van meetkundige activiteiten voor de methode Rekenen-wiskunde. Dit avontuur, in gezelschap van Frans van Galen, Toon Meeuwisse, Willem Vermeulen en Lida Gravemeijer onder de uitdagende leiding van Koeno Gravemeijer, heeft mijn horizon geopend.
Het spanningsveld tussen recht doen aan de individuele leerling en leerkracht en het objectief vaststellen en analyseren van leerprestaties ter bevordering van de kwaliteit van het onderwijsleerproces, maakt het werk op Cito zo bijzonder. Koeno Gravemeijer en Norman Verhelst hebben mij helpen nadenken over wat een juiste balans zou kunnen zijn. Koeno Gravemeijer was de mentor van het eerste uur. Sindsdien wist hij in inspirerende discussies complexe kwesties terug te brengen tot ‘big ideas’ die zicht gaven op nieuwe perspectieven. Dit “discours continu” heeft mijn denken gevormd en dit proefschrift uitgelokt.
Dat mijn dagelijks werk zo spannend en verrijkend werd is aan drie directe collega’s van de sectie Cito/Primair Onderwijs te danken. Fons Moelands gaf de opdrachten waarin ik me kon uitleven en hield me in de boeien als klankbord en als advocaat van de duivel. Frank van der Schoot gaf de sectie Rekenen-wiskunde het vertrouwen, de ruimte en de middelen om kwalitatief onderzoek met de periodieke peilingen te integreren. Jan Janssen zorgde voor de integratie van de projecten, de infrastructuur en bood alle steun om de ondernomen werkzaamheden tot een goed einde te brengen.
Floor Scheltens en Maayke van Schijndel hebben de ondankbare maar onontbeerlijke coderingstaak uitgevoerd voor het vaststellen van de betrouwbaarheid van het classificatiesysteem waarop alle kwalitatieve analyses van deze studie berusten.
Jean-Marie Reits was de grote broer die via Skype een oogje in het zeiltje hield en voor de nodige afleiding en relativering zorgde.
Rosaline Hoogstraate en Tessa Kraemer hebben het concept redactioneel verbeterd. Een collectief van Nederlandse en Portugese vrienden en collega’s heeft het manuscript en de uitgave gerealiseerd. Mario Baia was de drijvende kracht, Frank van der Schoot de onmisbare corrector. Joana Brocardo, Fatima Mendes en Catarina Delgado hebben de bibliografie weten te reconstrueren. Jan van Weerden slaagde erin met de assistentie van Johan Cremers en Berend Kemper om onder lastige omstandigheden en grote tijdsdruk deze uitgave mogelijk te maken.
Joana Brocardo heeft in de loop van het project ‘These’ moeten toezien hoe een proefschrift in een andere taal en cultuur, met vallen en opstaan en onverwachte omwentelingen, tot stand kwam. Haar vertrouwen en geduld hebben mij in belangrijke mate de energie gegeven om dit project af te ronden.
Dokter Hussain Roshani heeft mijn pad gekruist. Dit boek is aan hem te danken. Het wordt opgedragen aan mijn dochters Tessa en Sabine die zin gaven in ‘morgen’.
Hoofdstuk 1
Aanleiding en probleemstelling
1.1
Achtergrond
‘Rekenen vind ik het stomste vak van de wereld’. Dit schreef de tienjarige Martijn de Jong, begin jaren tachtig, in zijn ingezonden brief in de rubriek “Piepschuim” in de Volkskrant1. De paar aanwijzingen die hij geeft, roepen bij Treffers (1991b) het beeld
op van het traditioneel rekenonderwijs dat toen op de meeste lagere scholen werd gegeven, met methoden als Naar Zelfstandig Rekenen. Martijn zit in een ‘speciale groep’ met andere leerlingen die ‘in de kleuterschool al alles af hadden’. Hij mocht daarom ‘met de stof van de eerste klas beginnen’. Dit typeert de toegepaste differentiatie naar niveau en/of tempo. Het aanbod was voor iedereen hetzelfde. Er werd alleen meer of minder geoefend en dus meer of minder leertijd aan besteed. De leerstof werd in kleine stukjes aangeboden. Er werd erg veel gecijferd, in drie van de vijf lessen in klas 3 (groep 5). Leerlingen maakten in klas 3 en 4 zo’n 10000 rekensommen. Het waren vooral ‘kale’ sommen, per soort en toenemende mate van complexiteit aangeboden, om van deelgeval tot deelgeval het eindalgoritme naar zijn hand te zetten. De toepassingsproblemen waren aangeklede rekenopgaven, bedoeld om de juiste som te abstraheren en de getallen volgens de voorschriften van het geleerde algoritme te bewerken. Met dit onderwijs raakten leerlingen ingesteld op trucs, routines en regels en werden zij in die zin in hun geestelijke ontwikkeling belemmerd.
‘Groep 4 is het stomste jaar qua rekenen’, zei Ylja, vijfentwintig jaar later, toen Marja van
de Heuvel-Panhuizen (2005) aan haar en haar tweelingzus Joni vroeg wat in het rekenonderwijs van ‘nu’ zou kunnen worden verbeterd. Ze zitten dan in jaargroep 7 en brengen de frustratie perfect onder woorden die ze in de middenbouw hebben opgelopen. Ze mochten toen nog niet ‘cijferen’, dat wil zeggen, onder elkaar rekenen, volgens de voorschriften van de vier algoritmen. Ylja heeft zich heel behoorlijk aan de eenzijdigheid van optellen en aftrekken met sprongen op een getallenlijn - de nieuwe
1
Deze anekdote en de bijbehorende schets van het traditionele cijferonderwijs zijn ontleend aan Gravemeijer (1988, 11). Zie ook Treffers (1985) en De Jong (1986).
manier van rekenen onder de honderd - geërgerd. ‘Je moest per se met de getallenlijn’, terwijl de getallenlijn, volgens Joni, juist bedoeld is ‘voor de kinderen die het niet zo goed kunnen’. ‘Er zat zo weinig afwisseling in’, licht Ylja even later toe. ‘Die getallenlijn is voor sommige kinderen heel duidelijk, (…), maar zo gauw jij ‘een andere manier kent om zulke sommen uit te rekenen’ - en ‘die sneller gaat’, vult Joni aan - ‘is die getallenlijn niet meer nodig’. Ylja doelt op cijferen. Terugblikkend, schetsen Ylja’s en Joni’s ideale traject vanaf jaargroep 4: eerst rekenen met sprongen op de lege getallenlijn, dan in groep 5 overschakelen naar rekenen ‘tussen strepen’2, dan op
dezelfde manier maar onder elkaar in groep 63 en ten slotte met cijfers in groep 7.
Tussen de ingezonden brief van Martijn en het interview met Ylja en Joni is het rekenonderwijs niet alleen in Nederland, maar ook wereldwijd radicaal veranderd. Deze vernieuwing vormt de achtergrond van deze studie. Ylja’s en Joni’s ideale leertraject geeft de oplossing weer die Nederlandse didactici hebben gevonden voor het traditionele (cijfer)onderwijs, dat in diskrediet was geraakt. Wat vormde ‘toen’ het probleem? En: hoe werd het ‘hier’ opgelost?
Begin jaren tachtig vormt de nadruk die op de lagere school op het cijferen wordt gelegd om drie hoofdredenen een probleem. Het neemt veel leertijd in beslag, maar de resultaten zijn niet navenant. Menig scholier krijgt het eindalgoritme niet onder de knie (Treffers, 1982a; 1982b; Fuson, 1992). Leerlingen passen bovendien de geleerde algoritmen niet vanzelfsprekend toe; vaak omdat ze een eigen, informele oplossingsweg volgen die past bij het beeld dat ze zich van het probleem hebben gevormd en/of bij wat ze ‘in de getallen’ zien (Fuson, 1992). De zakrekenmachine maakt ten slotte de complexere cijferbewerkingen overbodig. Is het dan, vanuit de samenleving, de leerling en wiskunde als vakgebied bezien, nog langer verantwoord om het routinematig rekenen met de vier algoritmen tot de basisvaardigheden te beschouwen? Kan het niet beter worden afgeschaft? (Plunkett, 1979; Papert, 1980; Levin, 1981). Of, kan men er minder aandacht aan besteden en het accent op de ontwikkeling en het verstandig gebruik van de rekenvaardigheden leggen, waar de contexten van de leef- en beroepswereld een beroep op doen, zoals globaal rekenen (schatten), rekenen uit het hoofd (flexibel hoofdrekenen) en rekenen met de zakrekenmachine? (N.T.C.M., 1980; Cockcroft, 1982).
In tegenstelling tot de Verenigde Staten heeft hoofdrekenen in Nederland altijd een eigen plaats in het rekencurriculum gehad. In het begin van de 20e eeuw werd het
opgevat en onderwezen als niet-schriftelijk rekenen - rekenen-uit-het-hoofd – (Treffers, 1991b). Versluijs verruimde deze enge betekenis van hoofdrekenen tot een vorm van handig rekenen waarvan men de berekeningen verkort, veelal inspelend op de mogelijkheden die de getallen bieden (ibid, 2). Dit werd meestal naast het cijferen geleerd, de routinematige, voorgeschreven manier van rekenen met eenheden,
2 Het zogenoemde splitsend hoofdrekenen tussen positielijnen dat in paragraaf 1.2.4 wordt
gepresenteerd.
tientallen, etc. (zie de methode Fundamenteel rekenen). Hoofdrekenen fungeerde echter soms ook als oriëntatie in de decimaal-positionele optel- en aftrekrelaties (zie de methode Functioneel Rekenen). Het is zelfs schriftelijk ‘kolomsgewijs’ geschematiseerd, als tussenvorm in de richting van de cijferalgoritmen. Vanuit die traditie stelt Treffers (1983) voor om de dichotomie hoofdrekenen versus cijferen op te heffen door cijferen met hoofdrekenen te integreren. Men kon hierbij teruggrijpen op het principe dat het Wiskobasteam in de tweede helft van de jaren zeventig voor ‘wiskundig’ leren cijferen had bedacht (de Jong, 1977) binnen haar brede opdracht een alternatief te ontwikkelen voor het traditionele rekenonderwijs dat in scholen als die van Martijn werd gepraktiseerd – het zogenoemde ‘realistisch’ rekenen.
Deze integratie van cijferen met hoofdrekenen is ontwikkeld en uitgewerkt in de laatste twintig jaar van de vorige eeuw4 onder de auspiciën van de Nederlandse
Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO)5,
binnen de context van de hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden. Begin jaren tachtig moest de overheid het innovatiebeleid van de scholen centraal sturen om de politieke verantwoordelijkheid te kunnen dragen voor de twee doelen van de basisschool die in 1985 zijn ingevoerd: enerzijds de continuïteit in het onderwijsprogramma (inhoudelijke vernieuwing via doorgaande leerlijnen), anderzijds de ononderbroken ontwikkeling van de leerling tussen 4 en 11 jaar (structureel-organisatorische vernieuwing via de leerlingenzorg en het voorkomen van de uitstroom in het speciaal onderwijs) (Doornbos, 1985).
Een unieke samenloop van omstandigheden heeft de voortgezette vernieuwing van de inhoud en de didactiek van ‘rekenen’ binnen wat voortaan in Nederland ‘rekenen en wiskunde’ (RW) en reken-wiskundeonderwijs (RWO) zal heten aangewakkerd en bevorderd. Het mondde uit in de uitgave van de zogenoemde Proeve van een Nationaal
Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (voortaan aangeduid met Proeve…) dat vanaf 1990 als baken is gebruikt voor de ontwikkeling van de derde en
vierde generatie realistische methoden die bij de onderhavige studie van hoofdrekenen zijn betrokken. Hoe is dit mogelijk geweest in een land waar de pedagogische of levensbeschouwelijke identiteit zo hoog in het vaandel staat?
De Projectgroep Leerplanontwikkeling Basisschool (pg LOB) die begin jaren tachtig was ingesteld om een valide leerplan op te stellen na raadpleging van vakdeskundigen en deskundigen uit de onderwijspraktijk6, slaagde daar niet in. Het
lag niet aan verschillen in visie op onderwijs. De pg LOB kwam gewoon tijd tekort om voor alle vakken plannen uit te werken en de inhoud ervan in de praktijk te toetsen. Bovendien verzetten confessionele politici en besturen van bijzondere
4 Raadpleeg hoofdstuk 2 voor de historische reconstructie van dit proces.
5 Deze vereniging is opgericht in 1982. Het biedt onderdak aan mensen met verschillende achtergronden
en opvattingen: theoretici en practici, onderzoekers, ontwikkelaars van onderwijsmethoden en toetsen, Pabo-docenten, schoolbegeleiders en ook basisschoolleraren.
6 Van Die’s (2010) historische reconstructie van deze onderwijspolitieke ontwikkelingen wordt hier
scholen zich tegen wat zij centralisme en staatspolitiek noemden. In 1984 waren de condities wat het vak RW betreft gunstiger dan ooit. De Wiskobasvisie, principes en producten werden breed gedragen in het onderwijsveld en in vier nieuwe realistische methoden verwerkt, die ruim een kwart van de basisscholen had ingevoerd7. De
overige scholen gebruikten een van de overgebleven traditioneel-mechanistische methoden of een nieuwe methode met een traditionele inslag zoals Naar Zelfstandig
Rekenen (de Jong, 1985, 20). De pg LOB stond achter de Wiskobas-typering van RW
als nieuw leergebied. De beschreven leerstof in haar publicatie ‘Wat krijgen ze op de
basisschool?’ kwam bovendien sterk overeen met de inhoudelijke kernpunten van RW
op de basisschool die de voormalige Wiskobas-leden voor ogen stonden.
In die omstandigheden namen Treffers en de Moor (1984) het initiatief om, onder de paraplu van de NVORWO, een realistisch leerplan te ontwikkelen. Het werd vanuit het innovatieve standpunt van de overheid als volgt gemotiveerd:
Het doel van deze publicatie is een zekere homogenisering in het reken-wiskundeonderwijs te bereiken, en gunstige condities te scheppen voor opleiding, nascholing, begeleiding, ontwikkeling en onderzoek, en de samenhang ertussen (p. 7).
In hun werkboek ‘Tien voor rekenen-wiskunde op de basisschool’ staat dat de status van het nationale plan meer zou moeten zijn dan louter die van een aanbeveling. De initiatiefnemers rekenden op een legitimering via de door Wiskobas geïnspireerde omschrijving van ‘rekenen en wiskunde’ in de wet op het basisonderwijs (artikel 9) (ibid. 6). De inhoudelijke kernpunten van het werkboek werden in de tweede helft van de jaren tachtig programmatisch uitgewerkt, daarbij rekening houdend met de formulering van de zogenoemde ‘eindtermen’ van de door de minister van OCW ingestelde landelijke ontwikkelingsgroep8. Deel 1 van de Proeve... (Treffers, de Moor &
Feijs, 1989) verschijnt eind jaren tachtig. Het oriënteert de gebruikers in de domeinen, doelstellingen en didactiek van RW op de basisschool en geeft een overzicht van de algemene en concrete doelen die met honderd opgaven worden geïllustreerd. Een jaar later verschijnt deel 2 (Treffers & de Moor, 1990) over de basisvaardigheden en cijferen. Het eindtermenvoorstel van de ontwerpers van de voorlopige eindtermen werd in 1989 ingediend. Vier jaar later kwamen de kerndoelen hieruit voort. Ze kregen een wettelijke status met de publicatie van het ‘Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs’ in de Staatscourant (OCW, 1993). Terugspiegelend over de betekenis van de kerndoelen voor de vernieuwing van het RWO, merkt van Die (2010, 19) op dat de twee delen van de Proeve … vier jaar te vroeg waren verschenen om de
7 Gedoeld wordt op Operatoir Rekenen – nieuw en op de drie eerste realistische methoden De Wereld in
Getallen, Rekenen en Wiskunde en het Utrechts Reken-wiskundeprogramma.
8 Deze groep bestond uit medewerkers van de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO), de vakgroep
Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijs Computercentrum (OW & OC) van de Rijksuniversiteit te Utrecht en het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (Cito).
verwachte legitimering te krijgen. Via de formele grondslag van de kerndoelen fungeren echter deel 1 en 2 van de Proeve…, vanaf 1990, als bakens voor onderzoek, methode- en toetsontwikkeling, opleiding en begeleiding, precies zoals de Wiskobaspublicaties in de jaren tachtig als richtlijnen fungeerden voor het onderwijsveld.
1.2
Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve…
Wat houdt de door Treffers en de Moor aanbevolen integratie van cijferen met hoofdrekenen in de praktijk van de basisschool in? Om daar antwoord op te kunnen geven, raadplegen we eerst de kerndoelen 1998 (OCW, 1998) die nauwelijks afwijken van de formulering van 1992. Tegen deze wettelijke achtergrond maken we kennis met de drie vormen van hoofdrekenen en de doorgaande lijn die door het programma van de basisschool is getrokken.
1.2.1 Typering van RW als leerstofgebied
In de kerndoelen 1998 (OC & W, 1998, p. 41) wordt rekenen-wiskunde als volgt getypeerd:
Het onderwijs in rekenen/wiskunde is erop gericht dat de leerlingen:
– verbindingen kunnen leggen tussen het onderwijs in rekenen/wiskunde en hun dagelijkse leefwereld;
– basisvaardigheden verwerven, eenvoudige wiskundetaal begrijpen en toepassen in praktische situaties;
– reflecteren op eigen wiskundige activiteiten en resultaten daarvan op juistheid controleren;
– eenvoudige verbanden, regels, patronen en structuren opsporen; – onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden kunnen
beschrijven en gebruiken.
Bovenstaande algemene doelen geven de essentie weer van het leergebied. Uit de historische reconstructie van hoofdstuk 2 zal blijken dat ze zijn afgeleid uit Treffers’ integrale en mathematische doelen (Van Die, 2010). Ze vormen feitelijk het cement tussen de geformuleerde kerndoelen, dat de domeinen in een samenhangend leerstofaanbod met elkaar integreert.
1.2.2 Basisvaardigheden
Onderstaande opsomming (ibid. 41) geeft een overzicht van de basisvaardigheden die betrokken zijn bij het kernonderwerp van deze dissertatie – aftrekken binnen hoofdrekenen onder de honderd:
– De leerlingen kunnen met wisselende eenheden tellen en terugtellen (leerdoel 1).
– De leerlingen kennen uit het hoofd optel- en vermenigvuldigtafels tot tien (leerdoel 2).
– De leerlingen kunnen eenvoudige hoofdrekenopgaven vlot uitrekenen, waarbij ze verschillende bewerkingen inzichtelijk toepassen (leerdoel 3).
– De leerlingen kunnen schattend rekenen, waarbij ze de uitkomst globaal bepalen (leerdoel 4).
– De leerlingen hebben inzicht in de structuur van de gehele getallen (leerdoel 5).
– De leerlingen kunnen een eenvoudige, niet in wiskundige taal aangeboden probleemstelling zelf in wiskundige termen omzetten (leerdoel 6).
– De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in eenvoudige situaties toepassen.
Hoofdrekenen oriënteert in en geeft toegang tot cijferen. Deze vaardigheid wordt in de kerndoelen 1998 als volgt aangeduid:
De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in eenvoudige situaties toepassen.
1.2.3 Typering van hoofdrekenen
Onderstaand citaat geeft weer hoe Treffers en de Moor (1990) hoofdrekenen in de
Proeve … typeren:
Hoofdrekenen staat in de vakdidactiek niet voor rekenen-uit-het-hoofd als tegenstelling tot rekenen-op-schrift, maar geldt van oudsher als de tegenvoeter van het cijferen, als flexibel rekenen versus rekenen volgens standaardmethoden (…) en wel in die zin dat daarbij efficiënt gebruik wordt gemaakt van parate kennis, rekenwetten, bijzonderheden van getallen en relaties ertussen.
Refererend naar Paulos (1988) en Van der Blij (1987), associeert Treffers (1989, 8) in zijn oratie hoofdrekenen met een zeker begrip van en gevoel voor getallen9, dat tot
uidrukking komt in het passend en flexibel gebruik van globale methoden (schatten) en methoden van precies hoofdrekenen. Met het probleem van Hans illustreert hij de gecijferdheid en de basisvaardigheden waar basisschoolleraren zich bij het rekenen tot honderd voortaan op moeten richten.
1.2.4 De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en
variarekenen
Hans maakt een tocht van 75 km. Na 48 km rust hij even.Hoeveel kilometer moet hij na zijn pauze nog afleggen? Leerlingen kunnen de verwachte precieze afstand op vier rekenmanieren uitrekenen, volgens de oplossingsprocedures van figuur 1.1 en 1.2. Treffers doelt op:
– de zogeheten rijgmethode, waarbij een getal in stapjes van een ander getal wordt afgehaald of bijgeteld (rekenen-op-rij);
– de methode van het splitsen van tientallen en eenheden en
– redeneermethoden, waarbij de leerling gebruik maakt van de eigenschappen van optellen en aftrekken (variarekenen)10.
– het zogenoemde kolomsgewijze hoofdrekenen van figuur 1.2 fungeert als de meest
abstracte en gestandaardiseerde vorm van optellen en aftrekken met tientallen en
eenheden en vormt tevens de schakel met leren cijferen. Het is geïnspireerd op Maddel’s (1985) ervaring met het vrij laten uitbeelden van probleemsituaties met Dienes’ Blocks (MAB-blokken; Treffers, De Moor en Feijs, 1988, 37) en op het idee van Diels en Nauta in de methode Fundamenteel
Rekenen (1936) om met de positiewaarden, van links naar rechts, ‘onder elkaar’
– kolomsgewijs – te rekenen (zie hoofdstuk 2 en 3).
Hans maakte een tocht van 75km. Na 48 km rustte hij even. 1. Hoeveel kilometer moest hij na het rusten nog afleggen? 2. Hoe maakte hij die tocht, denk je: met de auto, de fiets,
lopend…?
3. Hoe lang zou hij ongeveer over de hele tocht van 75km gedaan hebben?
Figuur 1.1 – Het probleem van Hans (Bron: Treffers, 1989, p. 13)
9 In de latere publicaties verwijst Treffers (1994a) naar ‘number sense’ zoals wiskundig omschreven door
McIntosh, Reys en Reys (1992).
1.2a ‘Gestyleerde’ vorm aftrekken op-lijn 75-48=? Varianten – 75-5=70 70-40=30 30-3=27 – 65, 55, 45, 35 35-8=35-5-3=27 – 75-40=35 35-8=27
1.2b Gevarieerde vormen van aftrekken Aanvulvarianten van Rekenen-op-rij 48+?=75 – 49(1), 50(2), 51(3) …. 75(27) 27 – 48+2=50 60, 70 70+5=75 20+5+2=27 – 48+2=50 50+25=75 25+2=27 – 58, 68 68+2=70 70+5=75 20+7=27
Compenseren bij afleiden uit een optelfeit 48+?=75 via
50+25=75; 48 is twee minder dan 50; dan moet ik 2 bij 25 optellen, is 27 Compenseren bij afleiden uit een aftrekfeit 75-48=? via
75-50=25; 50 is twee meer dan 48, dan houd ik er 2 meer over; 25+2=27
1.2c Kolomsgewijs aftrekken als ‘gestileerde’ vorm van hoofdrekenen
Figuur 1.2 – ‘Gestileerde’ en ‘gevarieerde’ vormen van hoofdrekenen (Bron: Treffers, 1989, p. 15 t/m 17)
1.2.5 Schattend rekenen
De vragen 2 en 3 van het Hans-probleem illustreren ‘natuurlijke’ ingangen voor globaal rekenen, dat beter bij dergelijke situaties past dan precies uitrekenen. Het belang van dergelijke vragen in zulke contexten is, in Treffers’ (Ibid., p. 18-19) woorden, dat er ‘ineens een mentaal gordijntje wordt opengetrokken, waardoor de leerlingen zicht krijgen op de wereld buiten de school, op getallen in de realiteit’. Dit brengt ons tot de algemene waardebepaling van schattend rekenen en hoofdrekenen.
1.2.6 Waardering van hoofdrekenen
In onderstaand citaat verwoorden Treffers en de Moor (1990, 90-91) de drie meest gebruikte argumenten voor het opnemen van hoofdrekenen in de leerplannen van veel westerse landen:
Er zijn drie redenen om hoofrekenen aan te prijzen. Ten eerste blijkt uit onderzoek dat het overgrote deel van het rekenwerk in het leven van alledag uit hoofdrekenen en schattend rekenen bestaat, waarbij geen standaardmethoden van het cijferen worden gebruikt11. Hoofdrekenen heeft
dus praktische waarde. Ten tweede hanteren kinderen bij het oplossen van vraagstukjes vaak informele werkwijzen12. Handig rekenen sluit daarop aan en
benut die ‘natuurlijke’ aanpak. Hoofdrekenen is derhalve van persoonlijke waarde. Ten derde voegt hoofdrekenen een nieuwe dimensie aan het rekenen toe. Namelijk die van het niet-mechanistische, inzichtelijke, flexibele, probleemgerichte opereren binnen het getalsysteem. Het heeft daarom ook wiskundige waarde.
1.2.7 Didactiek en doorgaande lijn
Tussen de publicatie van deel 2 van de Proeve… (1990) en de introductie van de euro (2002) zijn reeds ingevoerde realistische methoden als De Wereld in getallen en Rekenen
en Wiskunde conform het nieuwe programma en de didactische richtlijnen aangepast.
En er zijn nieuwe methoden als Pluspunt, Rekenrijk en Alles telt op de markt verschenen. Deze voortgezette vernieuwing laat zich als volgt kenmerken.
Optellen en aftrekken tot honderd vormt de schakel tussen het aanvankelijk rekenen in de onderbouw en het cijferen in de bovenbouw en als fundering voor flexibel rekenen en hoofdrekenen met grotere ronde getallen en met miljoenen en miljarden. De lijn die door het rekenprogramma is getrokken, gaat, zoals eerder gezegd, uit van het Wiskobas principe van de ‘progressieve schematisering’ van eigen manieren van optellen en aftrekken. Het basisidee is dat de leerling in de loop der tijd een eigen repertoire van rekenmethoden en rekenprocedures ontwikkelt, dat breed en efficiënt kan worden ingezet. Specifieke contextproblemen, visualiseringsmiddelen en modellen worden ingezet om deze rekenmanieren ‘geleid’ uit te vinden. Idealiter gaan de leerlingen letterlijk op zoek naar de wiskunde in de voorgelegde opgaven (Gravemeijer, 2003b). Ze vertellen elkaar hoe ze zich de betreffende probleemsituatie voorstellen, waar ze bij de getallen aan denken en leggen op deze manier uit hoe ze hebben gerekend, c.q. waarom men op deze manier kan (mag) rekenen.
De nieuwe leerlijn loopt door de hele basisschool, vanaf de onderbouw (jaargroep 1-2) tot en met jaargroep 8. Leerlingen ontplooien hun begrip van getallen en operaties en construeren hun eigen rekengereedschappen langs oplopende niveaus van denken, symboliseren en bewerken, vanaf het naspelen van elementaire optel- en aftrekproblemen met verzamelingen objecten tot algoritimisch optellen en aftrekken, via tussenvormen van tellen en hoofdrekenen.
11 Verwezen wordt naar Hope (1986).
– Het proces vangt aan met activiteiten rond het tellen, vergelijken, structureren van hoeveelheden in betekenisvolle contexten uit het leven van alledag (leerdoel 1). Deze oriënterende fase mondt uit in het memoriseren en leren toepassen van de gereconstrueerde opteltafels en de daarvan afgeleide aftrekrelaties onder de 20 (leerdoel 2).
– Hierop aansluitend, start het rekenen onder de 100 met het uitbeelden en oplossen van contextproblemen met behulp van concreet materiaal (leerdoel 6).
– De op gang gebrachte differentiatie en formalisering van rekenprocedures verloopt vervolgens, via gradueel schematiseren, van verkort tellen tot gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen (leerdoel 3), precies zoals de tweelingzussen Ylja en Joni dat aanbeleven. Eerst leren de kinderen hun oplossing van contextproblemen en kale aftrekkingen correct uit te beelden met sprongen op een zelfgemaakte getallenlijn (eind jaargroep 4).Wanneer ze dit onder de knie hebben en begrijpen wat de relatie tussen de tienvouden en eenheden impliceert voor optellen en aftrekken, leren ze met deze positiewaarden te rekenen. Het mondt uit in onder elkaar aftrekken met tekorten, zoals afgebeeld in figuur 1.2. Tegelijkertijd maken de leerlingen kennis met de ‘handige’ manieren van aftrekken, via aanvullen in plaats van aftrekken en via redeneren vanuit een bekende optelling of aftrekking.
– Er wordt pas vanaf de tweede helft van jaargroep 5 gestart met algoritmisch rekenen, via de verdere schematisering van de positionele, kolomsgewijze manier van hoofdrekenen (leerdoel ‘cijferen’).
1.3
Aanleiding voor de systematische analyse van
oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100
De directe betrokkenheid van Cito bij het vaststellen van de kwaliteit van het RWO en de ontwikkeling van instrumenten voor de realisering van de zorgverbreding13 bij RW
gaven aanleiding om oplossingsprocedures bij rekenen tot 100 systematisch te analyseren. De studie heeft in die zin een onderwijspolitieke (kwaliteitzorg; Van der Schoot, 2001; 2008), onderwijskundige (programmatische en structureel-organisatorische vernieuwing van het basisonderwijs; Doornbos, 1995) en vakdidactische grondslag (voorgezette ontwikkeling van het RWO vanuit de realistische invalshoek (Treffers, 1987; 1989; Treffers en de Moor, 1990; TAL-team, 1999; Buijs, 2000).
13 Onder ‘zorgverbreding’ wordt verstaan een cyclisch proces van vier opeenvolgende activiteiten. De
leraar neemt eerst een toets af om leerlingen met extra behoeften te signaleren, stelt vervolgens
diagnostisch vast wat individuele of groepen leerlingen nodig hebben en stelt een handelingsplan op,
De eerste aanleiding is de discrepantie tussen de verwachtingen van de reken-wiskundegemeenschap en de feitelijke rekenprestaties bij de presentatie van de resultaten van de derde Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) voor rekenen/wiskunde halverwege de basisschool op de Panama najaarconferentie van 200014. De tweede aanleiding is de voortzetting van toetsontwikkeling en diagnostisch
onderzoek binnen het project Cito Volgsysteem (LOVS)15 in het perspectief van
‘opbrengstgericht werken’ (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en ‘werken met ontwikkelingsperspectieven’ in het speciale (basis)onderwijs (Inspectie van het onderwijs, 2002; 2007).
1.3.1 Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling
halverwege de basisschool (1997)
Cito is in 1986 gestart met het project PPON16. De eerste eindpeiling – d.i. jaargroep
8 - vindt plaats in het voorjaar 1987, de eerste medio-peiling – d.i. jaargroep 5 - in het najaar (Wijnstra, 1988). De tweede medio-peiling wordt in 1993 uitgevoerd (Bokhove,
van der Schoot & Eggen, 1995). Bij de derde medio-peiling in 1997 (Noteboom, van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen, 2000) zijn de verwachtingen van de realistische gemeenschap hooggespannen. De basisscholen hebben namelijk, met ondersteuning van de lokale schoolbegeleiders, ‘en masse’ de nieuwe realistische methoden ingevoerd en geadopteerd. De percentages van figuur 1.3 laten zien dat in 1987 ruim 40% van de scholen nog een traditionele rekenmethode gebruikte. Tien jaar later is het marktaandeel gedaald tot minder dan 2%. Dat van de realistische rekenmethoden is fors gegroeid, vooral door de komst van Pluspunt en de nieuwe versie van de methode
De Wereld in Getallen. Dat de scholen de realistische benadering adopteren, blijkt uit het
feit dat 90% van de leraren in de jaargroepen 4 en 5 aangeeft dat zij de gebruikte methode vrijwel in zijn geheel volgen (ibid. 29). Hetzelfde percentage geeft aan dat hun leerlingen in de voorafgaande jaren met dezelfde reken-wiskundemethode zijn onderwezen. Zou dit alles de verwachte leereffecten opleveren?
Noteboom e.a. (2000) geven daar in hun rapportage antwoorden op door de PPON resultaten af te zetten tegen de (niet wettelijk voorgeschreven) ‘tussendoelen’ (TAL-team, 1999; Buijs, 2000) die een nadere uitwerking vormen voor de kerndoelen 1998. Ze dienen als zodanig voor de planning van het onderwijsleerproces, samen met de daarbij ontwikkelde leerlijnen. Bijlage 1 geeft een overzicht van de kerninhouden van
14 Panama staat voor Pabo Nascholing Mathematische activiteiten. Cito presenteert periodiek de
resultaten van de peilingen en organiseert workshops rond de voorgelegde ontwikkelingen in het kader van deze jaarlijkse conferentie.
15 LOVS staat voor Leerling- en OnderwijsVolgSysteem.
16 De periodieke peilingen worden halverwege en aan het einde van het basisonderwijs uitgevoerd. Ze
moeten empirische gegevens verschaffen over het leeraanbod en de leeropbrengst bij onder andere de Nederlandse taal en Rekenen-wiskunde om op basis van rationele argumenten daarover te kunnen discussiëren.
de voor deze studie relevante onderwerpen van de peiling in relatie tot de nagestreefde
tussendoelen en gemeten leerresultaten. De ordening van de opgaven in oplopende
volgorde van moeilijkheidsgraad (c.q. het beheersingsniveau van de leerlingen) brengt vier patronen aan het licht:
Titel methode 1987 1997 Operatoir rekenen (oud & nieuw) 24.8 9.2 De Wereld in getallen (oud) 13.7 16.2 De Wereld in getallen (nieuw) 17.7
Taltal 6.0 /
Rekenen en Wiskunde 4.2 22.3 Getal in beeld (hybride) 2.1 / Rekenwerk 1.1 2.3
Pluspunt 29.2
subtotaal realistisch/hybride 55.3 96.9
Naar zelfstandig rekenen 22.5 1.5 Niveaucursus rekenen 8.8 / Nieuw rekenen voor het basisonderwijs 8.5 / Naar aanleg en tempo 0.7 / De rekenboom 0.7 / Aktief rekenen 0.4 /
subtotaal traditioneel 43.3 1.5
overige (niet in de handel verkrijgbaar) 1.4 1.6
Figuur 1.3 – Verdeling van de gebruikte rekenmethoden (in percentage scholen) bij de 1e en 3e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool
(Bron: Wijnstra, 1988, p. 23; Noteboom e.a., 2000)
Gebrek aan inzicht in de relaties tussen tientallen en eenheden. De moeilijkheidsgraad van de
opgaven rond het samenstellen en splitsen van hoeveelheden onder de 100 blijkt sterk afhankelijk te zijn van de getallen in de opgaven. Zo is de opgave 60 + .. = 100, die door het gros van de leerlingen goed wordt beheerst, gemakkelijker dan 56 + 44 (opgave 7), 64 + .. = 100 (opgave 8) en 43 + .. = 100 (opgave 12) die een beroep doen op het inzicht in de relatie tussen de tientallen en de eenheden van samengestelde getallen. Meer leerlingen ondervinden nu problemen met dergelijke ‘splitsopgaven’.
Moeite met contextopgaven. In tegenstelling tot de verwachtingen, blijken sommige
contextopgaven moeilijker dan ‘kale’ opgaven die een beroep op dezelfde of verwante getalrelaties en rekenhandelingen. Dit geldt zowel voor ‘optellen’ als voor ‘aftrekken’, maar de problemen bij aftrekken drukken sterker hun stempel op de prestaties dan die bij optellen. De percentiel-10 leerling beheerst bijvoorbeeld de kale optelling 45 + 8, maar de contextopgave van voorbeeld 3 (58 + 7) niet. Bij ‘aftrekken’, leveren de getallen 54 en 25 in de combinatiecontext van voorbeeldopgave 8 meer problemen op dan 64 en 28 in de kale aftrekking van voorbeeldopgave 2. De gemiddelde leerling
heeft ruim 50% kans om 64 - 28 correct uit te rekenen, terwijl het busprobleem ruim buiten zijn vaardigheidsbereik ligt.
Getallen: Structureren
2] Joris en Ineke verdelen 100 knikkers. Ineke krijgt er 70.
Joris krijgt er _______. 7] Welke twee getallen zijn samen 100? 44 65 56 66 46 45 8] 64 + …..= 100 12]
Hoe groot is de tweede sprong?
Bewerken: optellen
1] 45 + 8 = 2] 34 + 50 = 3] Oma is 58 jaar. Opa is 7 jaar ouder. Opa is _______ jaar.
7] Doe mee aan de Veluwse fietstocht van 3 dagen: dag 1 26 km dag 2 30 km dag 3 24 km Hoeveel is de afstand in totaal? 8] Om 10 uur waren er 48 kinderen in het zwembad. Een uur later waren er 27 kinderen bijgekomen. Hoeveel kinderen waren er om elf uur in het zwembad? 9]
De korte paal is 76 cm hoog.
De lange paal is 9 cm hoger. Hoe hoog is de lange paal?
Bewerken: aftrekken 7] 50 - 26 = 8] 64 - 28 = 9] 61 -59 = 10] In de bus zijn 54 zitplaatsen. Er zitten 25 mensen in de bus.
Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij?
11]
Brenda heeft 74 stickers. Emilie heeft 18 stickers minder.
Hoeveel stickers heeft Emilie?
12] Willemien is 9 jaar oud. Haar oma is 63 jaar oud. Hoeveel jaar is oma ouder dan Willemien?
Figuur 1.4 - Voorbeeldopgaven PPON medio 1997 (Bron, Noteboom e.a. 2000)
Sommige aftrekopgaven zijn voor vrijwel iedereen te moeilijk. Het derde probleem betreft de
bewerking van getallen van kale aftrekkingen met tientaloverschrijding. Sinds de eerste peiling in 1987, behoren gevallen als 64-28 en 72-59 tot de moeilijkste aftrekopgaven (ibid. 59). Alleen de 10% meest vaardige leerlingen beheersen dergelijke aftrekkingen halverwege de basisschool.
Basiskennis ontbreekt bij de zwakste groep. Aftrekken en indirect optellen (c.q. aftrekken)
onder de honderd doet een beroep op bekende getalrelaties en/of rekenautomatismen. Het blijkt dat de onderste 10% tot 20% van de leerlingen nog niet over deze voorwaardelijke basiskennis beschikt (zie onderwerp Basisoperaties in bijlage 1). Het gaat daarbij om aftrekrelaties van het type (90-50, 84-40 en 56-50, 68-5 en 92-8 (ibid. 38).
Bovenstaande resultaten van 1997 zijn vergeleken met die van de eerste en tweede medio-peiling (1987 en 1992)17. Noteboom e.a. (2000) rapporteren de volgende
ontwikkelingen in de tijd:
– De vaardigheid bij Tellen en ordenen is in de loop van de tien jaar geleidelijk aan licht toegenomen. Het vaardigheidsniveau bij Structureren was in 1992 hoger dan in 1987, maar is in de loop van de hierna volgende vijf jaar licht gedaald. – De optelvaardigheid bleef stabiel tussen 1987 en 1992 (Bokhove e.a., 1996).
De nieuwe opgavenverzameling bevestigde dit. Over de periode 1992-1997 werd echter een klein negatief effect gevonden, zodat er sprake was van een kleine daling van de vaardigheid tussen 1987 en 1997.
– Deze tendens was groter bij aftrekken. De uitgebreide opgavenverzameling bevestigde de vooruitgang tussen 1987 en 1992. Het relatief grote negatieve effect over de periode 1992 – 1997 resulteerde in een significant klein negatief effect over de periode 1987 – 1997.
De problemen bij contextrekenen riepen vragen op ten aanzien van de processen die zich bij probleemoplossen afspelen. Wat zagen leerlingen in de contexten? Hoe stelden ze zich de samenhang tussen de betreffende getallen voor? En: hoe werden deze getallen bewerkt? De discrepantie tussen de resultaten en de verwachtingen en de lichte daling van de prestaties nodigden uit om te onderzoeken of de leerlingen met de nieuwe realistische rekenmethoden wel de bouwstenen construeerden die cruciaal zijn om getallen vlot en flexibel te leren bewerken, zoals bedoeld door de ontwerpers van de Proeve… In de context van de landelijke invoering van de realistische rekenmethoden kwamen Noteboom e.a. (2000) tot de conclusie dat er bij een volgend onderzoek, ‘zeker voor het onderwerp ‘Aftrekken’, meer aandacht zou moeten worden geschonken aan de invloed van de context - ‘afhalen’ versus ‘aanvullen’, ‘vergelijken’ en ‘scheiden’ – of misschien beter van de interactie tussen de context en het oplossingsgedrag van de leerlingen’ (ibid. 59 en 60). De vigerende studie is het antwoord op deze aanbeveling.
1.3.2 Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS
We zagen in paragraaf 1.1 dat het ministerie van OCW sinds de invoering van de wet op het basisonderwijs (1985) het innovatiebeleid van scholen zowel inhoudelijk als structureel-organisatorisch aanstuurt. Scholen moeten hun aanbod vernieuwen via de gewenste doorgaande leerlijn tussen jaargroep 1 en 8 in de onderscheiden domeinen van ‘rekenen en wiskunde’. Ze moeten er tevens voor zorgen dat iedere leerling zich tussen 4 en 11 jaar ‘ononderbroken’ blijft ontwikkelen. Deze doelstelling was gericht op het voorkomen van leerproblemen die de uitstroom van het speciaal onderwijs in17 Bij deze vergelijking is niet gecontroleerd op effecten van methodegebruik, formatiegewicht en
de hand werken. Het markeert het beginpunt van een lang proces dat in 1999 uitmondt in de invoering van de wet op het primair onderwijs – het onderwijs dat
basisscholen en scholen voor speciaal onderwijs verzorgen voor kinderen van 4 tot 12 jaar. Het neemt vervolgens een nieuwe wending als gevolg van de zorgelijke uitval van leerlingen in sommige scholen in achterstandswijken. Het advies van de Onderwijsraad (1999) om zogenoemde leerstandaarden wettelijk vast te stellen, brengt de beleidsmakers op het idee om zogenoemde referentieniveaus te ontwikkelen (Expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen, 2008) en deze ook wettelijk vast te stellen, als aanvulling op de kerndoelen. De kerndoelen stellen de kennis en bekwaamheid (het leerstofaanbod) vast die deoverheid per se wil garanderen. De referentieniveaus omschrijven wat elke leerling minimaal moet weten en kunnen om de drempels te kunnen nemen van de voor hem optimale schoolloopbaan - de zogenoemde ‘fundamentele’ kwaliteit en ‘streefkwaliteit’ bij taal en rekenen.
Opbrengstgericht werken (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en werken met ontwikkelingsperspectieven (Inspectie, 2007) is het pendant van de referentieniveaus, vanuit de
verantwoordelijkheid van de schoolbesturen, schoolteams en individuele leraren bezien. Het komt, pedagogisch-didactisch bezien neer op een inspanningsverplichting, namelijk: ervoor zorgen dat leerlingen continu en naar eigen leervermogen optimaal worden uitgedaagd, opdat zij een zo hoog mogelijk eindniveau bereiken.
Wat motiveert Cito om vanuit dit aspect van het RWO het hoofdrekenwerk van de leerlingen systematisch te analyseren? Rond de eeuwwisseling ontwikkelde de afdeling Primair Onderwijs plannen voor de uitgave van de tweede generatie toetsen van het zogenoemde LeerlingVolgSysteem (Kraemer, 2009a), dat tegenwoordig de naam heeft van Cito Volgsysteem. Scholen hadden op grote schaal de toetsen van de eerste generatie ingevoerd (Janssen, Kraemer & Notenboom, 1995; 1996; 1997) na het zorgelijke evaluatierapport Onderwijs-op-maat van de Inspectie van het onderwijs (1997). Cito had zogenoemde Hulpboeken uitgegeven (Kraemer, 1995, 1996a) waarmee leraren de groep minst gevorderde leerlingen adequaat konden uitdagen op basis van de longitudinale analyse van de vorderingen in rekenkennis en rekenbekwaamheid. Deze hulpmiddelen werden echter niet gebruikt, ondanks de deelname van een tachtigtal Pabo-docenten en schoolbegeleiders aan de gegeven scholing ten behoeve van de regionale scholing van de leraren (Kraemer, Nelissen & Janssen, 1996).
In het onderwijsverslag 2000 stelt de Inspectie (2000) vast dat er zich geen vooruitgang voordoet in de afstemming van het leerstofaanbod op de leerlingen. Zij betrekt daarbij niet de toegenomen complexiteit van de leerlingenzorg en de differentiatie als gevolg van de instroom van leerlingen met ‘speciale’ behoeften in het ‘reguliere’ primair onderwijs, na de hierboven besproken invoering van de Wet op het Primair Onderwijs (augustus 1998). De inspectie relateert de stilstand wel aan het toenemende lerarentekort. Ongeveer 40% van de school differentieert zoals bedoeld en realiseert aldoende de verwachtingen van de ononderbroken ontwikkeling van de leerling.
Tussen deze twee evaluaties in neemt de bezorgdheid over de risico’s voor leerlingen uit maatschappelijk achterstandsgroepen toe. Voor de zwakste leerlingen dreigt, zoals de Onderwijsraad (1999) dat toen formuleerde, het gevaar dat zij in het primair onderwijs zo weinig leren, dat zij in het vervolgonderwijs en vervolgens maatschappelijk buiten de boot vallen. Daarom krijgt de Expertgroep doorlopende leerlijnen de opdracht om niveaus te beschrijven, zodat leerlingen ‘soepel’ over de ‘lastige drempels’ die in de schoolloopbaan zitten, heenkomen.
De risico’s van deze leerlingen tekenen zich, wat rekenen-wiskunde betreft, duidelijk af in de gevonden effecten van het formatiegewicht en het stratum18 op de
vaardigheid van de leerlingen. Bij de derde medio-peiling in het najaar van 1997 was er een klein verschil in prestatie tussen Nederlandse arbeiderskinderen (1.25-leerling) en landgenoten met hoger opgeleide ouders (1.00-leerling). Kinderen uit gezinnen waarvan ten minste een van de ouders van niet-Nederlandse herkomst is (1.90-leerling), hadden een grote achterstand. De gemiddelde leerling van deze groep opereerde bij meer onderwerpen beneden het percentiel-25 niveau van de 1.00-leerlingen. Vergelijkbare effecten waren gevonden bij de derde eindpeiling in het voorjaar van 1997. Deze effecten rechtvaardigen, vanuit de verantwoordelijkheid van de overheid bezien, de druk op scholen om hun aanbod aan en de begeleiding van de leerlingen (beter) te differentiëren, daarbij rekening houdend met wat cruciaal is voor de voortgang.
In deze context besloot de groep Ontwikkeling & Onderzoek Rekenen-wiskunde Primair Onderwijs van Cito om het procesmatig-diagnostische gehalte van het LOVS te versterken en een referentiekader voor de gebruikers te ontwikkelen voor de observatie, diagnose en planning van het werk van de 25% minst gevorderde leerlingen. Hiertoe zouden de inzichten uit de kwalitatieve analyse van geobserveerde oplossingsprocedures worden geïntegreerd met de informatie die de psychometrische gegevens van de opgavenbanken van LOVS en PPON verschaffen. Dit kader zou geleidelijk aan moeten worden ontwikkeld via de constructie van opgaven die specifiek zijn gericht op de specifieke kennis en vaardigheden waarvan we aannemen dat ze toegang verschaffen tot de opeenvolgende niveaus van denken, symboliseren en rekenen – de in hoofdstuk 4 geëxpliceerde ‘drempelleerstof’ (Kraemer, 2009a; 2009b). Dit vormt de tweede, meer praktische aanleiding voor de onderhavige studie van het rekenwerk van leerlingen.
18 Peilingsonderzoek vindt altijd plaats bij een steekproef van scholen. De scholen zijn verdeeld in drie
groepen / strata op basis van hun schoolscore. Deze schoolscore is gebaseerd op het zogenoemde formatiegewicht. Het formatiegewicht duidt op een combinatie van sociaal-ecomische status, opleidingsniveau en herkomst van de ouders.
1.4
Probleemstelling
In het voorgaande is een overzicht gegeven van de moeilijkheden die Noteboom e.a. (2000) hebben gesignaleerd in het domein van de Getallen en getalrelaties en de
Basisautomatismen en Bewerkingen optellen-afrekken, halverwege de basisschool. Hiervan
uitgaande, kunnen we het probleem waar het onderhavige onderzoek zich op richt, als volgt omschrijven:
– Te veel leerlingen rekenen onder het verwachte niveau in het getalgebied tot honderd. Gelet op de volgorde van aanbieding van de hoofdrekenmethoden, lopen ze het risico niet tijdig het eindniveau te bereiken dat toegang geeft tot (i) onder elkaar rekenen, (ii) optellen en aftrekken volgens vaste procedures, (iii) schattend rekenen en (iv) flexibel hoofdrekenen met veelvouden van duizend, miljoenen en miljarden.
– Er doen zich serieuze problemen voor bij rekenen in contexten waar aftrekken een andere betekenis heeft dan ‘afhalen’. De numerieke symbolisering van de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van de opgave en de bewerking van de getallen van de beschreven relatie brengen minstens de helft van de populatie in moeilijkheden. Wat het probleem is, is niet bekend. De wiskundige symbolisering? De bewerking van de getallen? Of: het samenspel tussen beschrijven en bewerken?
Dit alles roept de kernvraag op van de onderhavige studie: Wat doen leerlingen bij het
oplossen van aftrekopgaven onder de 100 dat de discrepantie verklaart tussen de verwachtingen en de resultaten?
In de oriënterende fase van de studie zijn aanknopingspunten gezocht in de onderzoeksliteratuur om deze vraag in relevante deelproblemen te kunnen uitwerken. Het leidde tot de afbakening van het onderzoeksgebied in drie met elkaar samenhangende hoofdthema’s die in het vervolg worden gepresenteerd:
1. rekenen als uitdrukking van numeriek leren denken; 2. reflectieve klassengesprekken als motor van dit proces en
3. de invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven op het oplossingsproces.
1.4.1 Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken
De hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden van rekenen-wiskunde op de basisschool heeft een ware omwenteling in het denken over ‘leren’ en ‘onderwijzen’ teweeggebracht. Becker & Selter (1996, 511) formuleren het als volgt: ‘Teaching is no longer seen as a treatment and learning as the effect. Learners are people who activeley construct mathematics’. Dit uitgangspunt, dat leerlingen hun eigen wiskundige gereedschappen construeren, is vakinhoudelijk en
vakdidactisch verschillend ingevuld, zoals we later in hoofdstuk 3 zullen zien. Er zijn nuanceverschillen in de doelen en inhouden (wat de leraar aan de orde moet stellen en de leerling moet leren) en in de structurering van het onderwijsleerproces en de rol van de leraar en de leerling bij dit proces (hoe er wordt onderwezen en geleerd). De betrokken rekendidactici en wiskundige onderwijsspecialisten hebben elkaar echter gevonden in een aantal kernideeën en werkprincipes die we in deze dissertatie met de term ‘reconstructiedidactiek’ aanduiden. Deze onderwijsaanpak is verankerd in het gemeenschappelijke denkbeeld dat kinderen wiskundig leren denken door ‘objecten’ uit ‘handelingspatronen’ te abstraheren via de reflectie op wat ze in een bepaald activiteitengebied met een zekere vanzelfsprekendheid doen (Van Hiele, 1973; Steffe, Glaserfeld & Cobb, 1983; Gray & Tall, 1994;). Men neemt daarbij als voorbeeld (‘ontwikkelingsmodel’) de ontstaanswijze van de wiskunde als benaderingswijze en kennissysteem. Paradigmatisch hiervoor is het ontstaan van een ‘natuurlijk getal’ als ‘denkding’ om, zoals Freudenthal (1984, 92) dat formuleert, zekere verschijnselen die te maken hebben met hoeveelheden, te ordenen. In aflevering 2 van zijn reflectie rond het thema Wiskundig fenomenologisch, beschrijft Freudenthal (1990a, 13) als volgt hoe, ‘aan de wortels van de wiskunde’, het ‘natuurlijk getal’ uit het telproces is geabstraheerd. De getallenrij is de oorspronkelijke vorm, het eerste taalkundige wiskundig algoritme. Zodra de opeenvolging van de telwoorden wordt gebruikt om iets te tellen, verkrijgt de getallenrij uiteenlopende betekenissen die verbonden zijn met wat er wordt geteld, in welke context en met welke bedoeling. Door af te zien van deze verscheidenheid – wat Piaget (1972) ‘reflectieve abstractie’ noemt – wordt het getal als een op zichzelfstaande ‘entiteit’ mentaal geconstitueerd. Het fungeert vanaf dat moment als ‘ding’ (‘notie’; ‘concept’) dat vanuit haar operationele en structurele kant wordt gebruikt om over hoeveelheden te denken en ermee te manipuleren (Sfard, 1991). Laten we ‘acht’ als voorbeeld nemen. Het kan worden opgevat en gebruikt als het resultaat van ‘optellen’ via verder tellen met één (de proces-kant van getallen) en als ‘som’ (5+3=8, 6+2=8, etc.), ‘verschil’ (10-2; 12-4, etc.), ‘product’ (het dubbele van 4; vier keer twee) of ‘quotiënt’ (de helft van 16) (de structuur-kant van getallen).
Vanuit deze invalshoek hebben we twee aanknopingspunten voor de observatie en analyse van oplossingswijzen gevonden. Ten eerste de twee vormen van denken die worden ingezet bij het lokaal oplossen van contextprobleem (c.q. formuleopgaven). Ten tweede de verschillen in oplossingsniveaus als neerslag van de conceptuele en operationele
groei van de leerling.
‘Relationeel’ en ‘rekenkundig’ redeneren bij probleem oplossen
Wat het oplossen van problemen betreft, wordt er in de realistische didactiek een verschil gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1996) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational reasoning’ en bewerken op ‘calculational reasoning’. Het eerste aspect van probleemoplossen heeft betrekking op het leggen van de juiste relaties tussen de
hoeveelheden van de probleemsituatie, het tweede op het correct berekenen van de ontbrekende term binnen de numerieke relatie die deze relatie symboliseert. Dit laat zich als volgt illustreren met het busprobleem uit de derde PPON-rekenpeiling:
In de bus zijn 54 zitplaatsen. Er zitten 25 mensen in de bus. Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij?
Leerlingen kunnen minstens op drie manieren de situatie interpreteren die in figuur 1.5 numeriek is weergegeven:
– Als een verzameling van 54 stoelen die bestaat uit een set van 25 bezette stoelen en een set van een onbekend aantal vrije stoelen. Deze visie laat zich met een afsplitsing symboliseren.
– Als een kwantitatief verschil tussen twee hoeveelheden, denkend aan hoeveel de ene hoeveelheid meer / minder is dan de andere. Dit kan met een indirecte optelling of aftrekking worden gerepresenteerd.
– Als het numerieke verschil dat het resultaat is van een aftrekking.
Afsplitsing / Combinatie Kwantitatief verschil Numeriek verschil
Figuur 1.5 Drie interpretaties en passende symboliseringen van het busprobleem
Hoe de leerling vervolgens denkt bij het uitrekenen van 54 = 25 + ?, 25 + ? = 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? is afhankelijk van uiteenlopende procedurele kennis in de zin van Hiebert (1986):
– begrip van ‘splitsen’, ‘indirect optellen/aftrekken’, ‘aftrekken’ en van de relatie tussen deze operaties;
– inzicht in en de parate kennis van de optel- en aftrekrelaties tussen 54, 25 en 29 en
– begrip van de (hoofdreken)methoden en procedures die hij kan inzetten om 54 = 25 + ?, 25 + ?.= 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? uit te rekenen.
In onderstaande oplossing beschrijft de leerling de relatie van het busprobleem met een indirecte optelling – de stipsom [25+..=54]. De numerieke uitdrukking roept het geheugenfeit [25+25=50] op en hierdoor de herleiding via de compensatie +4. Dit voorbeeld maakt de connectie zichtbaar tussen beschrijven en bewerken, via de bewustwording (c.q. het besef) van wat je ziet en doet:
