Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven opgaven

aandacht verdienen.

1.4.3 Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele

opgaven

In zijn commentaar op de resultaten van de eindpeiling van 1987, legt Theunissen (1988) zijn visie voor over de ‘extra moeilijkheden’ die het talige karakter van wat hij een ‘tekstuele’ opgave noemt, veroorzaken. Hij doelt op de ‘decodering’ van de schriftelijke informatie in de beschrijving van de situatie en de gestelde vraag. De leerling moet ‘de semantische structuur van de opgave doorgronden om tot het mentaal of conceptueel model te komen’, aldus Theunissen (ibid.171). Dit voegt een extra dimensie toe aan het hierboven geïntroduceerde ‘relational reasoning’, zoals opgevat door Thompson en Thompson (1993; 1996).

Deze ‘decodering’ is binnen de ‘probleem research’ (De Corte & Verschaffel, 1987; Verschaffel & de Corte, 1997) en de ‘problem solving approach’ (Fuson, Wearne,

Hierbert, Murray, Human, Olivier, Carpenter & Femmena, 1997) in de afgelopen dertig jaar, internationaal en vanuit een gemeenschappelijk classificatiesysteem van ‘word problems’, uitvoerig en zeer systematisch onderzocht. De gebruikte indeling gaat uit van vier klassen van problemen die met de termen change (oorzaak verandering), combine (combinatie), compare (vergelijking) en equalize (gelijk maken) worden aangeduid. Deze studies hebben aangetoond dat specifieke kenmerken van een schriftelijk aangeboden contextprobleem het oplossingsproces negatief en positief kunnen beïnvloeden. De voor dit onderzoek relevante bevindingen laten zich als volgt samenvatten:

– Leerlingen scannen als het ware de tekst op zoek naar ‘sleutelwoorden’ die naar een bekende klasse van problemen verwijzen, zoals ‘nog’ (aanvullen), ‘minder’ (vergelijken) en ‘over’ (afhalen) (De Corte & Verschaffel, 1987; Verschaffel & de Corte, 1997).

– Talige aspecten van de tekst als de (in)consistentie tussen wat een sleutelwoord suggereert en de juiste voorstelling van de probleemsituatie beïnvloeden het oplossingssucces (Van der Schoot, Vastbinder, Horsley, Reijntjes & van Lieshout, 2009; Van der Schoot, Reijntjes & van Lieshout. 2011);

– De volgorde van aanbieding van de relevante informatie beïnvloedt de beeldvorming van de situatie.

– Illustraties die relevante informatie verschaffen die de tekst niet geeft, doen een beroep op het werkgeheugen. Dit kan in het nadeel werken van leerlingen met weinig werkgeheugencapaciteit, die al moeite hebben met het mentaal bijhouden van hun rekenstappen.

Wij zullen in hoofdstuk 2 zien, dat Verschaffel (1988) vóór de uitgave van de balans al kanttekeningen had geplaatst bij het voorstel van Treffers, de Moor en Feijs (1988) om leerlingen van begin af aan met een breed scala van contextproblemen te confronteren. Hij steunde het streven, maar miste een zekere systematiek in de beschrijvende fase van het probleemoplossen. Leerlingen zouden expliciet moeten leren een contextprobleem grafisch en numeriek in kaart te brengen en in die zin ‘strategische kennis en vaardigheden’ moeten verwerven. Dit verzoek werd in die vorm niet gehonoreerd. Treffers, de Moor en Feijs (ibid.13-19) verwezen naar het vierde principe van de realistische didactiek, dat reflectieve klassengesprekken aanbeveelt ter ondersteuning van het leerproces van de individuele leerling.

1.4.4 Conclusie

Wij hebben zojuist een rondgang in de literatuur gemaakt langs het gebruik van contextproblemen en kale rekensommen bij leren hoofdrekenen, om aanknopingspunten te vinden voor de afbakening, structurering en opzet van onderhavige studie. De volgende conclusie kan uit deze oriëntatie worden getrokken.

Het oplossen van formuleopgaven en contextproblemen is geen losstaande vaardigheid die als zodanig kan worden geleerd. Het maakt deel uit van een complexe wiskundige bekwaamheid. Het doet ten eerste een beroep op denken in termen van

numerieke relaties die de relatie tussen concrete of denkbeeldige hoeveelheden en

grootheden symboliseren (‘relationeel’ denken bij het wiskundig beschrijven van processen of relaties). Het vergt ten tweede de ontwikkeling van verschillende vormen van operationeel denken binnen het eigen systeem van getallen, numerieke relaties en operaties als knooppunten van relatienetten (‘rekenkundig’ denken in de bewerkingsfase van problemen oplossen). Het einddoel van adequaat en flexibel hoofdrekenen vergt ten slotte de ontwikkeling van strategisch denken vanuit het verworven inzicht in de mogelijkheden en beperkingen van het eigen rekeninstrumentarium.

Basisschoolleerlingen ontplooien progressief deze drie vormen van wiskundig denken. Ze construeren stap voor stap de daarbij betrokken rekenkennis (c.q. noties/concepten; symbolen) en rekenprocedures (c.a. algoritmen) via de reflectie en discussie in klassengesprekken over persoonlijke denkbeelden en werkwijzen en die van groepsgenoten die de eigen rekenactiviteit en de communicatie erover teweeg hebben gebracht.

Er is een kader nodig om deze conceptuele en operationele groei van de leerling te beschrijven, een beschrijvingskader, dat als model van de nagestreefde groei kan fungeren. In hoofdstuk 4 proberen we als het ware een prototype te construeren via de hiërarchische organisatie van de vormen van optellen en aftrekken uit constaterend onderzoek vanuit de beschikbare theorieën over de niveaus van het leerproces bij wiskunde-leren en de groei van kinderen in rekenkundig denken.

We hebben in het voorgaande de sleutelkwesties van het onderzoeksgebied geïnventariseerd. Op basis van de opbrengst van deze oriëntatie zijn vijf richtinggevende onderzoeksvragen geformuleerd voor de afbakening, structurering en opzet van de vigerende studie. Ze worden in het vervolg gepresenteerd en kort toegelicht.

1.5 Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van

de studie

De volgende vragen zijn als wegwijzers gebruikt voor de afbakening, structurering en opzet van de vigerende studie:

– Wat is de ideale progressie van de leerlingen bij leren hoofdrekenen onder de 100, volgens de principes van de realistische didactiek? (verwachtingen)

– Wat kunnen leerlingen met lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid halverwege de basisschool in het domein van de Getallen en getalrelaties, de

– Hoe denken en rekenen deze leerlingen bij het oplossen van aftrekopgaven? En: wat is de bron van de foutieve antwoorden die ze geven? (toepassingsvaardigheid)

– Wat zeggen de analyseresultaten over de groei van de leerling in numeriek denken en de verworven hoofdrekenvaardigheden halverwege de basisschool? (Balans van rijgen, splitsen en beredeneren en ontwikkelingstendens)

– Wat gebeurt er bij het leren rekenen onder de honderd? En: in hoeverre weerspiegelen de data de nuanceverschillen tussen de drie onderscheiden varianten van de reconstructiedidactiek? (discussie)

Ad. 1 Ideale progressie

Wij richten ons op leren en onderwijzen in het getalgebied tot 100 in het verlengde van het aanvankelijk rekenen. De ideale rekenlijn die we als ‘norm’ nemen is die van de Tussendoelen annex leerlijnen (TAL-team, 1999; Van den Heuvel- Panhuizen, Buijs en Treffers, 2001) en de leerlijn van de Proeve … (Treffers & de Moor, 1990) die als basisstructuur is gebruikt. De didactische principes zijn ontleend aan Treffers’ (1987)

globale onderwijstheorie en aan de daarvan afgeleide principes voor hoofdrekenen

(Treffers & de Moor, 1990). Deze realistische aanpak van leren hoofdrekenen wordt in hoofdstuk 3 gepresenteerd als een van de drie ontwikkelde varianten van de

reconstructiedidactiek die is voortgekomen uit de nieuwe visie op het belang van rekenen

en het actief betrekken van de leerling bij het leerproces. Ad. 2 Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool?

De directe observatie van de leerlingen is ingebed in de vierde PPON rekenpeiling halverwege de basisschool die in januari/februari 2002 is uitgevoerd. De afname is verschoven ten opzichte van die van de drie eerste peilingen om de relatie te kunnen leggen tussen het landelijk onderwijsniveau in de deelgebieden van rekenen-wiskunde en de algemene rekenvaardigheid van individuele leerlingen, zoals gemeten met de toetsen van het Cito volgsysteem (LOVS). Als gevolg van deze afstemming van de PPON-afname op die van het LOVS en de integratie van de gegevens bij de analyse van de resultaten, werd het mogelijk om de kennis en bekwaamheid van twee groepen leerlingen, halverwege de basisschool, onder de loep te nemen. In januari/februari 2002 zijn in het kader van de vierde PPON-rekenpeiling ongeveer 150 deelnemende leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid direct geobserveerd bij het oplossen van een reeks optel- en aftrekopgaven. Het jaar daarop (januari/februari 2003) zijn evenveel leerlingen uit een steekproef van LOVS-scholen geobserveerd die deelnamen aan het normeringonderzoek ten behoeve van de uitgave van de tweede generatie LOVS-toetsen.

De vraag Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool? wordt beantwoord op basis van de resultaten van beide steekproeven van scholen, zoals gerapporteerd in de

der Schoot en Hemker, 2005)22. Hoofdstuk 6 geeft een overzicht van de opgaven die de drie vaardigheidsgroepen onvoldoende, matig en goed beheersen. Voor zover dat mogelijk is, wordt vastgesteld welke inhouden en vaardigheden de leerlingen beheersen die toegang geven tot de niveaus van denken, symboliseren en bewerken van het, in hoofdstuk 4, geconstrueerde model van de groei van de leerling.

Ad. 3 Hoe denken en rekenen de leerlingen?

De directe observatie van de drie PPON- en LOVS-vaardigheidsgroepen levert het bestand van oplossingsprocedures op dat inzicht moet geven in hoe leerlingen, halverwege de basisschool, relationeel, operationeel en strategisch denken bij het oplossen van een reeks gevarieerde aftrekopgaven die in hun vaardigheidsbereik liggen. Er is bewust gekozen voor de afstemming van de opgaven op het vaardigheidsniveau van de leerlingen, zodat ze kunnen tonen wat ze van de getallen en de operaties begrijpen en daarom toepassen. Dit impliceert dat het gehanteerde onvolledige design zeer geringe mogelijkheden biedt voor de vergelijking van de oplossingsprocedures tussen de drie vaardigheidsgroepen.

In hoofdstuk 5 wordt de gekozen analyse van drie aspecten van de geobserveerde oplossingsprocedures verantwoord: 1. gebruikte vormen van hoofdrekenen (aard en niveau van de bewerkingen), 2. de omgang met de context en de getallen van de opgaven (relationeel en strategisch denken) en 3. de bron van de gegeven foutieve antwoorden (begripsfouten, rekenfouten en uitvoeringsfouten).

Ad. 4 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren

Dan wordt op basis van de patronen in de resultaten van deze analyse de balans opgemaakt van rijgen, splitsen en beredeneren. Uit deze sterkte-zwakte analyse van de vaardigheid abstraheren we de dominante tendens in de groei van numeriek denken in de eerste helft van de basisschool. Het onderzoek is dan feitelijk voltooid.

Ad. 5 Discussie

Wiskunde-didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een internationale gemeenschap van experts op het probleemveld van wiskunde leren en

wiskunde onderwijzen. In deze nieuwe context zijn in de laatste decennia van de vorige

eeuw drie paradigmatische vormen van lesgeven in het getalgebied onder honderd ontworpen die in deze dissertatie zijn aangeduide met de term TAL-didactiek, de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. In het theoretische kader van hoofdstuk 3 beschrijven we vier spanningsvelden bij het ontwerpen die rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft tegenstellingen ten

22 Deze analyse sluit aan bij die van de resultaten van de derde PPON rekenpeiling die in bijlage 2 van zijn samengevat.

aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof, de macro-structurering van het leerproces en de functie van de klas. Op basis van de gevonden patronen in de drie stijlen van ontwerpen, komen we tot de conclusie dat we kunnen spreken van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die verschillende kleuring krijgt, afhankelijk van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden.

In het afsluitende hoofdstuk 11 interpreteren we eerst de gevonden tendens in de groei van de leerlingen vanuit de vraag wat hen mogelijkerwijs beweegt om te handelen zoals ze dat doen en waarom de leraar hen die ruimte geeft. Van hieruit reflecteren we in de discussie over de vraag in hoeverre wat er in de klas bij hoofdrekenen gebeurt het gevolg is van het standpunt dat de Nederlandse realistische didactici hebben ingenomen ten aanzien van de vier componenten die de eigen kleuring geven aan een reconstructiedidactiek: het algemene doel, de leerstructuur, de macro-structurering van het leerproces en de functie van de klas.

1.6 Relevantie van het onderzoek

Deze studie is zowel onderzoekstheoretisch als praktisch relevant. Het slaat een brug tussen het Nederlandse fenomenologisch-didactische ontwikkelingsonderzoek voor het ontwerpen van onderwijsleeromgevingen en leertrajecten en het Amerikaanse empirische, cognitief-psychologische onderzoek naar de ontwikkeling van het getalbegrip en van optel- en aftrekalgoritmen. De ontwikkelde hiërarchie van tussenvormen van hoofdrekenen biedt houvast voor zowel de toetsontwikkelaar als voor de (aanstaande) leraren, nu de overheid de continue ontwikkeling van elke leerling wil bewerkstellingen via planning- en opbrengstgericht (reken-wiskunde) onderwijs.