Drie reconstructiedidactieken
3.7 Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden
3.8.4 Didactische middelen
Rol van de contextproblemen. Het TAL-team gebruikt contextproblemen om verschillende
doeleinden inzetten: (i) ter oriëntatie, (ii) als middel om een drempel te nemen en (iii) achteraf als model voor een klasse van bewerkingen, (iv) om de geleerde manieren van denken en rekenen te leren toepassen en (v) om inzichtelijk te oefenen. Binnen de Amerikaanse variant vormen de contextproblemen in de regel de aanleiding en context van de voortgezette mathematisering op het betreffende probleemgebied, zoals het gebruik van een lege getallenlijn als model om de eigen voorstelling van de relatie tussen twee hoeveelheden met aaneengeregen getallen te symboliseren. Binnen de probleem- oplossende didactiek worden de problemen hoofdzakelijk gebruikt als
verkenning van manieren van modeleren met decimale middelen die decimaal denken ontluikt.
Rol van de hulpmiddelen (c.q. rekentaal en modellen). Het gebruik van hulpmiddelen vormt
de grootste bron van spanning binnen de Amerikaanse reformbeweging tussen de realistische stijl en de probleemoplossende stijl. Het TAL-team neemt een tussenpositie in. Dit moet als volgt worden gezien. Precies zoals hun Amerikaanse collega’s uit de vier experimentele ‘problem solving’-projecten, zet het TAL-team voorgestructureerde leermiddelen in die het denken van de leerling sturen. De decimaal gestructureerde kralenketting moet de leerling bevrijden van de modellering met telstappen. Op een vergelijkbare manier oriënteert, op het grondniveau van splitsen, de modellering van probleemsituaties met namaakgeld zich op decimaal-positioneel rekenen met tientallen en eenheden. Tegenover deze werkwijze staat de progressieve modellering binnen de Amerikaanse realistische aanpak die op het structuurloze grondniveau van symbolisering start en elk nieuw gereedschap aanreikt als potentiële oplossing voor wat de leerling in de betreffende situatie als probleem ervaart. In die zin fungeert elk nieuw geïntroduceerd middel als het medium waarmee vooruitgang is geboekt.
Rol van de klas als sociaal verband.Leren komt tot uitdrukking in individuele constructies. Deze constructies worden echter gevoed door de betrekkingen en de cultuur in de sociale context van de klas. In die zin zijn de idiosyncratische constructies sociaal-cultureel gekleurd. Er tekent zich wat dit betreft wel degelijk een verschil af tussen het TAL-team aan de ene kant en hun Amerikaanse collega’s aan de andere kant. In de TAL-didactiek werkt de groep meer als prikkelende en ondersteunende achtergrond. In de Amerikaanse klassen fungeert de grote groep als de sociale ruimte waarin de individuele constructies ‘collectief’ worden georganiseerd. Dit proces maakt de individuele leerlingen en de leraar bewust van de tijdelijke denkbeelden en gewoonten die in de groep leven en die als zodanig de voortgang in het leerproces van het ‘collectief’ herkenbaar maken.
3.9 Conclusie en aandachtspunten voor de
classificatieproblematiek
In paragraaf 3.2 kwamen we tot de voorlopige conclusie dat er binnen de onderzoeksgemeenschap voldoende consensus bestond over kernkwesties om de drie ontwikkelde stijlen van ontwerpen en lesgeven in het getalgebied tot honderd als varianten van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ te beschouwen. Bovenstaande vergelijking heeft bruggen tussen de drie varianten geslagen en de geïdentificeerde spanningsvelden verhelderd. Het geheel ondersteunt het beeld van een consensus over het kernprincipe van wiskunde leren. Ontwerpers van een reconstructiedidactiek gaan ervan uit dat de leerlingen van een klas bij eigen tel-, meet- en rekenactiviteiten lering
trekken uit progressief mathematiseren in probleemsituaties die hiertoe zijn ingericht, gebruikmakend van geijkte instrumenten en reflecterend in de grote kring over elkaars ervaringen, denkbeelden en werkwijzen. De gevonden tegenstellingen signaleren de gevoelige onderwerpen die de speciale kleuring geven aan de eigen stijl van ontwerpen en lesgeven en de actuele geschilpunten bij leren rekenen tot honderd. De geconstrueerde profielen fungeren daarom als referentie voor het leggen van relaties tussen de geobserveerde vaardigheid en de TAL-didactiek (hoofdstuk 11) en voor de discussie over de mogelijke versterking van deze stijl van ontwerpen en lesgeven (hoofdstuk 12).
Hoofdstuk 4
Classificatiesysteem
4.1 Inleiding
In het voorafgaande hebben we het theoretisch kader van de studie naar oplossingsprocedures uiteengezet. We hebben nu een nomenclatuur en ontwikkelingsmodel nodig om de rekenhandelingen van de leerlingen zo te beschrijven en te vergelijken, dat we een beeld krijgen van het bereikte niveau van numeriek denken en van de symboliseringsmiddelen en rekenprocedures die leerlingen in elementaire toepassingssituaties gebruiken.
Dit is het doel van dit hoofdstuk. We nemen in dit perspectief een dubbel standpunt in: dat van de leerling die zijn kennis en instrumenten zelf construeert en dat van de leraar die hem daarbij inhoudelijk begeleidt. Dit impliceert dat we de sleutelideeën van de hiervoor omschreven ‘algemene reconstructiedidactiek’ als theoretische grondslag gebruiken. Het betekent concreet dat we uitgaan van de volgende drie principes:
1. Leerlingen vinden de verschillende methoden en vormen van hoofdrekenen uit via de continue organisatie en systematisering van hun eigen rekenervaringen (verticale mathematisering);
2. Deze verticale mathematisering houdt, ontwikkelingspsychologisch en mathematisch gezien in, dat leerlingen continu een nieuwe conceptie van ‘getal’ (concept) abstraheren uit handelingspatronen die verbonden zijn met een voor hen vanzelfsprekend geworden manier van doen in paradigmatische probleemsituaties (‘encapsulation’) als abstractieproces;
3. Leraren leiden en ondersteunen de leerlingen door hen de middelen aan te reiken die hen in staat stellen om wat ze in fenomenen zien (verschijnselen uit de leefwereld en/of eigen wiskundige constructies) zichtbaar te maken en de betreffende denkbeelden in reflectieve klassengesprekken te kunnen bespreken en organiseren.
Het classificatiesysteem en de sequentie van de verticale mathematisering van de eigen rekenactiviteit die we in dit hoofdstuk construeren zijn verankerd in deze drie principes. De inhoud ervan wordt als volgt gevonden. We nemen het Leidse
classificatiesysteem (Klein, 1998) als uitgangspunt voor de definiëring van de
hoofdrekenmethoden en bijbehorende rekenvormen. Als model voor de toenemende abstractie nemen we het idee van reification (Freudenthal,1984; Van Hiele, 1973; Sfard, 1991; Gray & Tall, 1994). Het idee daarbij is dat processen na verloop van tijd worden opgevat als objecten (wiskundige handelingstructuren; vormen) waaruit concepten worden geabstraheerd (wiskundige begrippen; inhouden) die op hun beurt een hogere vorm voortbrengen. We nemen vanuit deze invalshoek Gray & Talls (1994) model van ‘encapsulation on successively higher levels’ als leidend principe (zie hoofdstuk 3). De beschikbare internationale documentatie over de wiskundige ‘inhouden’ (concepten c.q. mentale objecten) en ‘vormen’ (handelingstructuren c.q. rekenprocedures) die de leerlingen construeren bij numeriek leren denken en hoofdrekenen vormt de empirische grondslag van het classificatiesysteem en de ontwikkelingssequentie.
We beginnen de constructiewerkzaamheden met de bespreking van de kwestie die een nieuwe wending heeft gegeven aan de studie naar oplossingsprocedures: Beishuizen’s (1997) onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode’ en zijn visie op de relatie ertussen en de implicaties voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen.
4.2 Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en
‘rekenmethode'
Sinds de start van zijn onderzoek naar oplossingsmethoden binnen het project ‘Cognitieve strategieën’ van de vakgroep Onderwijsstudies in Leiden heeft Beishuizen een brug proberen te slaan tussen de denkwereld van realistische didactici en die van onderwijs- en ontwikkelingspsychologen (zie hierover Van Mulken, 1992; Verschaffel en Ruijssenaars, 2002). In de overlegsfeer van de internationale expertmeeting Leiden
on Sea50 beveelt hij vanuit deze instelling zijn landgenoten en buitenlandse collega’s aan om nauwkeuriger over oplossingsmethoden van leerlingen te communiceren. De gebezigde terminologie zou verwarrend werken en hierdoor voortschrijdend inzicht blokkeren in hoe leerlingen denken en rekenen bij het oplossen van rekenvraagstukken.
De kwestie die hij aan de orde stelt betreft de vraag naar 1. wat men onder ‘strategy’ en ‘method’ verstaat (c.q. dient te verstaan) en 2. hoe men met de relatie ertussen omgaat (c.q. dient om te gaan). Onderstaand citaat uit Beishuizen’s (1997) bijdrage in de
publicatie van de meeting The role of contexts and models in the development of mathematical
strategies and procedures geeft de kern van zijn uitdagende stellingname weer.
In todays’s literature we see a widespread use of the term strategy (…). The concept ‘solution strategy’ is much more in focus than ‘computation procedure’. And indeed the influence of (semantic) problem structure, of informal strategy and strategy choice as opposed to merely procedural computation and memorization of number facts, adds much more to new insights in the solution behavior of pupils (…).
However, the other side of this picture in our opinion is the inflated use of the term strategy in today’s literature: almost everything is called a strategy. It seems as if authors have a preference for speaking of strategy and have an aversion to the term procedure. However from a psychological point of view there are many types of proceduralization (…).
Nevertheless the term strategy is often over-used, notably in cases where speaking of procedure would be more appropriate in our opinion. For instance Carpenter and Moser (1984) described the mathematical development in a longitudinal study from grade 1 through grade 3 as follows: ‘Modeling strategies were gradually replaced with more sophisticated counting strategies’ (p. 179). But our question is if it would be more appropriate to call strategies like counting-on a procedure in the sense of Anderson’s (1982) psychological theory of proceduralization. Compare also Reys, Reys, Nohda and Emori (1995) describing their study as ‘Mental computation performance and strategy use of Japanese students in grades 2, 4, 6 and 8’. (ibid., 129-130; cursief in het origineel).
Beishuizen (ibid.) illustreert het belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode’ aan de hand van drie oplossingsprocedures (figuur 4.1) van leerlingen die deel hadden genomen aan Klein’s (1998) onderwijsexperiment met twee instructiemethodieken voor flexibel leren rekenen onder de honderd, namelijk de
Proeve-lijn versus de Stadia-lijn. De eerste methodiek is het prototype van de
TAL-didactiek. Het bevordert van begin af aan, via de modellering van hiertoe aangeboden typen problemen, een breed pallet van oplossingsprocedures. De Stadia-methodiek bevordert juist eerst de ontwikkeling van vaste vormen van rekenen op lijn (rijgmethode) en stimuleert pas later de uitvinding van ‘handige’ vormen van ‘gevarieerd’ rekenen.
Wat beschouwt Beishuizen in deze oplossingsprocedures als ‘strategie’ en ‘methode’? Hoe ziet hij de relatie ertussen? En: welke implicaties trekt hij voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen? We richten ons hieronder op de kern van deze kwesties.
Figuur 4.1 Drie oplossingen van het probleem “Leiden on Sea” (Bron: Beishuizen, 1997, 128)
Verschil tussen ‘strategie’ en ‘methode’
We nemen de handgeschreven codering van figuur 4.1 uit het Leidse classificatiesysteem (Kein, 1998) als aangrijpingspunt.
De bovenste code duidt de gevolgde ‘strategie’ aan. In Gravemeijer’s (2003a)
terminologie is dit de wijze waarop de leerling de strandwandeling wiskundig beschrijft:
– AOT (Adding-On-To solution) Indirect Optellen) geeft aan dat Wilco en Eddy een aanvulstructuur in dit probleem zien c.q. herkennen. Ze ‘lopen’ als het ware in gedachte van kilometerpaal 9 naar kilometerpaal 31 en overbruggen, al doende de afstand tussen 9 km en 31 km.
– SUB (SUBtraction AFtrekken), bij Brit’s oplossing, geeft aan dat zij het
probleem opvat als een verschil in ‘aantal’ kilometer dat kan worden gevonden door het kleinste aantal km van het grootste af te trekken, wat Thompson (1993, 166) een ‘numeriek verschil’ noemt.
Het probleem van de wandeling laat zich echter ook op een derde manier benaderen, namelijk via ‘indirect aftrekken’. Het kan worden opgeroepen door de
suggestie van de leraar: “Stel je je eens voor dat je van paal 31 naar paal 9 loopt …?”.
Taking-Away-To solution is dus de derde aftrekstrategie die Beishuizen onderscheidt. Het wordt in
de realistische reken-wiskunde handleidingen en in de klas geassocieerd met een klasse contextproblemen die uitnodigen om “terug te rekenen” of “leeg te maken”, in plaats van “verder op te tellen” of ”aan te vullen”.
De strategie duidt, concluderend de rekenstructuur waarmee de leerling de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een aftrekprobleem associeert. Het komt cognitief-psychologisch en mathematisch gezien neer op de abstractie van een operatie uit de gegevens van de betreffende probleemsituatie:
– een aftrekking bij ‘aftrekken’ c – b = ?
– een optel-stipsom bij ‘indirect optellen’ a + ? = c; – en aftrek-stipsom bij ‘indirect aftrekken’ c - ? = b
De drie opgaven van figuur 4.2 representeren de typen contextproblemen die het TAL-team (1999; Buijs, 2000), geheel in de lijn van de Proeve …, gebruikt om in de fase van informeel, contextgebonden rekenen (c.q. de generalisering van geleerde strategieën) flexibel “af te trekken”. De nadruk wordt daarbij echter gelegd op wat Veltman en Treffers (1993) in het perspectief van leren rekenen op de lege getallenlijn, “aftekken van het begin” (indirect optellen) en “aftrekken van het einde” (aftrekken) noemen, het zogenoemde “tweezijdig” aftrekken. Leerlingen associëren beide uitdrukkingen met het schuiven van kralen op de gekleurde kralenketting, zoals toegelicht en geïllustreerd in hoofdstuk 2. “Aftrekken van het begin” had ten slotte ook een andere connotatie, namelijk die van teruggeven van geld bij betalen aan de kassa. Digitaal afrekenen heeft deze zogenoemde “winkelmethode” van aftrekken om zeep geholpen.
De ouders van Mario hebben 900 euro op hun spaarrekening.
Ze gebruiken dit geld om een fiets van 595 euro te kopen.
Hoeveel geld houden ze over?
Er zijn 36 verschillende plaatjes van bijzondere dieren.
Nicky heeft er al 25. Hoeveel plaatjes mist ze nog?
Joyce weegt 18 kilo, Lex 22 kilo.
Hoeveel kilo is Joyce lichter dan Lex?
Figuur 4.2 Drie opgaven uit het onderhavig onderzoek die respectievelijk ‘afrekken’, ‘indirect optellen’ en ‘indirect aftrekken’ suggereren
900 ? 595 36 25 ? 22 18 ?
De tweede code van de oplossing van Wilco, Eddy en Brit duidt de toegepaste methode
van hoofdrekenen aan, wat Gravemeijer (2003a) met ‘het uitvoeren van bewerkingen’ associeert:
– Het acroniem A10 geeft aan dat Wilco op-lijn, d.w.z. met de rijgmethode, springt van de ene paal naar de andere (met sprongen van 10 km) nadat hij eerst naar de dichtst bijzijnde paal heeft gesprongen:
(9) 10 20 30 31, samen 1+10+10+1=22 km.
– Het acroniem N10C, bij de oplossingen van Eddy en Brit, duiden de twee verschillen met Wilco’s bewerkingen aan.
N10 geeft aan dat beide leerlingen ook rijgen, echter zonder tussenstap naar het
tiental. Eddy ‘springt’ 30 verder, vanaf het ‘begingetal’ (paal 9). Brit springt met 10 terug, vanaf het ‘eindgetal’ (paal 31).
Hoofdletter ‘C’ bij N10 staat voor ‘Compensation’. Het geeft aan dat Eddy bewust
voorbij paal 31 ‘springt’ en Brit express voorbij paal 9 en daarna deze handeling compenseren.
Eddy: 9+30=39 39-8=31 (incorrect) in plaats van 30-8=22 Brit: 31-10=21 21+1=22 (correcte compensatie)
Relatie tussen ‘strategie’ en ‘methode’
De drie voorbeelden maken de relatie zichtbaar tussen ‘strategie’ en ‘procedure’. De
strategie determineert de aard van de rekenhandelingen: afrekken, indirect optellen of
indirect aftrekken. De rekenmethode duidt de hoofdrekenmanier aan, waarop de getallen worden bewerkt (rijgen, splitsen of variarekeken), die verschillende gedaanten aanneemt (rekenvorm), afhankelijk van het niveau van formalisering van de rekenhandelingen (bijvoorbeeld rijgen met de 10-sprong of met de sprong naar het tiental of met compensatie, etc.).
Betekenis voor onderzoek naar flexibel hoofdrekenen
Beishuizen beargumenteert aan de hand van onderstaande aanvullende informatie het belang van zijn dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen.
Wilco behoort tot de groep leerlingen die het basale niveau van rijgen hebben bereikt. Hij heeft geleerd de tientallen als knooppunten te gebruiken en overbrugt op deze manier probleemloos de betrekkelijk kleine afstand tussen 9 en 31.
Eddy behoort ook tot de groep ‘zwakke’ rekenaars die, via de Proeve-methodiek, kennis heeft gemaakt met de ‘handige’ vorm van ‘rekenen op lijn’ (rijgen) met compensatie. Hij rekent ‘vooruit, net als Wilco, maar telt in één mentale handeling 30 bij 9 op, wetend dat het evenveel is als 39. Wat hij (nog) niet overziet, zijn de implicaties van de afwijking van deze uitkomst met die van de stipsom van de wandeling: 9 + 30 = 39 versus 9 + ? = 31.
Brit behoort ten slotte tot de groep “goede” rekenaars. Zij negeert de gesuggereerde overbrugging 9 31 en trekt bovendien één te veel af (10 i.p.v. 31-9) wat met ‘plus één’ wordt gecompenseerd. In die zin combineert Brit ‘aftrekken’ met de handige compenseerprocedure van de zogenoemde ‘variamethode’.
Wat is nu de betekenis van deze dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar flexibel rekenen?
De dubbele codering maakt zichtbaar dat de moeilijkheidsgraad van een opgave en dus de kans op succes van een leerling direct afhangt van enerzijds de gebruikte combinatie van strategie en methode en anderzijds van de mate waarin de gebruiker over de noties (concepties) en vaardigheden beschikt, waar deze combinatie een beroep op doet.
– Eddy valt uit de boot omdat hij, in tegenstelling tot Wilco, een onbekende stipsom uit een optelfeit probeert af te leiden wat, deductief gezien, zeer complex is.
– Wilco volgt echter de weg van de geringste weerstand: eerst van 9 naar 10, dan van 10 naar 20 en 30 en ten slotte van 30 naar 31.
– Eddy maakt het zich ook moeilijk, in vergelijking met Brit die ook een geheugenfeit als ‘hulpsom’ gebruikt. Wetend dat 31 – 10 = 21, ziet Brit dat zij er één te veel heeft afgetrokken met als gevolg dat zij, bij 31 - 9 er één meer overhoudt: 21 wordt 22.
In het vervolg beargumenteert Beishuizen (1997) in zijn bijdrage in het Leidse conferentieboek aan de hand van voorbeelden van andere relevante Leidse studies51
dat methoden en strategieën, gedurende het langlopende proces van leren afrekken, meer of minder bij elkaar passen, afhankelijk van de voortgang van de leerling in de conceptualisering en formalisering van aftrekken onder de honderd. Tot het er niet meer toe doet, omdat de leerling dan puur met afsplitsingen van getallen en rekeneigenschappen opereert.
We lichten zijn denkbeeld (ibid. 137; 156) kort toe aan de hand van geobserveerde oplossingen van de drie opgaven die de drie aftrekstructuren (c.q. strategieën) vertegenwoordigen.
Het TAL-team (1999; Buijs, 2000) legt in jaargroep 4 de nadruk op rijgen in combinatie met aftrekken en indirect optellen. Deze twee combinaties genereren de meest toegankelijke vormen van rekenen met tientaloverschrijding (gearceerde oplossingen van figuur 4.3).
– Splitsen in combinatie met aftrekken wordt in de regel uitgesteld tot begin jaargroep 5 door de complexiteit van procedure E en het gebruik van negatieve getallen bij procedure C en L.
51 Van Mulken, 1992; van der Heijden, 1993; Hoogenberg & Paardekoper, 1995; De Joode,1996; Beishuizen, van Putten & van Mulken, 1997.
– Splitsen in combinatie met indirect optellen wordt niet aangeboden. Leerlingen bedenken dit zelf, met veel misconcepties (zie de gearceerde oplossingen) in contexten die indirect optellen suggereren en/of bij het ‘speels’ oplossen van vlekopgaven/kale stipsommen (zie voetnoot 2).
– De oplossingen H, I en J (verschil in leeftijd) en Q en R (fiets kopen) vallen bij de TAL-didactiek onder de noemer “variarekenen”, dat in de loop van jaargroep 5 wordt aangeboden. Dit is begrijpelijk in de context van de jaren tachtig, maar conflicteert nu met de nieuwe oriëntatie in het onderzoek naar flexibel hoofdrekenen sinds Beishuizen’s onderscheid tussen strategie en methode. Dit vraagt om een toelichting.
Opgave en
aftrekstructuur Methode
Strategie
Aftrekken Indirect optellen
verschil in leeftijd
Rijgen 22-18 via A 22-10 12-8 18+..=22 via E (18) 20, 22, dus 4
Splitsen 22-18 via B 20-10=10; 10+2=12; 12-8 of C 20-10=10; 2-8 is 6 tekort, dus 10-6=4 18+..=22 via Misconceptie F 10+10=20; 8+4=12, dus 14 Correct aanvulling G 8+4=12, dus 4 Variarekenen 22-18 via D 22-20=2; 18 is 2
minder dan 20, dan is het verschil 2 meer, dus 4 i.p.v. 2
18+..=22 via
Misconceptie
H 10+10=20 en 8+4=12, 14
Correcte afleiding
I Ik zie het zo! Het is 4! of
J 18+..=22 is evenveel als 20+..=24, dus 4 fiets kopen Rijgen 900-595 via K 900-500 400-90 310-5 595+…=900 via N 595+5 600+300 305 Splitsen 900-595 via L 900-500=400; 90 tekort, dus 310 en 5 tekort dus 305 595+…=900 via Misconceptie O 5+4=9 en 95+5=100, dus 495 Correcte aanvulling P 500+300=900; 95+5=100; 300+5=305 Variarekenen 900-595 via M 900-600=300; 5 méér is 305 595+…=900 via Misconceptie Q 500+400=900 en 95+5=100, dus 405 Correcte afleiding R 600+300=900; 600 is 5 meer dan
595, dus is het 5 meer dan 300 305 Figuur 4.3 Variatie in moeilijkheidsgraad, afhankelijk van de gebruikte combinatie
Ter inleiding van deze kwestie, komen we terug op Beishuizen’s aanname dat het onderscheid tussen strategie en methode op het hoogste niveau van flexibel rekenen er waarschijnlijk niet meer toe doet. De oplossing in “knopentaal” van het probleem van het verschil in gewicht en de aanschaf van de fiets van figuur 3 die in figuur 4.3 is weergegeven visualiseert de interpretatie van de auteur van dit proefschrift.
Figuur 4.4 Redeneren binnen een relatienet met behulp van rekeneigenschappen op het hoogste niveau van flexibel hoofdreken
De knopennotatie (Gravemeijer, persoonlijke communicatie) laat de kern van flexibel hoodfrekenen zien op het, voor de basisschool, hoogste niveau van ‘numeriek denken’. De leerlingen knopen numerieke relaties via gemeenschappelijke termen aan elkaar, daarbij gebruikmakend van de eigenschappen van optellen en van de inverse relatie