Algemeen doel

Wat het algemene doel betreft, deelt het TAL-team met de ontwerpers van de probleem oplossende stijl dezelfde oriëntatie op inzichtelijk en efficiënt toewerken naar de nagestreefde eindvormen van decimaal rekenen. Deze oriëntatie contrasteert met de gerichtheid binnen de Amerikaans realistische stijl op de progressieve mathematisering van het probleemveld.

‘Progressief modeleren’ karakteriseert de algemene ‘trek’ in de geleidelijke verticale mathematisering binnen de Amerikaanse realistische aanpak. ‘Progressief schematiseren’ typeert de didactische drieslag [informeel  semiformeel  vakmatig] van de TAL-didactiek, ‘progressief abstraheren’ de getrapte formalisering van het

modelleren met MAB en het ‘blokjesrekenen’ bij de probleemoplossende stijl van geleid uitvinden.

Wat de ontwerpers bij de verticale mathematisering benadrukken, komt vanzelfsprekend tot uitdrukking in de accenten die bij ‘leren’ en ‘instrueren’ worden gelegd. Realisten verwachten primair van de leerlingen dat zij aftrekopgaven gaandeweg beknopter, abstracter en flexibeler (via aftrekken dan wel via indirect optellen) oplossen. Op een vergelijkbare manier bevordert de inzet van de middelen binnen de probleem oplossende benadering de continue reorganisatie van concepties en manieren van doen, via de reflectieve klassengesprekken over uitgevonden procedures en ontdekte eigenschappen van getallen, optellen en aftrekken. Dit gebruik van ‘mathematical discours’ als de sociale context waar elke nieuwe individuele constructie binnen de symbolische wereld van de klas als gemeenschap wordt georganiseerd, slaat een brug tussen aanhangers van het Amerikaamse realisme en de probleem oplossende benadering.

In beide Amerikaanse varianten moeten leraren grotendeels zelf de onderwijsleeractiviteiten plannen en inrichten. Ze moeten reflectieve gesprekken initiëren en zo zien te bewerkstrelligen dat de groep de individuele constructies organiseert zoals verwacht. Dit impliceert een grote investering in de ontwikkeling van regels voor wat onder ‘goed’ samenwerken, nadenken en discussiëren verstaan wordt (socio-math normen).

3.8.2 Leerstofordening

Qua leerstofordening is er een structureel verschil tussen de twee realistische varianten aan de ene kant en de probleem oplossende variant aan de andere kant. Realisten ankeren hun onderwijsleeractiviteiten in een didactisch-fenomenologische analyse van kwantificeren en getalsmatig ordenen en opereren met (denkbeeldige) hoeveelheden en grootheden. Onder invloed van hun cognitief-psychologische achtergrond, laten ontwerpers binnen de probleem oplossende aanpak zich leiden door de geconstrueerde sequentie van de conceptualisering van tweecijferige getallen (het UDSSi triade model) en de classificatie van de vormen van sequentieel, positioneel en deductief rekenen die leerlingen op basis van deze concepties en met de steun van decimale leermiddelen kunnen uitvinden.

TAL-didactiek Probleem oplossende stijl Amerikaans realistische stijl Al ge m ee n do el

Progressief schematiseren: stapsgewijze overbrugging van het verschil in niveau tussen informeel en formeel rekenen

Progressief abstraheren: stapsgewijze abstractie van vormen van optellen en aftrekken met tweecijferige getallen uit de modellering van probleemsituaties met decimale leermiddelen

Progressief modelleren:

ontplooiing van getalsmatig denken, symboliseren en operen

L ee rs to fo rd en in g Blauwdruk van

de inbedding van de getallen, tellen, optellen en aftrekken in relevante contextproblemen uit het leven van alledag de decimale structurering en organisatie van tweecijferige getallen in netwerken van optel- en aftrekrelaties

Sequentie van conceptualisering van tweecijferige getallen

Classificatie van methoden van decimaal optellen en aftrekken die leerlingen met conceptueel ondersteunende leermiddelen kunnen uitvinden Classificatie van contextproblemen

Ruimtelijke ordening in een leerlandschap van potentiële leidende ideeën, symboliseringsmiddelen en werkwijzen van een activiteit, les, leertraject versus sequentieel-hiërarchische ordening van de wiskundige onderwerpen van en gereedschappen voor de mathematisering van het probleem(veld)

(Sequentiële) ordening van de ‘kwesties’ van een lokale mathematisering

Nadruk op sequentieel rekenen Nadruk op positioneel rekenen Geen helder beeld van het aanbod

Ma cr o str uct uu r va n he t l ee rp ro

ces Voortgang langs drie niveaus van schematisering: informeel, context gebonden; semi-formeel, modelondersteund; formeel, vakmatig

Voortgang langs drie niveaus van abstractie: informele modellering met materialen rekenen met conceptueel ondersteunende leermiddelen; schriftelijk algoritmisch rekenen

Geen kant-en-klare macro structurering

Sequentie van potentiële langlopende activiteiten die de bouwstenen opleveren voor de constructie van een relatienet en de bijbehorende gereedschappen

Eerst rijgen, dan splitsen en variarekenen Van sequentieel naar positioneel rekenen

Ro l va n de con tex t-pr ob lem en ^Bevorderen de begripsvorming de modelvorming de toepasbaarheid de oefening

Oriënteren in de semantische structuren van optellen en aftrekken

Bevorderen de uitvinding van indirect optellen als alternatief voor aftrekken

Aanleiding tot en context van de voortgezette mathematisering Ro l va n de hu lp mi dd ele n

Visualiseren de getalstructuren- en relaties en de structuur van de telrij die de leerling moet constitueren en leren gebruiken

Worden daarom afgestemd op de vorm van rekenen die de leerling spontaan met de context associeert (lineaire # decimale # tweedimensionale modellen)

Adequate notatie (symbolisering) van de mentale rekenhandelingen

Maken decimale getalpatronen en ordeningsvormen zichtbaar

Bevorderen de uitvindingen en het begrip van vormen van decimaal rekenen

Rekentalen (notatievormen) ter symbolisering van de operaties

Breed scala van tools voor

het vastleggen van ontdekte structuren de communicatie hierover

de reflectie hierop

Ro

l va

n

de _kl^{as Sociaal-culturele context die de individuele} constructies en producties stimuleert ^{Sociaal-culturele context waarbinnen de} deelnemers tot een consensus komen over de regels bij decimaal rekenen

Sociale inbedding van de lokale mathematisering en van de collectieve verticale organisatie van wat het heeft opgeleverd.

Op het grondniveau van rekenen tot honderd, benaderen de ontwerpers binnen de Amerikaanse tak van het realisme het sequentieel rekenen via het tellen van grote hoeveelheden en het meten van lengtes, terwijl het TAL-team afstandsrelaties direct in contextproblemen aan de orde stelt, zoals in het Hans-probleem van Treffers’ (1989) oratie. In beide gevallen fungeert de getallenlijn aanvankelijk als ‘tool’ voor beschrijven (model van) en ondersteunt later, op een abstracter niveau van symboliseren, het redeneren binnen een lokaal netwerk van decimaal-lineaire optel- en aftrekrelaties. In TAL ontbreken ook activiteiten gericht op het ontrafelen van de structuur van de optel- en aftrekrelaties in de tweedimensionale ordening van de getallen op het honderdveld. Wij komen hierop terug in hoofdstuk 4, bij de beschrijving van de verticale ‘trek’ bij de formalisering van het rijgen.

Het TAL-team geeft ten slotte de prioriteit aan en legt de nadruk op sequentieel rekenen, terwijl de leerlingen van de vier Amerikaanse ‘problem solving’-experimenten eerder op het spoor van schriftelijk positioneel rekenen worden gezet.