Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden

Een domeinbeschrijving vormt de basis voor ieder peilingsonderzoek. Hierin worden de inhouden van het curriculum beschreven, die worden getoetst. Deze beschrijving vormt het uitgangspunt voor de ontwikkeling van de toetsitems. In de domeinbeschrijving voor de 4e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool zijn tien onderwerpen onderscheiden (Kraemer e.a., 2005)52. Van deze tien onderwerpen worden er drie betrokken bij de analyse van de oplossingsmethoden van aftrekopgaven, namelijk Getallen, Basisoperaties en Bewerkingen.

Getallen en getalrelaties

Bij het onderwerp getallen en getalrelaties ligt de nadruk op de ontwikkeling van getalgevoeligheid. Dit gevoel voor getallen komt voort uit de vertrouwdheid met getalstructuren, getalpatronen en relaties tussen getallen, de organisatie van getallen in netwerken van relaties en de ontwikkeling van een eigen systeem van ervaringsgegevens over allerlei hoeveelheden en grootheden. De vaardigheid van de leerlingen wordt op basis van vier aspecten gemeten (Kraemer e.a., 2005):

– tientallig ontleden van twee- en driecijferige getallen en het plaatsen van deze getallen in de denkbeeldige telrij (c.q. op een getallenlijn);

– resultatief tellen met wisselende eenheden (1, 2, 5, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 125, 250) en het verder tellen en terugtellen met deze eenheden;

– gevarieerd splitsen en ontbinden in factoren; – vergelijken en afronden.53

Basisoperaties Optellen-afrekken

Bij basisoperaties gaat het om de competenties om snel en vaardig elementaire contextloze operaties uit te kunnen voeren. Voor zover leerlingen de uitkomst niet paraat hebben, kunnen zij een geautomatiseerde hoofdrekenprocedure toepassen of de uitkomst uit bekende getalrelaties en met behulp van rekeneigenschappen snel afleiden. In de rekenpeiling halverwege de basisschool worden de rekenfeiten, algoritmische rekenprocedures en elementaire vormen van afleiden die goed van pas komen bij rijgend, splitsend en handig hoofdrekenen, getoetst. Dit zijn:

– alle optellingen en aftrekkingen uit het getallengebied tot 20; – feiten, procedures en herleidingen met getallen tot 100 en 1000.

In het getalgebied tot honderd is de toets toegespitst op het gebruik van parate kennis (100 – 90 = 10), getalstructuren en getalrelaties (56 – 50 = 6) of geautomatiseerde rekenprocedures (92 – 6 via 90 – 4 = 86 en 84 – 40 via 4 tientallen wegdenken, 80 – 40 = 40 en 4 erbij is 44). De opzet van dit PPON onderzoek is, zoals gezegd, afgestemd op het onderzoek naar oplossingsmethoden. Zo zijn de toetsopgaven voor een deel afgeleid uit de geheugenfeiten, relaties en operaties die leerlingen nodig hebben bij het rijgend en/of splitsend oplossen van de 17 opgaven van het kwalitatief onderzoek. Vanuit deze analyse54 is de nadruk is gelegd op:

– Opgaven waarbij gerekend wordt binnen een interval van 10 58 – 4; 36 – 5; 50 – 8; 32 + 8; 100 – 9

53 Zie de details in de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 4 balans [31], p. 43-45.

– Opgaven waarbij de leerlingen gebruik kunnen maken van de 10-structuur van de getallen

63 + 10, 88 – 10 en 87 – 7

– Opgaven die vragen om een combinatie van de twee genoemde aspecten 80 + 15, 18 + 40 en 50 + 39

– Rekenen met tientallen

20 + 70 en 90 – 70; 100 – 50, 100 – 40 en 100 – 80 – Gebruik van de veelvouden van 25 en 50

25 + 25 en 25 + 50

– Bij optellen kunnen rekenen met tienen over de honderd 60 + 70 en 80 + 40

De nadruk in het getalgebied tot duizend is, vanuit dezelfde analyse, gelegd op: – Aanvullen tot het volgende tiental (143 + 7) of honderdtal 100 (30 + 570),

waarbij de leerling handig gebruik kan maken van de splitsingen van 10 en 100 en de commutatieve eigenschap van optellen).

– Aftrekken binnen het eerste interval van 10 (800 - 10) en 100 (800 - 700). Ook hier kan de leerling gebruikmaken van de splitsingen van respectievelijk 10 en 100.

– Aftrekken over een honderdtal (130 - 40).

– Aftrekken van tientallen van een samengesteld getal (690 - 30). Bewerkingen Optellen-aftrekken

Bij het onderdeel bewerkingen ligt de nadruk op het vaardig en adequaat oplossen van elementaire toepassingsproblemen en contextloze bewerkingen. In groep 5 staat bij optellen en aftrekken het rekenen tot 100 centraal en de toepassing en aanpassing van de geleerde vormen van hoofdrekenen voor de bewerking van driecijferige ronde getallen. De gekozen contexten en getallen lokken de drie basisvormen van hoofdrekenen uit: rijgen, splitsen en handig rekenen. Soms moet de leerling relevante informatie zelf uit een afbeelding of een tabel halen. Alle bewerkingen en problemen met getallen groter dan 100 kunnen rijgend of handig rekenend worden opgelost. De leerling is natuurlijk vrij om de methode van kolomsgewijs rekenen toe passen, als die is aangeboden.

De contextopgaven sluiten direct aan bij de rekenstructuren die leerlingen met de contextopgaven uit hun rekenmethode kennen. Optellen heeft in deze contexten de betekenis van toevoegen, samennemen of vergelijkend bepalen hoe groot of hoeveel iets is. In de voorgelegde aftrekproblemen verwijst het verhaal naar wegnemen, aanvullen (gelijk maken), scheiden of vergelijkend bepalen hoeveel of hoe groot iets is of een verschil uitrekenen.

De optelopgaven en kale optellingen omvatten twee of meer getallen. De uitkomst ligt onder of net boven 100, zoals bij 34 + 50, 32 + 17, 45 + 8, 37 + 63, 28 + 27, 98 +

3. Bij de voorgelegde aftrekopgaven en kale aftrekkingen komen alle mogelijke typen voor, met en zonder overschrijding van het tiental, zoals 82 – 7, 85 – 50, 67 – 5, 74 – 30.

Om de vaardigheid van de meest gevorderde leerlingen adequaat vast te kunnen stellen, zijn in het domein van de bewerkingen tot 1000 naast contextloze opgaven ook reële problemen die in dagelijkse rekensituaties voorkomen, opgenomen. Optellen en aftrekken hebben in deze contextproblemen dezelfde betekenis en structuur als de opgaven in het getalgebied tot 100. Ze lokken in principe vertrouwde vormen van rijgen en splitsen uit. Om meer gedetailleerd de vaardigheden van leerlingen te kunnen beschrijven, worden de resultaten in Balans 31 (ibid.; zie voetnoot 2) per getalgebied gerapporteerd. Alle opgaven in het getalbereik van 100 tot 1000 vormen echter samen de schaal Bewerkingen Optellen-aftrekken (ibid.)55.