de basisschool anno 1980
2.3 Nederlandse koers: integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen toepassingen met hoofdrekenen
De lancering van de kunstmaan Spoetnik door de Sovjet Unie in 1957 heeft veel landen ertoe gebracht het rekenonderwijs drastisch te vernieuwen door de verzamelingenleer in te voeren, vanuit de verwachting dat ze hierdoor de opgelopen achterstand in wiskunde en natuurkunde konden reduceren. Op een vergelijkbare manier heeft de toegankelijkheid van de zakrekenmachine en het toenemend gebruik van PC begin jaren tachtig de hoofdrekenbeweging doen ontstaan vanuit de overtuiging dat cijferen ‘uit de tijd’ was en dat men zich thans moest richten op de vorming van ‘gecijferde’ burgers (Paulos, 1988; MacIntosh, Reijs & Reijs, 1992).
Net zoals in Engeland en de Verenigde Staten, stond Nederland eind jaren zeventig, begin jaren tachtig voor de keuze tussen het roer omgooien in de richting van hoofdrekenen en het cijferen afschaffen zoals aanbevolen door autoriteiten als Plunkett, (1979), Papert (1980) en Levin (1981) of de vigerende onderwijsaanpak bijstellen door zich te richten op de ontwikkeling door de leerling van eigen, functionele instrumenten voor globaal en precies rekenen, zoals aanbevolen door de NTCM – de Amerikaanse vereniging van wiskundedocenten. Potentiële problemen bij dit alternatief lagen in de verhouding qua leertijd, de volgorde van aanbieding en vooral de samenhang tussen globaal (schattend) rekenen en precies rekenen met een of andere hoofdrekenmethode, dan wel algoritmisch met pen en papier (cijferen) of met de
zakrekenmachine.
Met een serie van drie artikelen, rechtvaardigt Treffers (1982a; 1982b; 1983) de ‘derde weg’ die de realistische didactici anno 1980 inslaan, die van de integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen, vanuit het principe van de progressieve schematisering van de rekenhandelingen. De typisch Nederlandse oplossing van tegenstellingen is het resultaat van een getrapte doordenking van het traditionele cijferen. Het veranderingsproces vangt aan in de jaren zeventig met de modernisering van de cijferdidactiek door de Wiskobasgroep. Het vindt haar beslag in de leerlijnbeschrijving ‘Kolomsgewijs rekenen en cijferen’ (Treffers, Noteboom & De Goei, 2001), die een uitwerking is van de zogenoemde ‘combinatiemethode hoofdrekenen-cijferen’ uit deel 2 van de Proeve… (Treffers & de Moor,1990, 191-194). In het vervolg wordt de argumentatie van deze onderwijsaanpak op hoofdpunten weergegeven. Traditie van geïsoleerd hoofdrekenen en cijferen
In de Nederlandse onderwijstraditie is er naast het cijferen ook altijd veel aandacht voor het hoofdrekenen geweest (Treffers, 2010). Dit typeert het verschil met de traditie in Engeland en de Verenigde Staten waar hoofdrekenen slechts als middel fungeert om de rekenfeiten en de basisautomatismen te verwerven die voorwaardelijk zijn voor een vlotte uitvoering van de cijferalgoritmen. Er waren echter meestal geen verbindingen tussen de leergangen van cijferen en hoofdrekenen: ze stonden ‘naast
elkaar’ en ‘los van elkaar’, aldus Treffers (1991). En vaak werden ze ook nog ongeveer ‘gelijk gestart’. De verbinding die Diels en Nauta (1936) in de methode Fundamenteel
Rekenen tussen hoofdrekenen en cijferen leggen, geldt dan ook als hét tegenvoorbeeld
van de traditionele rekendidactiek. Alvorens hierop in te gaan, zetten we eerst uiteen wat men in Nederland per traditie onder ‘hoofdrekenen’ en ‘cijferen’ verstaat.
De meest ‘enge’ betekenis van hoofdrekenen is wat Zernike er aan het begin van de 20e eeuw onder verstaat, namelijk ‘rekenen waarbij noch de gegeven getallen, noch de gedeeltelijke, noch de einduitkomsten worden opgeschreven’. Zijn tijdgenoot Versluijs verruimt deze opvatting van niet-schriftelijk rekenen, rekenen-uit-het hoofd als volgt:
Eén groot verschil tusschen het hoofdrekenen en het cijferen bestaat hierin dan men bij het cijferen gewoonlijk begint met eenheden van den laagsten rang en bij het hoofdrekenen met de eenheden van den hoogsten rang. Bij de deling begint men altijd met eenheden van den hoogsten rang.
Verder volgt men bij het cijferen meestal vaste regels, dat wil zeggen: men handelt bij gevallen van dezelfde soort steeds op dezelfde wijze. Bij het hoofdrekenen daarentegen brengt men verschillende bekortingen aan, waartoe de getallen in veel gevallen aanleiding geven (geciteerd door Treffers, 1991).
Dit beeld van hoofdrekenen als niet-cijferend rekenen, rekenen-met-het hoofd is de meest gangbare interpretatie van hoofdrekenen. Verschillende uitdrukkingen zijn in de loop der jaren bedacht om dit verschil tussen hoofdrekenen en cijferen te duiden:
flexibel rekenen (Jansen, 1973), gevarieerd rekenen (De Moor, 1980), eigenschapsrekenen
(Goffree, 1982) en handig rekenen (Nieland, 1986). In het werkboek 10 voor de
basisvorming rekenen/wiskunde maken Treffers en de Moor (1984) onderscheid tussen
drie vormen van rekenen, namelijk:
– elementair hoofdrekenen in de vorm routinematig optellen en aftrekken onder de 100 (1000);
– onder elkaar optellen en aftrekken volgens de Wiskobas cijfersystematiek en; – hoofdrekenen-plus, dat zowel schattend rekenen als handig / gevarieerd
rekenen omvat.
Modernisering van het traditioneel cijferen
In Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu schetst Treffers (1982a) de algemene kenmerken van het traditionele cijferen in methoden als ‘Naar zelfstandig rekenen’32. Hij zet daar tegenover de drie nieuwe cijferdidactieken die ontwikkeld zijn in het kader van de internationale beweging van ‘wiskunde-onderwijs op de basisschool’.
32 Bij de eerste rekenpeiling halverwege de basisschool (1987) werd deze methode nog in ruim 22% van de scholen gebruikt (Wijnstra, 1988).
Onderstaande vier kenmerken typeren volgens Treffers (ibid. 111) de traditionele cijferdidactiek:
1. de ordening van de leerstof volgens het principe van de ‘progressieve complicering’, ervan uitgaande dat de grootte van de getallen, het aantal inwissel- of leenhandelingen en de vereiste rekenautomatismen de moeilijkheidsgraad van de cijferhandelingen bepalen;
2. het direct afstevenen op het eindalgoritme bij elke nieuwe stap in de leergang; 3. de korte oriëntatie in de kenmerken van het positiesysteem ter verklaring van
de schrijfwijze van de getallen en het vertikaal bewerken van de positiecijfers; 4. het ontbreken van begripondersteunend positiemateriaal.
Deze ‘mechanistische’ aanpak wordt in drie varianten gemoderniseerd, namelijk op de leest van Dienes’ (1970) leertheorie, in een milde vorm van algoritmiseren en `á la Wiskobas’.
In Dienes didactiek worden de cijferhandelingen, precies zoals bij het traditionele cijferen van deelgeval tot deelgeval c.q. van gemakkelijk naar moeilijk ‘getrapt’ geformaliseerd. Het gebruik van de inzichtondersteunende positiematerialen (MAB-blokken, abacus en positieschema) en de oriëntatie in positioneel rekenen via het leren rekenen in andere talstelsels maken het verschil met de ‘oude’ cijferdidactiek.
De tweede variant van modern cijferen lijkt, wat de structurering van het leerproces
betreft, op Dienes’ aanpak. Het verschil is dat de leerling slechts op een elementair niveau leert cijferen en de zakrekenmachine leert gebruiken om de complexere bewerkingen uit te voeren, conform Plunketts (1979) denkbeelden.
Het Wiskobasteam breekt radicaal met de traditie door afstand te nemen van het
direct leren van de eindvorm. Het team richt zich op de ‘groei’ van de leerling naar het eindalgoritme via het aanbrengen van verkortingen in de manier van rekenen langs verschillende niveaus van schematisering (Treffers, 1982a, p. 103), naar het voorbeeld van Wanders en Bohncke (1970) in de methode ‘Boeiend Rekenen’. Vanuit deze invalshoek wordt een conceptleergang ontwikkeld (de Jong, 1975) die het spiegelbeeld is van de cijferleergangen in de geest van Dienes (ibid. 112). Figuur 2.1 illustreert de gevolgde weg van de zogenoemde progressieve schematisering.
De leerling rekent van begin af aan met relatief grote getallen en schematiseert stap voor stap (progressief) zijn handelingen langs drie niveaus van abstractie en symbolisering, namelijk 1. met de Dienes’ blokken in combinatie met een notatie in een positieschema, 2. via het schuiven van kralen op de abacus en 3. puur mentaal en op een standaardmanier, conform de handelingen met de abacus.
(2) Met de abakus
(1) Met MAB-blokjes en positischema (3) Notatie met positiestrepen (zonder hulpmiddelen)
(4) Eindalgoritme
Figuur 2.1 Stappen in de progressieve schematisering van de rekenhandelingenin de Wiskobas leergang (Bron: Treffers, 1982a, p. 111)
Conclusie
Concluderend kan worden gesteld dat de vernieuwers in Nederland zich strikt hebben gehouden aan de kerndoelen door vier vormen van optellen en aftrekken in de communale doelen van het realistisch programma op te nemen, namelijk
– gestandaardiseerd (‘gestyleerd’) in de vorm van sequentieel optellen en aftrekken (‘springmethode’; ‘rijmethode’; ‘rijgen’) en optellen en aftrekken met positiewaarden (‘splitsmethode’; ‘kolommethode’);
– ‘gevarieerd’ hoofdrekenen als het ‘flexibel’ en ‘handig’ gebruik van de eigenschappen van de getallen en de operaties;
– schattend rekenen en;
– onder elkaar rekenen met positiecijfers (cijferen).