Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken

De hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden van rekenen-wiskunde op de basisschool heeft een ware omwenteling in het denken over ‘leren’ en ‘onderwijzen’ teweeggebracht. Becker & Selter (1996, 511) formuleren het als volgt: ‘Teaching is no longer seen as a treatment and learning as the effect. Learners are people who activeley construct mathematics’. Dit uitgangspunt, dat leerlingen hun eigen wiskundige gereedschappen construeren, is vakinhoudelijk en

vakdidactisch verschillend ingevuld, zoals we later in hoofdstuk 3 zullen zien. Er zijn nuanceverschillen in de doelen en inhouden (wat de leraar aan de orde moet stellen en de leerling moet leren) en in de structurering van het onderwijsleerproces en de rol van de leraar en de leerling bij dit proces (hoe er wordt onderwezen en geleerd). De betrokken rekendidactici en wiskundige onderwijsspecialisten hebben elkaar echter gevonden in een aantal kernideeën en werkprincipes die we in deze dissertatie met de term ‘reconstructiedidactiek’ aanduiden. Deze onderwijsaanpak is verankerd in het gemeenschappelijke denkbeeld dat kinderen wiskundig leren denken door ‘objecten’ uit ‘handelingspatronen’ te abstraheren via de reflectie op wat ze in een bepaald activiteitengebied met een zekere vanzelfsprekendheid doen (Van Hiele, 1973; Steffe, Glaserfeld & Cobb, 1983; Gray & Tall, 1994;). Men neemt daarbij als voorbeeld (‘ontwikkelingsmodel’) de ontstaanswijze van de wiskunde als benaderingswijze en kennissysteem. Paradigmatisch hiervoor is het ontstaan van een ‘natuurlijk getal’ als ‘denkding’ om, zoals Freudenthal (1984, 92) dat formuleert, zekere verschijnselen die te maken hebben met hoeveelheden, te ordenen. In aflevering 2 van zijn reflectie rond het thema Wiskundig fenomenologisch, beschrijft Freudenthal (1990a, 13) als volgt hoe, ‘aan de wortels van de wiskunde’, het ‘natuurlijk getal’ uit het telproces is geabstraheerd. De getallenrij is de oorspronkelijke vorm, het eerste taalkundige wiskundig algoritme. Zodra de opeenvolging van de telwoorden wordt gebruikt om iets te tellen, verkrijgt de getallenrij uiteenlopende betekenissen die verbonden zijn met wat er wordt geteld, in welke context en met welke bedoeling. Door af te zien van deze verscheidenheid – wat Piaget (1972) ‘reflectieve abstractie’ noemt – wordt het getal als een op zichzelfstaande ‘entiteit’ mentaal geconstitueerd. Het fungeert vanaf dat moment als ‘ding’ (‘notie’; ‘concept’) dat vanuit haar operationele en structurele kant wordt gebruikt om over hoeveelheden te denken en ermee te manipuleren (Sfard, 1991). Laten we ‘acht’ als voorbeeld nemen. Het kan worden opgevat en gebruikt als het resultaat van ‘optellen’ via verder tellen met één (de proces-kant van getallen) en als ‘som’ (5+3=8, 6+2=8, etc.), ‘verschil’ (10-2; 12-4, etc.), ‘product’ (het dubbele van 4; vier keer twee) of ‘quotiënt’ (de helft van 16) (de structuur-kant van getallen).

Vanuit deze invalshoek hebben we twee aanknopingspunten voor de observatie en analyse van oplossingswijzen gevonden. Ten eerste de twee vormen van denken die worden ingezet bij het lokaal oplossen van contextprobleem (c.q. formuleopgaven). Ten tweede de verschillen in oplossingsniveaus als neerslag van de conceptuele en operationele

groei van de leerling.

‘Relationeel’ en ‘rekenkundig’ redeneren bij probleem oplossen

Wat het oplossen van problemen betreft, wordt er in de realistische didactiek een verschil gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1996) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational reasoning’ en bewerken op ‘calculational reasoning’. Het eerste aspect van probleemoplossen heeft betrekking op het leggen van de juiste relaties tussen de

hoeveelheden van de probleemsituatie, het tweede op het correct berekenen van de ontbrekende term binnen de numerieke relatie die deze relatie symboliseert. Dit laat zich als volgt illustreren met het busprobleem uit de derde PPON-rekenpeiling:

In de bus zijn 54 zitplaatsen. Er zitten 25 mensen in de bus. Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij?

Leerlingen kunnen minstens op drie manieren de situatie interpreteren die in figuur 1.5 numeriek is weergegeven:

– Als een verzameling van 54 stoelen die bestaat uit een set van 25 bezette stoelen en een set van een onbekend aantal vrije stoelen. Deze visie laat zich met een afsplitsing symboliseren.

– Als een kwantitatief verschil tussen twee hoeveelheden, denkend aan hoeveel de ene hoeveelheid meer / minder is dan de andere. Dit kan met een indirecte optelling of aftrekking worden gerepresenteerd.

– Als het numerieke verschil dat het resultaat is van een aftrekking.

Afsplitsing / Combinatie Kwantitatief verschil Numeriek verschil

Figuur 1.5 Drie interpretaties en passende symboliseringen van het busprobleem

Hoe de leerling vervolgens denkt bij het uitrekenen van 54 = 25 + ?, 25 + ? = 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? is afhankelijk van uiteenlopende procedurele kennis in de zin van Hiebert (1986):

– begrip van ‘splitsen’, ‘indirect optellen/aftrekken’, ‘aftrekken’ en van de relatie tussen deze operaties;

– inzicht in en de parate kennis van de optel- en aftrekrelaties tussen 54, 25 en 29 en

– begrip van de (hoofdreken)methoden en procedures die hij kan inzetten om 54 = 25 + ?, 25 + ?.= 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? uit te rekenen.

In onderstaande oplossing beschrijft de leerling de relatie van het busprobleem met een indirecte optelling – de stipsom [25+..=54]. De numerieke uitdrukking roept het geheugenfeit [25+25=50] op en hierdoor de herleiding via de compensatie +4. Dit voorbeeld maakt de connectie zichtbaar tussen beschrijven en bewerken, via de bewustwording (c.q. het besef) van wat je ziet en doet:

25 + ? = 54 via 25+25=50 … Oh! … natuurlijk! Het is 4 meer dan 25! 50=25+25, dus 54=25+29

Dit richt de aandacht op drie aspecten van het onderwijsleerproces:

1. het op verschillende manieren symbolisch beschrijven van de relaties tussen aantallen of maten in de reële contexten van het leven van alledag;

2. het vergelijken en manipuleren met denkbeeldige hoeveelheden en grootheden via een of andere representatie ervan;

3. de constitutie van de rekenkennis en rekenprocedures die nodig zijn om de getallen van de gebruikte numerieke relaties inzichtelijk en vlot te bewerken. Dit laatste punt richt de aandacht op de processen en de producten van de voortgang in kennis en bekwaamheid tussen 4 jaar en 9 jaar.

Oplossingsniveaus als uidrukking van de conceptuele en operationele groei van de leerling

Het Leidse onderzoeksteam19 heeft in de laatste tien jaar van de vorige eeuw het oplossingsgedrag van leerlingen met verschillende vaardigheidsniveaus breed onderzocht. De betrokken onderzoekers varieerden daarbij vrij systematisch het type probleem (van stipsommen tot geïllustreerde verschillen in prijzen en leeftijden via kale optellingen en aftrekkingen en contextproblemen) en de getallen van de opgaven (getalstructuur en orde van grootte van het verschil). Ze waren op zoek naar de mechanismen die spelen wanneer een leerling een set gevarieerde opgaven oplost. We laten hieronder de inzichten die deze studies hebben opgeleverd de revue passeren. De betreffende kwesties worden geïllustreerd met denkbeeldige oplossingsprocedures van het busprobleem (figuur 1.6) die geïnspireerd zijn door geobserveerde oplossingen van deze studie.

– Een doorsnee leerling reageert eerder spontaan dan bewust op een opgave. – Middenbouw-leerlingen interpreteren aftrekproblemen verschillend,

afhankelijk van de context en/of de getallen. Wat ze in die context en/of deze getallen zien, bepaalt zowel de richting als de vorm van de bewerkingen. – In de regel tellen leerlingen indirect op om een kwantitatief verschil te

berekenen. Zij trekken af wanneer zij de relatie van de opgave als een numeriek verschil opvatten. Indirect aftrekken wordt slechts bij uitzondering toegepast, als de leerling vertrouwd is met de vereiste berekening.

– Leerlingen bewerken de getallen van de geabstraheerde rekenstructuur met één van de geleerde vormen van rijgen, splitsen of beredeneren. Dit betekent dat zij op een gegeven moment ook met tientallen en eenheden (splitsend)

19 De volgende publicaties zijn geraadpleegd: Van Mulken (1992); Hoogenberg & Paardekooper (1995); De Joode (1996); Beishuizen (1997); Beishuizen, Van Putten en Van Mulken (1997); Klein (1998); Blöte, Klein & Beishuizen (2000); Blöte, Van der Burg & Klein (2001).

indirect optellen (25+..=54) via 20+10=40 en 5+9=14) of redeneren vanuit een

paraat optelfeit (25+..=54 via 25+25=50, dus is het 29 i.p.v. 25).

– Deze bewerking is vanzelfsprekend of brengt een leerling juist in verlegenheid, afhankelijk van de conceptuele en instrumentele toerusting op dat moment. – Misconcepties signaleren dat leerlingen op een, voor hen, voorlopig nog te

hoog abstractieniveau proberen te redeneren en te rekenen. Zij beschikken gewoon nog niet over het vereiste begrip van tientallig rekenen en voorwaardelijke rekenkennis en rekenvaardigheden. Dit geldt bijvoorbeeld voor de leerling die de eenheden verwisselt bij splitsend aftrekken en die structureel 10 hoger uitkomt bij aanvullen met tientallen en eenheden.

Vanuit deze aanwijzingen, construeren we in hoofdstuk 4 de sequentie in de conceptualisering van [getal], [tellen], [optellen] en [aftrekken] en de stapsgewijze uitvinding en formalisering van de bewerkingen die hiermee gepaard gaan. We hebben namelijk een ‘model’ nodig om vast te kunnen stellen hoe en op welk niveau de geobserveerde leerlingen denken en waar de bron van de ondervonden problemen moet worden gezocht. We beschrijven de denkbeeldige (ideale) voortgang bij ‘geleid uitvinden’ vanuit de integratie van meer wiskundige (Van Hiele, 1973; Sfard, 1991; Freudenthal, 1991) en meer cognitief-psychologische (Tall, 2006) denkbeelden over de abstractie van noties van getallen uit rekenhandelingen, bij reflectieve gesprekken in de grote kring over zelf uitgevonden oplossingsprocedures. Naar het voorbeeld van Tall en Gray (1994) illustreren we deze groei in aritmetisch denken met de mentale constructies die in de internationale onderzoeksliteratuur zijn gerapporteerd.

meth.

Interpretatie / Strategie

Onbekend deel  indirect optellen: 25 + ?

= 54. ^{Rest  aftrekken: 54 – 25 = ?} Be we rki ng en Rijgen

Via het tienvoud of direct met de 10-sprong

25+5=3040, 50 50+4-54; 20+9=29 35, 4545+5=5050+4-54; 20+9=29 25+20=45; 45+9=54; 20+9=29

Via het tienvoud of direct met de 10-sprong

54-4=5040, 30 30-1=29 44, 34 34-4=3030-1=29 54-20=34; 34-5=29 Spl its en

Eerst de eenheden of eerst de tientallen

5+9=14; 20+20=40; dan is het 20+9-29 20+20=40; 5+9=14; Dan is het 29

Misconceptie

20+30=50; 4 erbij is 54; dus 34

Combinatie van splitsen met rijgen

50-20=30; 30+4=34; 34-5=29 50-20=30; 30-5=25; 25+4=29

Misconceptie

50-20=30; 4-5 kan niet  5-4=1, samen 21

Be re de - ne re n 25+25=50

54 is 4 meer dan 50. Dan wordt het 29 i.p.v. 25

Misconceptie

20+34=54, 5 meer is 39

50-25=25

54 is 4 meer dan 50. Dan houd ik er 4 meer over: 29

Misconceptie

50-25=25; 4 minder is 21

Figuur 1.6 Gebruik van rijgen, splitsen en beredeneren in combinatie met indirect optellen en aftrekken bij het oplossen van het busprobleem

1.4.2 Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als