Drie reconstructiedidactieken
3.5.2 Didactische aanpak van rekenen tot honderd
In alle vier de projecten richt men zich op het modelleren van probleemsituaties met structuurloze of tientallige leermiddelen. Het accent ligt daarbij op calculational reasoning (Thompson & Thompson 1994) in die zin dat bewerkingen het hoofdonderwerp vormen. Men volgt daarbij de weg van de inzichtelijke oriëntatie in een reconstructie van de getallen en de bewerkingen.
De leerstofordening is gebaseerd op de eerder genoemde referentiekaders: de
conceptuele ontwikkeling van tweecijferige getallen en de methoden die de leerling met tientallige leermiddelen kan uitvinden en formaliseren. Daarnaast wordt de classificatie van wor(l)dproblems gebruikt die voor het rekenen onder de 10 (20) was ontworpen (Fuson, 1992).
Uit de publicaties van deze groep rijst een beeld op van ‘progressief abstraheren‘ van gestandaardiseerde optel- en aftrekmethoden vanuit het modelleren van probleemsituaties met behulp van tientallig gestructureerde hulpmiddelen. Dit verloopt, globaal genomen, langs dezelfde niveaus als bij realistisch rekenen:
– van informeel modelleren van probleemsituaties met (on)gestructureerde materialen
– naar decimaal rekenen met ondersteuning van decimale leermiddelen – naar formeel algoritmisch rekenen.
De breedte van het leerlandschap, de voorgelegde probleemsituaties en aangereikte hulpmiddelen en de duur van de informele oriëntatie variëren per project, afhankelijk van hoe snel het projectteam op de algoritmen afstevent. In die zin is er verschil tussen de smalle benadering van Carpenter’s (1997) Cognitively Guided Instruction en de brede inbedding en mathematisering van het rekenen tot honderd in het Problem
Centered Mathematics Project (figuur 3.12).
Het is voor de onderhavige studie niet relevant om deze nuanceverschillen verder onder de loep te nemen. Belangrijker is de rol van de klas als sociaal verband, die een cruciale rol vervult binnen de didcatiek van het primiar Onderwijs. We lichten dit kort toe.
Variatie in instructiepraktijk
Cognitively Guided Instruction. Contextproblemen vormen vrijwel altijd het vertrekpunt. Via de
modellering ervan met MAB-materiaal en andere decimale middelen constitueren de leerlingen de decimale ordeningsvormen [tien] en [honderd]. Ze komen erachter dat elke reep een ‘tien’ is en vinden uit hoe ze met deze ‘tienen’ en ‘enen’ kunnen tellen en rekenverhalen uitbeelden. In de loop van de tijd, raken ze zo met de gematerialiseerde handelingen vertrouwd dat ze op een gegeven moment zonder materiaal kunnen optellen.
In de loop van een jaar loopt het niveau van de leerlingen sterk uiteen. Om deze differentiatie in te perken worden groepsactiviteiten georganiseerd waarbij gevorderde leerlingen de taak krijgen hun groepsgenoten in te wijden in een materie die ze al beheersen.
Conceptually Based Instruction. De leerlingen leren eerst structurerend te tellen en de uitkomsten
tientallig te noteren, bijvoorbeeld 53 als 5 groepen of tientallen en 3 eenheden. Vervolgens worden problemen in gevarieerde contexten voorgelegd die uitnodigen om met eenheden van tien te werken. Op basis van deze ervaring ontwikkelen de leerlingen vormen van optellen en aftrekken met MAB. Ze wisselen hun oplossingsmethoden uit en gaan hierover in discussie.
Problem Centered Mathematics Projects. De nadruk wordt eerst gelegd op vaardig tellen, inclusief
met groepen van tien. MAB wordt niet gebruikt omdat de leraar dit materiaal gebruikten om direct te leren cijferen. Allerlei verpakkingsmaterialen met verschillende ordeningstructuren (2, 4, 5, 10, 20) worden hiervoor in de plaats ingezet en Montessori-kaarten om de aantallen tientallig te kunnen symboliseren. De leerlingen leren meten met natuurlijke maten als voetstappen en meetstroken. Vervolgens ontwikkelen ze in kleine groepen eigen vormen van optellen en aftrekken via de oplossing van hiertoe gekozen contextproblemen.
Supporting Ten-Structured Thinking projects. De nadruk wordt gelegd op de begripsvorming van
tweecijferige getallen via de structurering en getalsmatige symbolisering van hoeveelheden. MAB-materiaal wordt direct na het rekenen tot tien ingezet. Leerlingen leren, in overleg met elkaar en met de leraar, de eigenschappen van MAB uit te buiten om optellingen en aftrekkingen onder elkaar te kunnen uitrekenen.
Figuur 3.12 - Verschillen tussen de projecten (Fuson et al, 1997)
Tientallig rekenen berust op conventies. Het maakt de leerling daarom afhankelijk van de hulp van buiten om zich deze vorm van rekenen eigen te kunnen maken. Schoolkinderen beschikken desondanks al over een zekere kennis en zekere vaardigheden die verbonden zijn met ‘tientallig opereren’. De leraar kan de kennis en vaardigheden die in de groep aanwezig zijn nu als uitgangspunt nemen om een proces op gang te brengen, dat de leerlingen in de wereld van ‘tientalligheid’ inwijdt:
Base-ten number concepts and the standard algorithms for operating on multidigit numbers are socially constructed conventions that children will not learn independently. However, children bring all sorts of knowledge about base-ten numbers to instruction from recognition of repeating patters in counting to knowledge of the number of pennies in a dime and the numbers of dimes in a dollar. Collectively a class of first grade children has quite a bit of informal knowledge of base-ten numbers that can serve as a basis for developing more formal notions of place value and inventing procedures for adding, subtracting, multiplying, and dividing multidigit numbers (Carpenter, 1997, p 44).
Vanuit dit standpunt concentreert Carpenter (ibid.) zich op drie hoofdkwesties bij het ontwerpen van potentiële mathematiseringsactiviteiten:
– hoe individuele leerlingen de aangereikte decimale leermiddelen als MAB zouden kunnen gebruiken;
– wat er bij de klassengesprekken over de uitgevonden ‘blokjes procedures’ per se aan de orde zou moeten komen en;
– hoe leerlingen zouden kunnen demonstreren en beargumenteren wat je bij (onder elkaar) rekenen met tientallen en eenheden wel en niet mag doen. Dit impliceert dat de leraar ‘social norms’ en ‘socio-math norms’ (Yackel & Cobb, 1996) met de leerlingen ontwikkelt, dat wil zeggen gedragsregels over de rol van de leerlingen en die van de leraar in de verschillende contexten van een les en hoe in die contexten iets wordt voorgelegd, uitgelegd en/of gedemonstreerd, verdedigd of juist weerlegd. Carpenter benadrukt echter het belang van ‘sharing strategies’, het pedagogisch-didactisch repertoire dat wordt ingezet om kennis te delen. Deze ‘sharing strategies appeared to play a critical role in students developing more advanced strategies and connecting them to existing strategies’ (Carpenter, 1997, 44). Dit betreft bijvoorbeeld het klassikaal demonstreren van de eigen bewerking. Omdat de leerlingen weten dat er van ze verwacht wordt dat ze hun strategieën toelichten, realiseren ze zich dat ze rekenmanieren moeten gebruiken die ze zo goed begrijpen dat ze deze ook kunnen uitleggen. Een gevolg van het uitwisselen van oplossingsstrategieën is ook dat de betere leerlingen strategieën modelleren voor de andere leerlingen. Dit is volgens Carpenter waardevoller dan een uitleg door de leerkracht. Tenslotte benadrukt hij het belang van het uitleggen van oplossingsmethoden.
Another important aspect of sharing strategies was that students not only needed to be able to solve a problem; they needed to be able to explain their solution. The necessity of articulation their solution processes appeared to encourage students to reflect on their solutions. In fact the articulation of strategies often became a form of public reflection (Carpenter, 1997, 44).
3.5.3 Kernkwesties met betrekking tot aftrekken
Zoals we hiervoor al hebben gezien, vormen empirische data een belangrijke bron voor de vier projecten. Zo wijzen Fuson e.a. (1997) ook op de moeilijkheden die naar voren komen bij tientallig aftrekken.
Het eerste probleem betreft het rijgen met tiensprong. Leerlingen denken aanvankelijk de eenheden weg om van tiental tot tiental te kunnen springen: 64 – 26 via (60) 50, 40 44 44-4 40-2=38, als opstap naar 64-26 via 54, 44 44-4 40-2=38. Het blijkt echter dat dit rijgen met tiensprong niet voor iedereen even toegankelijk is.
Bij de mengvorm van splitsen-rijgen, zoals bij, 64-26 via 60-20 40+4 44-6=40-2=38, treden twee foutenpatronen op, die op misconcepties berusten. Leerlingen
trekken de eenheden van beide getallen af – wellicht naar analogie met de optelprocedure – maar vergissen zich bij de tussenstap of slaan die over (64-26 via 60-20=40 40-6=34).
Het transformeren van opgaven, waarmee je de opgave eenvoudiger kunt maken, zoals door 64-26 te veranderen in via 68-30, blijkt problemen op te leveren, omdat het principe van het ‘ophogen’ en ‘verlagen’ van de getallen, voor veel leerlingen helemaal niet vanzelfsprekend is. Zowel bij optellen als bij aftrekken, begrijpt menig leerling niet ‘wat hetzelfde moet blijven’
Tenslotte treedt bij het splitsend aftrekken het bekende ‘buggy algoritme’ op. Bij het berekenen van een opgave als 64-26 via 60-20 4-6, wordt de paradigmatische fout gemaakt, waarbij de kleinste eenheden van de grootste worden afgetrokken: 64 – 26 via 60-40 4-6 6-4 20+2=22.
Op basis van deze observaties komen de onderzoekers tot de conclusie dat er drie factoren zijn die een centrale rol spelen: de aard van de aftrekhandelingen, het aanbod en tijdelijke misconcepties. Vanuit deze analyse van de relatie tussen het aanbod en het rekenwerk van de leerling formuleren ze vier kernkwesties met betrekking tot aftrekken:
– de expliciete aandacht voor indirect optellen als aftrekstrategie, – de relatie tussen optellen en indirect optellen,
– de problematiek van decimaal-positioneel aftrekken,
– de moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken.
Expliciete aandacht voor indirect optellen. Door de nadruk die op cijferen wordt gelegd,
krijgen Amerikaanse leerlingen doorgaans niet de kans om sequentieel af te leren aftrekken, laat staan indirect op te tellen in plaats van aftrekken. Daarom pleiten de onderzoekers voor de modellering van ‘wor(l)d-problems als ingang voor de uitvinding van ‘tweezijdig’ sequentieel aftrekken (via aftrekken en indirect optellen met de rijgmethode) vóór ze met blokjes leren rekenen of ‘naast’ het ‘blokjes rekenen’. Het primaire doel is dat de leerling de inverse relatie tussen optellen en aftrekken uit zijn oplossingspatronen abstraheert en het als middel leert gebruiken om problemen flexibel op te beschrijven en op te lossen.
Indirect optellen als tegenhanger van optellen. De onderzoekers beschouwen de indirecte
optelling als tegenhanger (‘counterpart’) van de optelling. Ze melden dat de leerlingen niet alleen rijgend, maar ook splitsend indirect leren optellen en schetsen de procedures zonder in te gaan op de onderliggende conceptualisering.
Problematiek van decimaal-positioneel aftrekken. Aftrekken is niet commutatief. Dit vormt
volgens de onderzoekers de ‘inherente’ bron van problemen bij (onder elkaar) decimaal-positioneel leren aftrekken.
Moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken. Alle in figuur 3.11a,b&c
contrasteert met het relatieve gemak waarmee de leerlingen onder elkaar leren optellen. Drie paradigmatische handelingspatronen, die op een (tijdelijke) misconceptie zijn geënt, illustreren hoe moeilijk decimaal aftrekken is:
– Veel leerlingen die aftrekkingen als 63-48 splitsend uitrekenen, trekken het kleinste aantal eenheden van het grootste af47.
– Bij terugtellen over een tiental is het volgende patroon geobserveerd: eenmaal aangekomen bij het tiental, trekt de leerling eerst een tiental af, alvorens door te gaan met terugtellen: 43, 42, 41, 40 30, 39, 38, ….
– Aftrekken met de combinatie van rijgen met splitsen genereert veel fouten. In deze paragraaf zijn de hoofdtrekken van de probleemoplossende didactiek geschetst die haar van de realistische didactiek onderscheiden. In de volgende paragraaf beschrijven we wat de Amerikaanse stijl van realistisch rekenen zo herkenbaar maakt.
3.6 Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek
De aanduiding ‘Amerikaans realisme’ verwijst naar de integratie van de realistische onderwijsprincipes met de constructivistische opvattingen van Amerikaanse onderzoekers als Cobb, Yackel en Fosnot. Constructivisten gaan er, eenvoudig gezegd, vanuit dat iedereen zijn of haar kennis zelf construeert. Waarbij Cobb (1994) er overigens op wijst dat het hier niet gaat om een wetenschappelijk feit, maar om een model dat wordt ingezet om wiskundeonderwijs te begrijpen. Hij voegt daaraan toe dat je er ook niet zo maar een onderwijsaanpak uit kunt afleiden. Als je er immers van uitgaat dat iedereen altijd zijn of haar eigen kennis construeert, zal dat bij elke onderwijsvorm het geval zijn. De vraag is dan niet zozeer òf de leerling construeert, maar wat de aard of het karakter is van hetgeen hij of zij construeert. In verband hiermee betoogt hij dat ‘the learning of mathematics (…) must be viewed at least in part as a process of enculturation into the practices of intellectual communities’ (ibid. 4). Op dit punt vinden een aantal Amerikaanse ‘constructivisten’ en Nederlandse ‘realisten’ elkaar. Freudenthal’s (1971) startpunt in de vraag wat wiskunde is, sluit hier immers perfect op aan. Ook ideeën als wiskunde als activiteit en wiskunde leren als progressief mathematiseren, passen goed bij de constructivistische uitgangspunten. Voor de onderhavige studie zijn de samenwerkingsverbanden tussen Cobb, Yackel, Wood en Gravemeijer en die van Fosnot met Dolk en Uitenbogaart van belang, omdat zij onderwijsaanpakken hebben ontwikkeld voor het optellen en aftrekken tot de honderd en de duizend.
3.6.1 Theoretisch kader
We zagen in paragraaf 3.1 hoe Freudenthal ons aanspoorde het onderwijs te laten starten bij de ideeën en werkwijzen van het gezond verstand van de leerling. De leraar moet voor de leerling betekenisvolle taken in gevarieerde contexten aanbieden. De leraar zou telkens weer een mathematiseringsproces op gang moeten brengen dat aansluit bij de vorige onderwijsleeractiviteit. Vanuit contextproblemen zou de leraar de ‘materie’, die in die periode door de leerlingen wordt georganiseerd en gesystematiseerd, telkens vanuit de laatst ontdekte structuur of werkwijze aan de orde moeten stellen. Leerlingen zouden elkaar hun ideeën en handelwijzen moeten voorleggen, toelichten en verantwoorden om ze te kunnen beoordelen op hun waarde als een voorlopig aanvaard alternatief voor de ‘oude’ visie op de materie in kwestie.
Dit beeld van leren en onderwijzen typeert nu het ideaalbeeld dat de Amerikaanse realisten hebben van het onderwijsleerproces. De leerlingen vormen een gemeenschap van jonge wiskundigen aan het werk (Fosnot en Dolk, 2001), onder de pedagogische en wiskundige leiding van hun leraar. Waar het in de klas in de kern om gaat, is samen verder voortbouwen op de verworven kennis, werkwijzen en manieren van communiceren over hoe men, binnen de eigen gemeenschap, zoal over hoeveelheden en grootheden denkt en ermee omgaat.
De zogeheten learning paradox vormt een belangrijk ijkpunt voor de betrokken onderzoekers. Elk hulpmiddel dat voor het concretiseren van wiskundige kennis en inzichten is bedacht weerspiegelt de kennis en inzichten van de ontwerper. Het heeft dan ook alleen betekenis voor degenen die deze structuur al kennen, niet voor de leerlingen die nog niet in deze materie zijn ingewijd. Zie daar de bron van de ‘learning
paradox’ (Bereiter, 1985), die Cobb, Yackel en Wood (1992, p. 5) beschrijven als:
(T)he assumption that students will inevitably construct the correct internal representation from the materials presented implies that their learning is triggered by the mathematical relationships they are to construct before they have constructed them. (…) How then, if students can only make sense of their worlds in terms of their internal representations, is it possible for them to recognize mathematical relationships that are developmentally more advanced than their internal representations?
Cobb, Yackel en Wood (1992) zoeken nu een oplossing voor hun dilemma in een vorm van samenwerking tussen de leraar en de leerling die het dualisme doorbreekt. Vanuit wiskundig relevante invalshoeken analyseren ze, zoals Putman (1988) dat aanbeveelt, hoe leerlingen de eigenschappen, relaties en structuren kunnen abstraheren uit de handelingen die ze uitvoeren bij het oplossen van hiertoe geselecteerde problemen. Dit abstractieproces komt overeen met wat Freudenthal, Van Hiele en Gray en Tall voor ogen staat bij getalsmatig leren denken en opereren. Freudenthal (1991) ziet het als een continu wisselspel tussen vorm en inhoud. Van Hiele (1973) spreekt van opeenvolgende niveauverhogingen via de telkens weer terugkomende
fasen van (i) informatie, (ii) gebonden oriëntatie, (iii) explicitering, (iv) vrije oriëntatie en (v) integratie. Terwijl Gray en Tall (1994) ervan uitgaan dat leerlingen tekens weer uit hun handelingspatronen een idee van een hogere wiskundige orde abstraheren dat het desbetreffende proces in een concept ‘inkapselt’.
Cobb en collega’s maken als volgt het verschil duidelijk tussen hun didactische en pedagogische intentie bij het aanreiken van hun ‘tools’ en het traditioneel gebruik van middelen als MAB:
In discussing the possible educational value of such materials, we will therefore view them as the possible means that students might use to symbolize their developing mathematical activity. Further, we will call them pedagogical symbol systems rather than instructional representations to emphasize their symbolizing role in individual and collective mathematical activity. (p. 22).
Onderstaand citaat geeft aan hoe ze vanuit deze gedachtelijn, het dualisme tussen ‘embeddedness’ en ‘embodidment’ denken te kunnen oplossen:
We proposed the metaphor of mathematics as an evolving social practice that is constituted by, and does not exist apart from the constructive activities of individuals as an alternative to the metaphor of mind as a mirror (Cobb, Yackel en Wood 1992, p. 28).
Ze verwoorden tot slot als volgt aan welke twee voorwaarden lokale instructies, volgens hun gezichtspunt, zouden moeten voldoen:
On the one hand, they should make it possible for the teacher to draw on students’ prior experiences when guiding the negotiation of initial conventions and interpretations (…). On the other hand, students’ interpretations in these situations should constitute highly situated, intuitive bases from which they might abstract mathematical conceptions (p. 22).
Dit verlegt de aandacht van de kernkwestie van ‘abstractie’ en ‘representatie’ naar de ‘theorie’ voor het ontwerpen van lokale onderwijsleeractiviteiten en lessen, korte leertrajecten en leergangen.
Onderwijs als proces van experimenteren
In alle bovenstaande citaten spreken Cobb, Yackel en Wood ten aanzien van elk onderwerp in ‘veronderstellende’ zin. Dit weerspiegelt hun visie op onderwijzen als een experiment. De ontwerper houdt een ideaal traject voor ogen in de loop van de betreffende activiteit, les of keten van lessen, maar houdt er tegelijkertijd rekening mee, dat de leraar een andere route zou moeten volgen om recht te kunnen doen aan perspectiefvolle gedachten en/of handelingswijzen waar hij zelf niet aan had gedacht. Men kan zich wel degelijk van tevoren een idee vormen van hoe de handelingen, die
leerlingen in een bepaalde context en met bepaalde middelen verrichten, hen kunnen bewegen anders tegen de betreffende materie aan te kijken en dan ook anders te denken, opereren en symboliseren dan zij tot dan toe deden. Simon (1995) spreekt in dit verband van een ‘hypothetisch leertraject’.
Een special van Mathematical Thinking and Learning uit 2004 geeft een panoramisch beeld van het ‘hypothetisch leertraject’ als kernelement van het constructivistische denkkader. In zijn bijdrage maakt Gravemeijer (2004a) onderscheid tussen het plannen van instructie door de leraar voor zijn dagelijkse praktijk en het plannen van instructies voor een specifiek onderwerp dat meer de taak is van professionele ontwerpers. In zijn ogen geeft het concept ‘hypothetisch leertraject’ vooral houvast voor het ontwerpen van concrete lessen. Ontwerpen op macroniveau vergt meer kennis en deskundigheden. Instructional design heuristics48 moeten de onderzoeker/ontwerper dan de nodige richtlijnen geven bij het ontwikkelen van een lokale onderwijstheorie voor een bepaald onderwerp. Voor de leraar vormt deze lokale onderwijstheorie dan weer het referentiekader voor het ontwerpen van een hypothetisch leertraject voor de les waar zijn of haar klas op dat moment aan toe is. We lichten beide vormen van plannen en onderwerpen hieronder kort toe.
Zoals gezegd, gaat Gravemeijer (2004) ervan uit dat lokale instructietheorieën als leidraad en verantwoording moeten dienen voor de planning en instructie van een specifiek onderwerp. Deze visie is in menige publicatie toegelicht en verantwoord49
aan de hand van de uitgevoerde onderwijsexperimenten rond leren rekenen tot honderd. Een daarvan betreft het meten van lengte als natuurlijke toegang tot het leren gebruik maken van de lege getallenlijn als model voor denken en opereren met getallen als knooppunten van optel- en aftrekrelaties. De sequentie wordt in paragraaf 3.6.2 gepresenteerd als paradigmatisch voorbeeld van het Amerikaanse realisme. Zij is ontworpen op basis van Gravemeijer’s drie ontwerpheuristieken, die de realistische onderwijstheorie in zijn ogen typeren: geleid heruitvinden, didactische fenomenologie en emergent modelleren (Gravemeijer, 2004).