Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool
6.2.3 Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep (>P66) (>P66)
Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier
Tabel 6.3 toont de mate waarin de percentiel-66, percentiel-75 en percentiel-90 leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e rekenpeiling beheersen. De opgaven die de ‘voorlopers’ halverwege de basisschool beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.5.
Tabel 6.3 – Voortgang van percentiel-66, -50 en 90 in het getalgebied tot 100
Percentiel- leerling
Mate van beheersing*
Voorbeeldopgaven
Bewerkingen Getallen en Getalrelaties Basisautomatismen
P90 Onvoldoende Volledige beheersing Geen 21 Matig 13 en 14 20 Goed 1 t/m 12 1 t/m 19 P75 Onvoldoende Geen 14 21 Matig 18 10, 12 en 13 19 en 20 Goed 1 t/m 17 1 t/m 9 en 11 1 t/m 18 P66 Onvoldoende 18 Overige 20 en 21 Matig 15 t/m 17 9 t/m 12 19 Goed 1 t/m 14 1 t/m 8 1 t/m 18
De percentiel-90 leerling beheerst alle voorgelegde opgaven van de schaal Bewerkingen
goed. Voorbeeldopgaven 15 t/m 18 duiden het verschil aan tussen deze leerling en de percentiel-66 leerling, waaronder de kale aftrekking 76-48 die tot de cluster moeilijkste
opgaven van aftrekken tot honderd behoort. Alle bewerkingen doen een beroep op hoofdrekenen met tientaloverschrijding.
De percentiel-75 leerling doet nauwelijks onder voor de voorlopers. Bewerkingen zoals
die uit voorbeeldopgave 18 (81 - 58, dan wel 58 + .. = 81 of 81 - .. = 58) duiden het verschil aan met de percentiel-90 leerling.
Bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren
In de laatste fase van de formalisering comprimeren leerlingen hun rijghandelingen tot bepaalde manieren van ‘maken’ en ‘breken’ van getallen (niveau 8). Tegelijkertijd, passen zij, op niveau 7, de uitgevonden vormen van rijgen met niet-tientallig afgesplitste getallen aan voor de bewerking van (ronde) getallen met drie cijfers. Zij leren in die fase ook formeler te herleiden, eerst via het compenseren en vervolgens via het transformeren van bekende (c.q. meer toegankelijke) optellingen (c.q. aftrekkingen).
Getallen en getalrelaties
12]
De kaasboer zet de 68 eieren in dozen.
Hij maakt 5 dozen van 10 vol. De rest zet hij in dozen van 6 eieren.
Hoeveel dozen van 6 zijn dat? 13]
Vader heeft deze bonnen voor zijn verjaardag gekregen. Voor hoeveel euro kan hij boeken kopen?
14]
De getallenlijn van 0 tot 100 is verdeeld in 4 stukken.
Welk getal moet bij de pijl staan?
Basisautomatismen
19] 98 + 7 = _______ 20] 63 + 37 = _______
Bewerkingen
15]
Hoeveel kilometer is het van Port naar Wos?
16] 76 – 48 = _______
17]
De lap stof is 100 centimeter lang.
Moeder knipt een stuk stof af dat 48 centimeter lang is. Hoe lang is het stuk dat ze overhoudt?
18]
De broek is goedkoper geworden.
Hoeveel euro is de broek goedkoper geworden?
Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, schakelen ook in deze fase over van splitsend hoofdrekenen met positiewaarden naar - onder elkaar - algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers, via het zogenoemde kolomsgewijs optellen en aftrekken. Het schema van figuur 6.6 brengt deze vorderingen in beeld. Voor zover de schaalgegevens dit toelaten, schetst onderstaande beschrijving de voortgang in de verwerving van de bouwstenen van deze vormen van optellen en aftrekken.
Niveau 7 – Kolomsgewijs optellen en aftrekken. Het onder elkaar opschrijven van de getallen
maakt aanvankelijk het verschil tussen splitsen op niveau 6 en splitsen op niveau 7. Echter, naarmate leerlingen in het hoofd vaker tientallen en eenheden optellen (5 + 3 = 8 en 6 – 4 = 2 i.p.v. 50 + 30 = 80 en 60 -40 = 20), nemen zij meer en meer afstand van rekenen met getalwaarden. Leerlingen, die ook op deze manier driecijferige getallen proberen te bewerken, doorzien de analogie en opereren in die zin op een hoger niveau.
Nv Rijgen Splitsen Beredeneren
8 Formeel Met positiecijfers Transformeren 7 Idem in combinatie met de
factor 10 Kolomsgewijs Compenseren 6 Met niet-tientallig afgesplitste
getallen Met positiewaarden Puzzelen met optelfeiten
Figuur 6.6 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de laatste fase van optellen en aftrekken tot 100 kunnen uitvinden
Er zijn geen (clusters) opgaven uit de schalen Getallen en getalrelaties en
Basisautonatismen die specifieke informatie geven over de mate waarin de leerlingen,
halverwege de basisschool, toe zijn aan deze vorm van onder elkaar optellen en aftrekken met positiewaarden. De geobserveerde oplossingswijzen zullen de ontbrekende informatie moeten verschaffen.
Niveau 7 – Herleiden via compenseren. Leerlingen zijn, conceptueel gezien, toe aan
compenseren zodra zij zich realiseren dat zij de rekensom die zij in een opgave herkennen, kunnen reconstrueren door de termen ervan te vergelijken met die van een rekensom die zij kennen. Het mes snijdt aan twee kanten: de leerling hoeft niet meer de termen van meer optelfeiten te puzzelen en kan bovendien ook parate aftrekfeiten inzetten om op een vergelijkbare manier onbekende aftrekkingen uit te rekenen. We zagen in hoofdstuk 4 dat leerlingen aanvankelijk vooral (omgekeerd) dubbelen (c.q. bijna dubbelen) inzetten en later ook optellingen en aftrekkingen met een rond getal als tweede of eerste term. Deze opgaven zijn echter over de gehele schaal verspreid. Ook voor deze opgaven geldt, dat de mondelinge oplossingen moeten aangeven in hoeverre leerlingen uit de lagere en middelste vaardigheidsgroepen
sommige rekenfeiten op deze manier inzetten. Dit geldt ook voor transformeren op niveau 8.
Niveau 8 – Herleiden via transformeren. Zodra leerlingen begrijpen welke handelingen een optelling (c.q. aftrekking) veranderen en welke niet en waarom dat zo is, kunnen zij de rekensom van de opgave direct herleiden tot een gelijkwaardige rekensom, door beide termen systematisch te veranderen. Voorbeeldopgaven 6 en 16 uit schaal Bewerkingen laten zich, onder andere, op deze manier uitrekenen:
6] 34 + 58 32 + 60 = 92 16] 76 - 48 78 – 50 = 28
Omdat dergelijke gevallen over de gehele schaal verspreid liggen, zullen de oplossingswijzen moeten aantonen of en hoe goed sommige leerlingen op dit hoogste niveau van beredeneren kunnen hoofdrekenen.
Niveau 8 - Gestandaardiseerd rijgen. Op het meest formele niveau van rijgen rekent de leerling met zo weinig mogelijk optellingen of aftrekkingen. Dit komt neer op het handig ‘maken’ of ‘breken’ van getallen uit de beschikbare relatienetten:
Rekentechnisch gezien bewerkt de leerling de eenheden naar analogie met optellen en aftrekken over de tien. Dit maakt, instrumenteel gezien, het verschil met structurerend rijgen op niveau 6, waarbij de leerling de eenheden met telstappen of via het tiental optelt of aftrekt. Onderstaande voorbeeldopgaven illustreren de typen voorwaardelijke operaties die met de rekendictees zijn getoetst:
– aftrekken over de 10 1] 12 - 7 6] 14 - 7 11] 15 - 8
– optellen en aftrekken over een tiental en zelfs 100 13] 45 + 9
16] 92 - 6 19] 98 + 7
De schaalopgaven geven nu aan dat alle leerlingen die op en boven het niveau van de gemiddelde leerling presteren vlot met een tiental kunnen optellen en aftrekken. Dit vormt de eerste aanwijzing van het vereiste vaardigheidsniveau om, rekentechnisch gezien, op het hoogste niveau te kunnen rijgen.
Niveau 8 – Algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers. Deze vorm van optellen en
aftrekken valt buiten het onderzoeksgebied. Er zijn ook geen opgaven voorgelegd met de intentie om deze vaardigheid te toetsen. Er zijn enkele berekeningen van dit type geobserveerd. Die zullen in hoofdstuk 7 worden besproken.
Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep Uit bovenstaande resultaten kunnen drie conclusies worden getrokken:
– de meest gevorderde leerlingen hebben de geïdentificeerde bouwstenen verworven;
– leerlingen die op en boven het niveau van percentiel-75 opereren, beschikken over de belangrijke bouwstenen die toegang bieden tot de meest formele vorm van rijgen;
– leerlingen die onder het gemiddelde presteren, lopen het risico om op niveau 6 te blijven steken, door hun gebrekkige automatisering van optellen en aftrekken over een tiental.
– op basis van de schaalopgaven kunnen we geen uitspraken doen over de bouwstenen van splitsen en beredeneren.
Zoals aangegeven in de inleiding van deze rapportage beperken we ons, wat de getallen en optellen-aftrekken tot duizend betreft, tot de beschrijving van de trend in de resultaten bij de onderwerpen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties en Basisoperaties. Deze trend wordt hieronder geschetst met de voorbeeldopgaven van balans 31.
6.3 Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de
duizend
Tabel 6.4 brengt de toename in de beheersing van de voorgelegde opgaven uit het domein van de Bewerkingen, de Getallen en getalrelaties en de basisautomatismen tot 1000 in beeld. We schetsen in het vervolg wat de drie vaardigheidsgroepen halverwege de basisschool zoal weten en kunnen. We beginnen met de laagste vaardigheidsgroep.
6.3.1 Niveau van de laagste vaardigheidsgroep
Figuur 6.7 toont de voorbeeldopgaven uit de schalen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen, die voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep goed beheersen
(minstens 80% kans op succes). Deze leerlingen kunnen bovendien al met een redelijke kans op succes een deel van de opgaven van figuur 6.8 maken, die de voorlopers van de middengroep al beheersen.
Tabel 6.4 – Voortgang van de referentieleerlingen in het getalgebied tot 1000
Referentie-leerling
Mate van beheersing
Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen optellen-aftrekken Getallen en getalrelaties Basisautomatismen optellen-aftrekken P90
Onvoldoende Geen Geen 21
Matig 15 t/m 18 8 en 9 20
Goed 1 t/m 14 1 t/m 7 1 t/m 19
P75
Onvoldoende Overige Geen Overige
Matig 6 t/m 14 7 t/m 9 19 en 20
Goed 1 t/m 5 en 9 1 t/m 6 1 t/m 18
P66
Onvoldoende Overige Overige Overige
Matig 6 t/m 10 7 19
Goed 1 t/m 5 1 t/m 6 1 t/m 18
P50
Onvoldoende Overige Overige Overige
Matig 6 t/m 10 4 t/m 7 15 t/m 19
Goed 1 t/m 5 1 t/m 3 1 t/m 14
P33
Onvoldoende Overige Overige Overige
Matig 1 en 3 t/m 5 2 t/m 6 11 t/m 15
Goed 2 1 1 t/m 10
P25
Onvoldoende Overige Overige Overige
Matig 1 en 3 t/m 5 2 t/m 4 7 en 8 t/m 15
Goed 2 1 1 t/m 6 en 8
P10
Onvoldoende Overige Overige Overige
Matig 1 t/m 3 1 5 t/m 10
Goed Geen Geen 1 t/m 4
Uit de voorbeelden van de toets Getallen en getalrelaties kan worden afgeleid dat deze leerlingen het volgende al redelijk goed tot goed kunnen:
– ronde getallen als 220 en 280 op een tientallig gemarkeerde getallenlijn kunnen plaatsen;
– aantallen als 450 planten, met eenheden van 100 en 10 samenstellen; – het aantal objecten dat in rijen van 10 is geordend, bepalen;
– iets, dat 799 euro kost, met briefjes van 100 betalen; – 1000 met twee veelvouden van tien samenstellen.
Getallen en getalrelaties
1] Trek een lijn van het kaartje 280 naar de goede plaats op de getallenlijn. Basisautomatismen 1] 30 + 120 = _______ 2] 300 + 500 = _______ 3] 150 – 30 = _______ 4] 800 – 400 = _______ 5] 200 – 50 = _______ 6] 70 + 70 = _______ 8] 130 – 40 = _______ 9] 70 + 80 = _______ 10] 500 – 90 = _______ Bewerkingen 2] 425 + 150 = _______
Figuur 6.7 (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in die de percentiel-33 leerling beheerst
De kale optellingen en aftrekkingen van de schaal Basisautomatismen die deze leerlingen in zeven seconden denktijd correct reproduceren, geven een idee van de typen afsplitsingen van getallen die ze in optel- en aftreksituaties kunnen inzetten. Ze staan hieronder op een rijtje:
– Getalbeelden van tientallen
1] 150 als 120 + 30 3] 180 als 150 + 30
5] 200 als 150 + 50 en 7] 770 als 750 + 20
– Getalbeelden van 2 t/m 9 als
2] 500 + 300 en 4] 400 + 400
– Dubbelen
6] 140 als 70 + 70
– Analogie met optellen over de tien
8] 130 als 70 + 40 en 9] 150 als 70 + 80 – Ronde afsplitsingen van veelvouden van 100
10] 500 als 410 + 90
Op basis van bovenstaande kennis en rekenvaardigheid kunnen de meest gevorderde leerlingen de gemakkelijkste opgaven van de schaal Bewerkingen met minstens 80% kans op succes oplossen. Deze contextproblemen en formele rekensommen doen een beroep op de volgende typen bewerkingen:
– elementair optellen binnen of over één interval van 100 1] 675 - 40
2] 425 + 150
– elementair optellen met veelvouden van 25 3] 175 + 125
– aanvullen / aftrekken over de 100 4] 90 + .. = 102; 102 – 90 =
– aanvullen vanaf een veelvoud van honderd / aftrekken van een veelvoud van honderd
5] 300 + .. = 465; 465 – 300 =
In paragraaf 6.2.3 is aangegeven dat leerlingen op niveau 7 van de geconstrueerde sequentie hun hoofdrekenprocedures aanpassen voor de bewerking van getallen met drie cijfers. Op grond van bovenstaande resultaten kan nu worden aangenomen dat de voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep in deze fase zijn beland. Hun getalbegrip, kennis van de herhalingstructuur van de telrij en rekenautomatismen stellen deze leerlingen op zijn minst in staat om met tientallen en honderdtallen als knooppunten te rijgen en met positiewaarden - zonder overschrijdingen – op te tellen en af te trekken.
Het verschil met de 10% minst gevorderde leerlingen is aanzienlijk. Het gros van de voorgelegde opgaven ligt namelijk buiten het vaardigheidsbereik van deze groep. De optellingen en aftrekkingen van de eerste vier voorbeeldopgaven uit het onderwerp Basisautomatismen weerspiegelen wat ze van de getallen tot 1000 weten en hoe ze deze kennis bij optellen en aftrekken kunnen inzetten.