Opzet en instrumentatie van het onderzoek
5.3.6 Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid
Alle oplossingsmethoden zijn in een Access bestand, per vaardigheidsgroep geregistreerd. Elke digitale oplossing is driedimensionaal gecodeerd, volgens de criteria van het in hoofdstuk 4 geconstrueerde classificatiesysteem (figuur 5.11).
Dimensie Categorieën Strategie 1 Optellen
2 Indirect optellen 3 Aftrekken 4 Indirect aftrekken 5 Niet vast te stellen Methoden 10 Rijgen 20 Splitsen 30 Beredeneren 40 Weten 50 Anders 60 Rest Vorm/Niveau Rijgen 3 Met telstappen
4 Met tientallen als knooppunten (met eerst een sprong naar het tienvoud) 5 Met samengestelde getallen als knooppunten (direct met de 10-sprong) 6 Met afsplitsingen van getallen anders dan in tientallen en eenheden 7 Idem in combinatie met de factor 10
8 Gestandaardiseerd Splitsen
4 Reken met ‘tienen en lossen’ (in situaties zonder tientaloverschrijding) 5 Splitsen in combinatie met rijgen
6 Horizontaal met tekorten of een tien openen / Buggy algoritmen 7 Kolomsgewijs, met positiewaarden en van links naar rechts 8 Met positiecijfers (standaardalgoritme)
Beredeneren
6 Puzzelen met optelfeiten 7 Afsplitsen en compenseren 8 Transformeren
De betrouwbaarheid van het classificatiesysteem is gemeten met Cohens coëfficiënt voor de mate van overeenstemming tussen beoordelaars. Op basis van de codering door twee beoordelaars van een steekproef van 103 oplossingen is een kappa van 0,86 gevonden (0.75 is excellent) bij de codering van ‘strategie’ en ‘methode’ en van 0,74 bij de driedimensionale codering. De volgende procedure is gevolgd.
– De onderzoeker heeft eerst aan twee beoordelaars aan de hand van de aftrekking 64 - 48 de systematiek en de categorieën van het systeem gepresenteerd.
– Het drietal heeft hierop aansluitend een steeproef van vijftien opgaven (vijf per vaardigheidsgroep) interactief gecodeerd.
– Vervolgens zijn de coderingen vergeleken en de afwijkingen besproken. Dit leidde tot een nadere toelichting van de onderscheidende criteria voor ‘methode’ en ‘niveau van formalisering’ (vooral m.b.t. de oplossingen met driecijferige getallen).
– Ten slotte hebben de twee beoordelaars twee uur lang (met de nodige onderbrekingen) drie steekproeven oplossingen uit het digitale bestand van de drie vaardigheidsgroepen gecodeerd.
– Kappa is op basis van deze coderingen uitgerekend.
De beoordelingsessie is afgesloten met een korte groepsevaluatie. Het betrof drie kwesties. De codering van de ‘strategie’ is eenduidig. Maar de codering van de ‘methode’ kan bij twee klassen bewerkingen onderstaande twijfels bij beoordelaars oproepen.
– Leerlingen gebruiken uitdrukkingen die niet dekken wat ze mentaal doen: “Ik ga terugtellen”, bij 36 - 25 via (36) 26, 16 16-5-11
“Ik tel verder”, bij 25 + .. = 36 via (25) 35 35 + 1 = 36, dus 11 In beide gevallen rijgt de leerling met ’samengestelde getallen’ en niet met ‘telstappen’.
– Aftrekkingen van het type 60 - 35 en 100 - 86 (aftrekken vanaf een tienvoud) worden in twee opeenvolgende bewerkingen gestructureerd:
60 - 30 30 - 5 100 - 80 20 - 6
Beoordelaars kunnen dit associëren met de combinatie van splitsen (60 – 30 = 30, denkend aan 6 – 3 = 3; 100 – 80 = 20, denkend aan 10 – 8 = 2) en rijgen (30 - 5; 20 - 6).
Het onderscheidend criterium is de wijze waarop de leerling de uitkomst van de bewerking van de tienvouden verantwoordt. Wordt de analogie met aftrekken onder de tien gebruikt, dan wordt het label ‘Splitsen in combinatie met rijgen’ toegekend.
De codering van het ‘niveau’ roept ten slotte alleen misverstanden/twijfels op bij rijgen met driecijferige getallen. Leerlingen gebruiken aanvankelijk bijna systematisch een honderdtal als eerste knooppunt. Dit roept begrijpelijk de associatie op met de sprong naar het tienvoud (niveau 4):
370 + .. = 620 via 370 + 30 = 400 400 + 200 600 + 20 620 - 370 via 620 – 20 = 660 600 - 300 300 - 50
Het gebruik van afsplitsingen van getallen (anders dan in tientallen en eenheden) in combinatie met de factor tien is het onderscheidende criterium. Het is rijgen op niveau 7.
5.4 Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies
Het onderzoek naar oplossingsprocedures is gestructureerd uitgaande van drie hoofdaspecten van het rekenwerk: 1. de gebruikte methoden en vormen van rekenen en de resultaten die de drie vaardigheidsgroepen ermee behalen, 2. de wijze waarop ze omgaan met relevante opgavenkenmerken en 3. de bron van de foutieve antwoorden die ze geven.
Gebruiksfrequentie en resultaten
Drie vragen staan bij deze analyse - per vaardigheidsgroep - centraal:
– Hoe vaak zijn de geleerde hoofdrekenmethoden gebruikt en met welke resultaten?
– Hoe formeel rijgen, splitsen en beredeneren de leerlingen? – Hoe varieert het succes per niveau van rijgen, splitsen en beredeneren? – De analyses spreken voor zich.
De tweede analyse moet primair inzicht verschaffen in het pallet van bewerkingen die leerlingen zoal gebruiken, de derde in hoe het, halverwege de basisschool met de progressieve schematisering staat.
Omgang met de context en de getallen
We zagen in hoofdstuk 3 en 4 dat leerlingen verschillend op de context en de getallen van eenzelfde opgave reageren, dat de combinatie van strategie en rekenvorm de moeilijkheidsgraad van de betreffende bewerking determineert en dat zowel leerlingkenmerken als het aanbod en de kwaliteit van de instructie de flexibiliteit van de leerling beïnvloeden.
Het onvolledige design maakt een systematische analyse van deze flexibiliteit onmogelijk. We beperken ons dan ook tot het identificeren van patronen in de reactie van de drie vaardigheidsgroepen op de voorgelegde typen aftrekstructuren en/of
specifieke eigenschappen van de getallen (zie figuur 5.7 t/m 5.10). We gaan daarbij uit van de in hoofdstuk 4 onderscheiden combinaties van ‘aftrekstrategie’ (aftrekken; indirect optellen; indirect aftrekken) en hoofdrekenmethoden (rijgen; splitsen; beredeneren/weten).
De leidende vragen zijn:
– Welke combinaties worden het meest gebruikt en met welke resultaten? – In hoeverre zijn de geïdentificeerde klassen oplossingsprocedures verbonden
met specifieke (combinaties van) eigenschappen van de opgaven? Foutenpatronen
In Balans [40] (Kraemer, 2010) zijn de specifieke problemen van de drie vaardigheidsgroepen in kaart gebracht64. De foutenanalyse van het dissertatieonderzoek heeft een andere functie. Het is gericht op de identificatie van de aspecten van rijgen, splitsen en beredeneren die de leerlingen in moeilijkheden brengen en in die zin foutenpatronen genereren.
We zagen in hoofdstuk 1 dat er in de realistische didactiek verschil wordt gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1994) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational’ reasoning en bewerken op ‘calculational’ reasoning. We hebben nu vanuit deze invalshoek alle oplossingsprocedures geanalyseerd, waarbij (a) de beschrijving van het probleem of (b) de bewerking van de getallen een foutief antwoord genereert. Twee vragen structureren deze foutenanalyse:
– Hoe vaak wordt een contextopgave onjuist beschreven? En: wat is het dominante patroon in deze foutieve horizontale mathematisering?
– Wat zijn de dominante patronen in de rijg-, splits- en beredeneerbewerkingen die een foutief antwoord genereren?
Voor deze analyse van de bewerkingen maken we onderscheid tussen drie categorieën oorzaken: 1. begrip van de rekenprocedure (begripsvorming als oorzaak); 2. rekenfout (memoriseren c.q. automatisering als oorzaak) en 3. uitvoering (verlies van de grip op het proces van bewerken).
Hiermee zijn we aan het einde gekomen van de verantwoording van de theoretische, empirische en methodologische grondslagen van onderhavig dissertatieonderzoek. We rapporten in het vervolg de analyseresultaten van de voortgang zoals gemeten bij de 4e PPON rekenpeiling (hoofdstuk 6) en van de drie onderscheiden aspecten van de oplossingsprocedures: de toegepaste methoden en vormen van hoofdrekenen, de omgang met relevante opgavenkenmerken en de bron van foutieve antwoorden (hoofdstukken 7 t/m 9).