Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool
6.2.1 Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep (≤P33) (≤P33)
Tabel 6.1 toont de mate waarin de percentiel-10, percentiel-25 en percentiel-33 leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e peiling beheersen. De opgaven die de meest gevorderde leerlingen beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.1. De opgaven, die in hun zone van naaste ontwikkeling liggen, behoren tot de verzameling opgaven van figuur 6.4, die de meest gevorderde leerlingen van de middengroep (percentiel-66 leerlingen) al beheersen.
65 Deze beschrijving is gebaseerd op mijn rapportage in hoofdstuk 4 van Balans [31] uit de PPON-reeks: Kraemer e.a., 2005. Zie Getallen en getalrelaties (p. 45-50), Basisoperaties (p. 59-63) en Bewerkingen (p. 75-84).
Getallen en getalrelaties
1]
Zet deze getallen op volgorde van klein naar groot.
Schrijf de getallen in de hokjes. 2]
Op de plank staan 3 volle dozen. Er liggen ook nog losse schriften. Hoeveel schriften zijn dat samen? 3]
In het dierentehuis wonen 80 dieren: 30 katten en verder alleen maar honden. Hoeveel honden wonen er? 4]
Moeder verdeelt 60 euro eerlijk over drie kinderen.
Hoeveel euro krijgt ieder? 5]
In het hok staan 5 getallen. Welke van die getallen liggen op de getallenlijn tussen 60 en 70? ________ en ________ 6]
Juf Leony haalt 34 balpennen uit de kast.
Hoeveel doosjes van 10 pakt ze en hoeveel losse pennen?
Basisautomatismen 1] 12 – 7 = _______ 2] 32 + 8 = _______ 3] 100 – 9 = _______ 4] 84 – 40 = _______ 5] 58 – 4 = _______ 6] 14 – 7 = _______ 7] 48 + 40 = _______ 8] 27 + 50 = _______ 9] 70 – 7 = _______ 10] 56 – 50 = _______ 11] 15 – 8 = _______ 12] 79 – 5 = _______ 14] 45 + 55 = _______ Bewerkingen 1]
Opa had 68 euro in zijn portemonnee. Hij heeft voor 60 euro boodschappen gedaan.
Hoeveel euro heeft hij over? 2]
Er zijn 36 verschillende plaatjes.
Nicky heeft al 25 plaatjes. Hoeveel plaatjes mist zij nog? 3]
De school gaat met 2 bussen op schoolreis. In de ene bus zitten 50 leerlingen en in de andere bus 45.
Hoeveel leerlingen gaan mee?
4] Reken dit handig uit:
5] 6]
58 rode en 34 gele ballonnen gaan de lucht in.
Hoeveel ballonnen zijn dat samen?
7]
Alles is nu 5 euro goedkoper. Hoeveel euro betaal je dan voor de jas?
8]
In de pot zaten 100 knikkers. Janine heeft er 12 knikkers uitgehaald.
Hoeveel knikkers zitten nu nog in de pot?
9]
Dit zijn bij elkaar 50 rozen. In de witte emmer staan 25 witte rozen.
Hoeveel rode rozen staan dan in de grijze emmer?
Tabel 6.1 – Voortgang van percentiel-10, -25 en -33 leerlingen in het getalgebied tot 100
Referentie-leerling Mate van beheersing*
Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen
optellen-aftrekken getalrelaties Getallen en Basisautomatismen optellen-aftrekken
P33
Onvoldoende Overige Overige Overige Matig 10 t/m 14 7 t/m 9 13 en 15 t/m 18 Goed 1 t/m 9 1 t/m 6 1 t/m 12 en 14
P25
Onvoldoende Overige Overige Overige Matig 7 t/m 14 6 t/m 9 13 t/m 17 Goed 1 t/m 6 1 t/m 5 1 t/m 12
P10
Onvoldoende Overige Overige overige Matig 2 en 4 t/m 10 5 en 6 1 en 3 t/m 12 Goed 1 en 3 1 t/m 4 2 (*) Interpretatie
Onvoldoende = Minder dan 50% kans op succes / Minder dan 5 van de 10 opgaven van het betreffende type goed
Matig = Tussen 50% en 80% kans op succes / Tussen 5 en 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed
Goed = Meer dan 80% kans op succes / Meer dan 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed
Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier
De meest gevorderde leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beheersen opgaven met
bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 1 t/m 9 goed. Het zijn optel- en aftrekproblemen en kale rekensommen met onderstaande typen optellingen, stipsommen en aftrekkingen: 68 - 60 36 - 25 / 25 + .. = 36 50 + 45 30 + 5 + 15 + 20 97 - 70 34 + 58 63 - 5 100 - 12 50 - 25 / 25 + .. = 50
De voorgelegde problemen confronteren de leerling met alle geleerde betekenissen en vormen van optellen en aftrekken:
– wat optellen betreft: (i) samennemen, (ii) erbij doen en (iii) vergelijken;
– wat aftrekken betreft: (i) afhalen, (ii) combineren/vol maken, (iii) scheiden en (iv) vergelijken.
Bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 10 t/m 14 (zie figuur 6.4) liggen in de zone van naaste ontwikkeling (matige beheersing).
De percentiel-25 leerling beheerst de zes eerste typen bewerkingen goed en die van
voorbeeldopgaven 7 t/m 14 matig, terwijl de percentiel-10 leerling alleen bewerkingen als 68 - 60 en 50 + 45 uit de voorgelegde verzameling goed beheerst. Deze leerling heeft echter maar tussen 50% en 80% kans om de getallen van de voorbeelden 2 en 4 t/m 10 correct te bewerken.
Bouwstenen van rijgen en splitsen
Figuur 6.2 brengt de vormen van tientallig optellen en aftrekken van de geconstrueerde sequentie in beeld (zie hoofdstuk 4) die direct aansluiten bij het tellen van hoeveelheden.
We sporen de bouwstenen ervan op in de schriftelijke toetsresultaten.
NV RIJGEN SPLITSEN 5 Met samengestelde getallen Mengvorm splitsen-rijgen 4 Met tienvouden na de sprong Optelen/aftrekken
met eenheden van 10 en 3 Met telstappen
Figuur 6.2 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de eerste en tweede fase van optellen en aftrekken tot honderd kunnen uitvinden
Niveau 3 - Verkort tellen. Conceptueel gezien, doet verkort rijgen een beroep op de wetenschap dat twee gehele getallen bij elkaar opgeteld een nieuw geheel getal vormen (inclusierelatie; associatieve eigenschap van optellen) en dat de volgorde van de getallen er niet toe doet (commutatieve eigenschap). De leerling moet ook de structuur kennen in het systeem van de telwoorden, dat wil zeggen, weten dat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 telkens met de tientallen 10, 20, 30, etc. worden gecombineerd. De gemakkelijkste opgaven van de schaal Getallen en getalrelaties doen een beroep op deze inzichten. De leerling moet getallen als 7 en 60 samennemen en, omgekeerd, getallen met de termen van een som weergeven, bijvoorbeeld 45 als 5 + ?.
Instrumenteel gezien kunnen leerlingen pas vlot op dit niveau rijgen als zij vanuit een willekeurig getal met één verder kunnen tellen en terugtellen, al dan niet met behulp van een of andere visualisering van de gemaakte telstappen. De opgaven, waarbij de leerling een reeks telwoorden moet voortzetten (77, 78, 79, …; 83, 82, 81…) vergen meer vaardigheid dan bovenstaande taken. Leerlingen, die op en onder het niveau van de percentiel-10 leerling opereren, beheersen nu deze vier typen opgaven nog maar matig. Dit betekent dat de groep 10% laagst presterende leerlingen nog niet beschikt over alle basale bouwstenen voor rekenen tot 100.
Niveau 4 – Rijgen via het tiental. Conceptueel gezien, doet rijgen via het tiental een beroep op de volgende kennis van getallen: 1. Elk geheel getal bestaat uit de unieke combinatie van een aantal tientallen en aantallen eenheden. 2. Alle getallen kunnen
met de combinatie van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, en 9 worden gesymboliseerd. 3. Uit de unieke combinatie van tientallen en eenheden volgt dat elk getal ook een unieke plaats heeft in de tientallige herhalingstructuur van de telrij.
Instrumenteel gezien moet de leerling (i) vlot binnen een interval van tien kunnen optellen en aftrekken en (ii) vanaf een willekeurig tiental, 10 verder en tien terug kunnen springen, zoals hieronder aangegeven:
Basisautomatismen binnen een interval van 10
– 24 + ? = 30 en 30 – 6 = ? bij de eerste stap (vol maken en leeg maken van een tiental);
– 60 + 2 = ? en 60 - 2 bij de laatste stap (bewerking van de 2e term van de afgesplitste eenheden)
Optellen en aftrekken met tien via – verder tellen: 30, 40, 50, etc. – terugtellen: 80, 70, 60, etc.
Taken zoals die van voorbeeldopgave 2, 6, 7 en 11 van de schaal Getallen en getalrelaties doen een beroep op het vereiste getalbegrip en de daarbij horende telvaardigheden.
Voorbeeldopgaven 1, 5 en 8 doen op hun beurt een beroep op het gebruik van de
decimaal-positionele opbouw van gehele getallen en/of hun plaats binnen de intervallen van tien, om getallen te ordenen of te positioneren en om schattingen te beoordelen. Ze geven in die zin de nodige aanvullende informatie.
De percentiel-10 leerling kan nu een viertal samengestelde getallen in oplopende volgorde ordenen (voorbeeldopgave 1) en het aantal bepalen van afgebeelde hoeveelheden die in groepen van 10 zijn geordend (voorbeeldopgave 2). Deze leerling kan echter een willekeurig aantal objecten en maten zoals 34 pennen en 73 euro nog maar matig met zoveel eenheden van tien en zoveel lossen samenstellen (voorbeeldopgaven 6 en 7). Dit maakt het verschil uit met de percentiel-33 leerling, die de eerste zes voorbeeldopgaven van de schaal Getallen en getalrelaties al beheerst.
Uit de opgaven van de schaal Basisoperaties en Bewerkingen kan worden opgemaakt dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, ook niet over alle
instrumentele voorwaarden beschikt. Hij kan foutloos binnen zeven seconden 32+8
uitrekenen (voorbeeldopgave 2), maar vergist zich regelmatig bij aftrekkingen als 70-7 vanaf een tiental (voorbeeldopgave 7). Voor beide types basisoperaties geldt, dat vaardige tellers er uit komen door telkens met één te tellen (verder en terug). Leerlingen die het dubbeltellen minder goed beheersen, maken meer kans om fouten te maken naarmate ze een langere afstand verder en vooral terug moeten tellen.
Deze resultaten betekenen dat leerlingen die onder het niveau van de percentiel-33
leerling opereren in die fase verkeren waarin de bouwstenen voor rijgen op basis van
afstandrelaties tussen gehele getallen worden geconstrueerd. De beheersing van onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat ze, op een
relatief korte rijgafstand, met telstappen binnen en over een interval kunnen rekenen en deze stappen van één efficiënt met de 10-sprong weten te combineren:
52 + 7 en 56 - 5 18 + 8; 38 + 6; 50 + 19 en 50 + 45 (voorbeeldopgave 3) 74 + .. = 80 en 25 + .. = 36 (voorbeeldopgave 2) 10 + 45 + 10 30 + 5 + 15 + 20
Niveau 4 – Startniveau van splitsen: optellen en aftrekken met tienen en lossen. Conceptueel gezien doet splitsen zonder tientaloverschrijding een beroep op hetzelfde begrip van
tellen en van gehele getallen als rijgen via het tiental. Deze manier van optellen en
aftrekken vergt echter het inzicht dat men de tientallen en eenheden van twee getallen ‘apart’ bij elkaar kan optellen, omdat elk geheel getal de som is van een veelvoud van 10 en 1:
12 + 14
12 = 10 + 2; 14 = 10 + 4 12 + 14 is evenveel als (10 + 10) + (2 + 4) 36 - 25
36 = 30 + 6; 25 = 20 + 5 36 - 25 is evenveel als (30 - 20) + (6 - 5)
De optelling 50 + 45 van voorbeeldopgave 3 en de aftrekking 36 - 25 van voorbeeldopgave
2 van de schaal Bewerkingen laten zien dat een leerling over de vier ondertaande
automatismen moet beschikken om op deze manier te kunnen optellen en aftrekken: – Getallen decimaal afsplitsen:
50 + 45 50; 45 = 40 + 5
36 - 25 36 = 30 + 6 en 25 = 20 + 5 – Optellen en aftrekken van tientallen
50 + 45 50 + 40 via 60(1), 70(2), 80(3), 90(4) 36 - 25 30 - 20 via 20(1), 10(2)
– Optellen en aftrekken onder de 10, (a) tellend, (b) met ondersteuning van vingerbeelden of (c) direct en indirect met parate feitenkennis:
50 + 45 5 + 0 = 5 36 - 25 6 – 5 = 1
– Samen nemen van tientallen en eenheden: 50+45 90+5=95
36-25 10+1=11
Een leerling kan elk van deze rekenhandelingen tellend (met één of met tien) uitvoeren, inclusief het samennemen van tientallen en eenheden. De beheersing van onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat deze
procedure daarom zeer toegankelijk is en dus ook zeer aantrekkelijk voor de 10% minst vaardige leerlingen.
5 + 73; 52 + 7 en 56 - 5; 24 + 24, 12 + 14, 44 + 43 50 + 45 (voorbeeldopgave 3), 55 + 20 en 45 - 30 37 - 20, 82 - 40, 68 - 60 (voorbeeldopgave 1) 10 + 45 + 10 30 + 5 + 15 + 20
Bovenstaande resultaten betekenen dat de minst gevorderde leerlingen op een elementair niveau minimaal over drie hoofdrekenprocedures kunnen beschikken: 1. verkort tellen, 2. rijgen via het tiental en 3. optellen en aftrekken met tienen en enen.
Niveau 5 – Direct springen met tien. Conceptueel gezien doet direct rijgen met de 10-sprong een beroep op het inzicht dat “tien verder” neerkomt op één tiental bij het betreffende aantal optellen (tien ‘meer’) en “tien terug” op de omgekeerde handeling: één tien van het aantal aftrekken (tien ‘minder’). De ordening van de getallen 1 t/m 100 in rijen van 10 (100-veld) geeft toegang tot deze structuur en relatie. Afgezien van de opgaven waarbij de leerling getalpatronen als 46, 56, 66 … en 85, 75, 65, …moet voortzetten, zijn geen taken voorgelegd die dit inzicht in de eigenschap van de optelling en aftrekking meten. Deze opgaven geven nu aan dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, nog niet in staat is om willekeurige reeksen van dit type te reconstrueren. Het feit dat deze leerlingen bij de rekendictees optellingen als 78 + 10 en aftrekkingen als 88 - 10 uit de schaal Basisoperaties wel correct uitrekenen, maakt aannemelijk dat ze het inzicht in de wiskundige structuur van de getalpatronen missen.
Instrumenteel gezien, doet direct rijgen met de 10-sprong een beroep op optel- en aftrekken binnen en over een interval van 10, die onder andere met onderstaande voorbeeldopgaven van de schaal basisautomatismen zijn getoetst:
– Basisautomatismen binnen een interval van 10 type 62 + 7
8] 58 - 4 en 12] 79 - 5
– Basisautomatismen over een interval van 10 13] 45 + 9 en 19] 98 + 7
16] 92 - 6
Het aftrekken van eenheden van een samengesteld getal vergt meer of minder vaardigheid, afhankelijk van de getallen. Zo is de aftrekking 79 - 5 (5 als kern van 9) moeilijker dan 58 - 4 (8 als dubbel 4). De percentiel-25 leerling kan al vlot binnen een interval optellen en aftrekken. Hij moet vooral over een tiental leren aftrekken. Dit maakt het verschil met de percentiel-10 leerling die de meeste instrumentele voorwaarden nog moet verwerven.
Zoals aangegeven bij de aanvang van deze beschrijving, beheerst de percentiel-25
leerling de eerste zes voorbeeldopgaven van de schaal Bewerkingen. De percentiel-33 leerling beheerst ook de hierna volgende drie opgaven goed en voorbeeldopgaven 10
t/m 14 matig. De getallen die de leerling in die gevallen moet bewerken, lenen zich bij uitstek voor direct rijgen met 10 over een afstand die groter is dan 10. Dit maakt aannemelijk dat deze leerlingen in elke geval op dit niveau de tientallen kunnen bewerken, ook al moet ze de eenheden nog tellend of via het tiental, toevoegen / afhalen. 97 - 70 34 + 58 50 - 25 of 25 + .. = 50 12 + 24 + 36 54 - 30 85 + .. = 100 56 - .. = 34, 34 + .. = 56 of 56 – 34 = 87 + .. = 96 / 96 - 87 =
Uit bovenstaande resultaten kunnen twee conclusies worden getrokken:
1. De groep 10% laagst presterende leerlingen beschikt niet over de voorwaarden om een grotere afstand met opeenvolgende sprongen van 10 te rijgen, noch om een groot aantal eenheden bij een samengesteld getal op te tellen of ervan af te trekken.
2. Leerlingen verwerven hoe langer hoe meer de vereiste voorwaarden. Ze blijven echter lang afhankelijk van verder tellen en terug tellen om eenheden over een tiental af te trekken of op te tellen. Dit betekent dat ze, door de telfouten en vergissingen die ze kunnen maken, nog lang een foutief antwoord kunnen geven. Dit geldt zowel voor de percentiel-25 leerling als voor de meeste gevorderde leerling van de laagste vaardigheidsgroep.
Niveau 5 – Rijgen in combinatie met splitsen. De fundamentele verandering ten opzichte van splitsen op niveau 4 is dat de leerling op niveau 5 verschil maakt tussen 1.
optellingen die 1 t/m 9 eenheden opleveren (50+45) en optellingen die 10 of meer
eenheden geven (34 + 58) 2. aftrekkingen die wel en niet gaan (36 - 25 versus 62 - 48). Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, komen daar achter via het uitbeelden van rekensituaties (zoals die van de voorbeeldopgaven van de schaal
Bewerkingen) met decimale hulpmiddelen als dozen van 10 stuks, namaakgeld en
MAB-blokjes en staven. Ze leren hiermee rijgen met splitsen te combineren om het overschot / het tekort aan eenheden op te lossen.
Conceptueel gezien, doet deze procedure een beroep op het begrip van wat er met de tientallen en eenheden van een samengesteld getal gebeurt, als men zoveel eenheden bij dit getal optelt of juist ervan aftrekt:
– Wanneer verandert alleen het aantal eenheden? – Wanneer verandert ook het aantal tientallen? – Waarom? En: hoe?
Er zijn geen opgaven voorgelegd die direct informatie verschaffen over het verworven inzicht in dit positionele aspect van optellen en aftrekken. Echter, op
voorbeeldopgave 6 na, liggen alle opgaven van de schaal Bewerkingen met een overschot of
tekort aan eenheden in of buiten de zone van de naaste ontwikkeling van de leerlingen uit de groep Laag (zie voorbeeldopgave 7, 8, 10, 11, 12, 14; 15, 16, 17 en 18). Dit maakt aannemelijk dat deze leerlingen nog niet het vereiste niveau van decimaal-positioneel denken hebben bereikt.
Instrumenteel gezien vergt deze combinatie geen specifieke feitenkennis, noch rekenautomatismen. Dit betekent dat het begrip van de positionele eigenschappoen van optellen en aftrekken doorslaggevend is voor het nemen van deze drempel. Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep In de resultaten van de groep leerlingen met de laagste vaardigheid bij de onderwerpen
Bewerkingen, Getallen en getalrelaties, Basisautomatsimen en Bewerkingen, tekent zich,
concluderend, de volgende trend af:
– De eerste 10% leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beschikt over de conceptuele en instrumentele bouwstenen die hen in staat stelt om optel- en aftrekopgaven 1. verkort tellend, 2. springend met 10 in de telrij via een tiental en 3. optellend en aftrekkend met tienen en enen op te lossen. Deze leerlingen kunnen in principe ook vanaf een mentaal aantal direct met sprongen van 10 optellen en aftrekken, mits de rijgafstand niet al te groot is.
– Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep, die dit niveau overstijgen, beschikken wel over de voorwaarden om inzichtelijk en vlot met de 10-sprong te rijgen, ook al zullen ze regelmatig de eenheden tellend of via het tiental moeten bewerken.
– Instrumenteel gezien is de percentiel-25 leerling toe aan de combinatie van rijgen met splitsen. Er zijn echter aanwijzingen dat deze leerling nog niet het vereiste niveau van positioneel denken heeft bereikt dat toegang geeft tot rijgen in combinatie met splitsen.
– Er zijn ten slotte sterke aanwijzingen dat de percentiel-33 leerling grotendeels de vereiste bouwstenen heeft verworven om met de twee rijgprocedures en de combinatie van rijgen met splitsen te kunnen hoofdrekenen.
Het vervolg van deze rapportage beschrijft de bouwstenen die leerlingen met meer vaardigheid hebben verworven.