Logical remainders

De vierde stap in de QCA-analyse betreft de omgang met logical remainders; een grote tekortkoming in het hedendaagse methodeonderzoek. Binnen QCA gaat het om rijen in de waarheidstabel met logische combinaties die geen of te weinig empirisch materiaal bevatten. Veel onderzoeksmethoden, kwalitatief én kwantitatief, staan niet stil bij de vraag hoe om te gaan met logische combinaties van factoren die zich niet manifesteren in de onderzochte casus. Het op een doordachte manier behandelen van deze waarheidstabelrijen is een cruciaal onderdeel van de familie van set-theoretische methoden. Assumpties ten aanzien van logical remainders hebben namelijk een directe impact op de verkregen resultaten (Rihoux & Ragin, 2009; Schneider & Wagemann, 2012, p. 151).

In het geval van csQCA ligt het voor de hand welke logische combinaties te beschouwen zijn als logical remainders. Iedere casus heeft namelijk een volledig lidmaatschap in een van de 2k rijen van de waarheidstabel. De rijen in de waarheidstabel die onvoldoende casus bevatten kunnen we dan ook beschouwen als de rijen met logical remainders. Vanwege de beperkte hoeveelheid casus in dit onderzoek beoordelen we een rij als logical

remainder indien deze niet wordt gedekt door het empirisch materiaal. Tabel 7.4 bevat de

waarheidstabel van onze QCA-analyse, aangevuld met de vijftien logical remainder-rijen. De redenen voor deze limited diversity bij geobserveerde data in sociaal-wetenschappelijk onderzoek verschillen. Een eerste mogelijkheid voor beperkte diversiteit doet zich voor wanneer het aantal waarheidstabelrijen simpelweg groter is dan de hoeveelheid beschikbare empirische casus. Dit noemt men ook wel aritmetische remainders. In Nederland zijn tussen 1906 en 2016 dertig raadgevende referenda door burgers afgedwongen. Dit aantal is lager dan de 32 logische combinaties in de waarheidstabel. We hebben in dit onderzoek dan ook vanuit rekenkundig perspectief te maken met het fenomeen van de aritmetische remainders. Minstens twee logical remainders zijn volgens dit criterium te vinden in onze dataset. Het werkelijke aantal remainders ligt waarschijnlijk hoger omdat sociale fenomenen zich gewoonlijk geclusterd manifesteren (Schneider & Wagemann, 2012, p. 154). Dit betekent dat meerdere casus onder één rij in de waarheidstabel zijn te scharen. Het werkelijke aantal logical remainders ligt daardoor waarschijnlijk hoger dan twee. Dit is duidelijk terug te zien in Tabel 7.4. Rij nummer 24 bevat bijvoorbeeld drie casus.

Tabel 7.4 Crisp-set-waarheidstabel144 met logical remainders voor winst

Rij TURN SUP PROT TRUST GOV OUT (N) Incl. PRI Casus

24. 1 0 1 1 1 1 (3) 1.000 1.000 AdamSp97; Grong01; Nmgen06 21. 1 0 1 0 0 1 (2) 1.000 1.000 Leid95; Delft06 28. 1 1 0 1 1 1 (2) 1.000 1.000 Gravel96; Zndvrt97 27. 1 1 0 1 0 1 (1) 1.000 1.000 Voernd03 31. 1 1 1 1 0 1 (1) 1.000 1.000 Adam02 32. 1 1 1 1 1 1 (1) 1.000 1.000 Huizn04 19. 1 0 0 1 0 0 (3) 0.667 0.667 Adam95a; Adam95b; Gorch99

20. 1 0 0 1 1 0 (4) 0.250 0.250 Zwol96; Adam97a; Soest05; Zwol05 16. 0 1 1 1 1 0 (3) 0.000 0.000 Hilvsm04; Anhm13; Rttrdm16 4. 0 0 0 1 1 0 (2) 0.000 0.000 Adam97b; Adam01 22. 1 0 1 0 1 0 (2) 0.000 0.000 Grong05; AdamCtm14 3. 0 0 0 1 0 0 (1) 0.000 0.000 Amrsft95 6. 0 0 1 0 1 0 (1) 0.000 0.000 AdamWstp08 7. 0 0 1 1 0 0 (1) 0.000 0.000 Anhm16 11. 0 1 0 1 0 0 (1) 0.000 0.000 Nwegn99 17. 1 0 0 0 0 0 (1) 0.000 0.000 AdamWst10 23. 1 0 1 1 0 0 (1) 0.000 0.000 Enkhzn02 1. 0 0 0 0 0 ? (0) - - Logical remainder 2. 0 0 0 0 1 ? (0) - - Logical remainder 5. 0 0 1 0 0 ? (0) - - Logical remainder 8. 0 0 1 1 1 ? (0) - - Logical remainder 9. 0 1 0 0 0 ? (0) - - Logical remainder 10. 0 1 0 0 1 ? (0) - - Logical remainder 12. 0 1 0 1 1 ? (0) - - Logical remainder 13. 0 1 1 0 0 ? (0) - - Logical remainder 14. 0 1 1 0 1 ? (0) - - Logical remainder

144 OUT staat voor de uitkomstwaarde. N staat voor het aantal casus in de configuratie. Incl. staat voor de sufficiency inclusion score, ook wel de consistentiescore genoemd. PRI staat voor

propor-tional reduction in inconsistency. Deze indicator is van belang voor de fuzzy-set-variant van QCA

voor het vaststellen van het mogelijke probleem van simultane subset-relaties. Een simultane subset-relatie doet zich voor als een (combinatie van) conditie(s) voldoende blijkt te zijn voor zowel de uitkomst (Y) als de niet-uitkomst (~Y). Dit is logisch tegenstrijdig met elkaar: een en dezelfde conditie kan niet een voldoende voorwaarde zijn voor de uitkomst en niet-uitkomst. PRI geeft aan in hoeverre een conditie X specifiek een subset is van de uitkomst (Y) en niet een subset van de niet-uitkomst (~Y). Een relatief lage PRI-score, bijvoorbeeld onder de 0.5, wijst op een mogelijke simultane subset-relatie (Schneider & Wagemann, 2012, pp. 242-243). De vraagtekens in kolom ‘OUT (N)’ signaleren onduidelijkheid over de vraag of de rij moet worden toegekend aan winst of niet-winst. In het onderzoek zijn geen casus voorhanden die duiden op een van deze twee alternatieven.

Rij TURN SUP PROT TRUST GOV OUT (N) Incl. PRI Casus 15. 0 1 1 1 0 ? (0) - - Logical remainder 18. 1 0 0 0 1 ? (0) - - Logical remainder 25. 1 1 0 0 0 ? (0) - - Logical remainder 26. 1 1 0 0 1 ? (0) - - Logical remainder 29. 1 1 1 0 0 ? (0) - - Logical remainder 30. 1 1 1 0 1 ? (0) - - Logical remainder

Een tweede mogelijkheid voor beperkte diversiteit is dat de sociale realiteit vooraf wordt gestructureerd door allerlei sociale, politieke, historische en juridische processen, waardoor enkele waarheidstabelrijen zijn uitgesloten. Dit type remainders wordt wel geclusterde remainders genoemd. Voor zover bekend is van dergelijke geclusterde

remainders geen sprake in dit onderzoek. Een derde mogelijkheid voor beperkte diversiteit is

dat sommige combinaties van condities niet bestaan in de wereld zoals wij deze nu kennen of die niet bestaan in een wereld die we ons kunnen voorstellen in het verleden of in de (nabije) toekomst (onmogelijke remainders).145 We hebben geen redenen om aan te nemen dat in deze studie sprake is van onmogelijke remainders (Schneider & Wagemann, 2012, p. 153).

In Tabel 7.4 is te zien dat we hier te maken hebben met in totaal vijftien logical

remainders, 46,9% van het totaal aan waarheidstabelrijen. Deze omvang is niet ongebruikelijk

in toegepast QCA-onderzoek. Percentages van boven de 50% doen zich regelmatig voor (Schneider & Wagemann, 2012, p. 169). Een evident gevolg van een omvangrijke hoeveelheid logical remainders is dat de complexe (of conservatieve) oplossing in letterlijke en figuurlijke zin complex kan worden genoemd. Deze complexiteit maakt het onmogelijk de uitkomsten van de analyse op een theoretisch zinvolle wijze te interpreteren. Via de ‘Standaard Analyse’-procedure, aan de hand van het Quine-McCluskey-algoritme, zijn we in staat de complexe oplossing te produceren aan de hand van de waarheidstabel:

TURN*SUP*TRUST + TURN*PROT*TRUST*GOV + TURN*sup*PROT*trust*gov → OUT De formule laat zich als volgt lezen: [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie SUP en de aanwezigheid van conditie TRUST] OF [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie PROT, de aanwezigheid van conditie TRUST en de aanwezigheid van conditie GOV] OF [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de afwezigheid van conditie sup, de aanwezigheid van conditie PROT, de afwezigheid van conditie trust en de afwezigheid van conditie gov] leiden tot de aanwezigheid van de uitkomst winst.

145 Een voorbeeld van een onmogelijke remainder is de combinatie tussen man (conditie geslacht) en zwanger (conditie zwangerschap). Mannen kunnen niet zwanger worden. Er zijn geen aan-wijzingen dat dit in de nabije toekomst wel zou kunnen. Alle combinaties met man en zwanger zijn daarom onmogelijk.

De complexe, niet-geminimaliseerde uitkomstformule bevat drie paden, waarbij vooral opvalt dat het tweede en derde oplossingspad vrij complex zijn. Het tweede pad bestaat uit een combinatie van vier van de vijf condities en in het derde pad komen zelfs alle vijf de condities voor. Om tot een meer hanteerbare oplossingsformule te komen is het nodig de remainders te identificeren die, als we aannemen dat ze de uitkomst winst produceren, het oplossingspad eenvoudiger maken. Met behulp van computersoftware zijn we in staat de spaarzame oplossing te berekenen. Om tot deze formule te komen maakt de software aannames ten opzichte van de logical remainders (Rihoux & Ragin, 2009, p. 60). De software selecteert enkel de logical remainders die zinvol zijn voor het verkrijgen van een kortere, minimale formule en voegt deze toe aan de set van geobserveerde casus. Het eindresultaat is een eenvoudiger pad in de spaarzame oplossingsformule, waardoor deze formule in zijn geheel hanteerbaarder wordt. De spaarzame oplossingsformule, inclusief

logical remainders, voor de uitkomst winst is als volgt:

M1: TURN*SUP + PROT*trust*gov + (sup*PROT*TRUST*GOV) → OUT M2: TURN*SUP + PROT*trust*gov + (TURN*PROT*TRUST*GOV) → OUT De twee formules laten zich als volgt lezen:

- Formule M1: [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie SUP] OF [de aanwezigheid van conditie PROT, gecombineerd met de afwezigheid van conditie trust en de afwezigheid van conditie gov] OF [de afwezigheid van conditie sup, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie PROT, de aanwezigheid van conditie TRUST en de aanwezigheid van conditie GOV] leiden tot de aanwezigheid van de uitkomst winst. OF

- Formule M2: [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie SUP] OF [de aanwezigheid van conditie PROT, gecombineerd met de afwezigheid van conditie trust en de afwezigheid van conditie gov] OF [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie PROT, de aanwezigheid van conditie TRUST en de aanwezigheid van conditie GOV] leiden tot de aanwezigheid van de uitkomst winst.

De spaarzame oplossingsformule bestaat niet uit één maar uit twee afzonderlijke formules. Daarmee is de oplossing niet bepaald meer spaarzaam of minder complex te noemen. Reden voor de dubbele formule is dat geen rekening is gehouden met prime implicants. Een prime

implicant is het eindproduct van het minimaliseringsproces door paarsgewijze vergelijkingen

van conjuncties (Schneider & Wagemann, 2012, p. 109). De implicants worden gescheiden door het logische OR (+)-teken. Onder bepaalde omstandigheden zijn deze prime implicants volgens de regels van de logica overbodig. Het is dan mogelijk ze te verwijderen om tot een nog eenvoudigere oplossing te komen. Naast paarsgewijze vergelijkingen geldt nog een

regel voor minimalisering van prime implicants. Deze zijn overbodig als de afzonderlijke paden erdoor worden gedekt zonder dat zij deel uitmaken van de uitkomstformule. Of zoals Schneider en Wagemann (2012, p. 109) stellen: ‘…a prime implicant is logically redundant if all of the primitive expressions are covered without it being included in the solution formula.’

Tabel 7.5 Prime implicant chart146

Primitive expressions/waarheidstabelrijen

Prime implicants TURN*sup*PROT*TRUST*GOV

sup*PROT*TRUST*GOV TURN*PROT*TRUST*GOV

Als alle expressies worden gedekt in de oplossingsformule zonder de aanwezigheid van een prime implicant, is de implicant in kwestie overbodig en kan deze worden geschrapt uit de oplossingsformule. Het algoritme in de analyse geeft aan dat de prime implicants gelijk zijn (tied). De prime implicants zijn gelijk als de een of de ander, maar niet samen, weg kan worden gehaald zonder tekort te doen aan de truth value van het oplossingspad. Dit betekent concreet dat er meer dan één oplossingsformule is voor de spaarzame oplossing. Het is onmogelijk de spaarzame oplossing verder te vereenvoudigen.

Bovenstaande formule is de kortste manier waarop we het verzamelde empirische bewijs ten aanzien van condities die een voldoende voorwaarde zijn voor de uitkomst, kunnen uitdrukken. Om tot deze formule te komen zijn door het computerprogramma tal van simplificerende assumpties gemaakt over de logical remainders. Naar alle waarschijnlijkheid komen niet alle simplificerende claims overeen met de theoretische kennis en daarmee zijn het difficult counterfactuals.147 Het is daarom verstandig voorzichtig om te springen met de informatie die in de spaarzame oplossing besloten ligt.148 Daar komt bij dat de twee

146 Tabel 7.5 laat zich als volgt lezen. Prime implicant sup*PROT*TRUST*GOV dekt de primitive

ex-pression TURN*sup*PROT*TRUST*GOV. De andere prime implicant, TURN*PROT*TRUST*GOV

dekt eveneens de primitive expression TURN*sup*PROT*TRUST*GOV. De twee prime implicants zijn dus gelijk en kunnen niet verder worden vereenvoudigd. Consequentie hiervan is dat er twee oplossingsformules voor de spaarzame oplossing zijn. De prime implicant chart is vervaar-digd met behulp van het programma fsQCA 3.0.

147 Counterfactuals zijn simplificerende assumpties die een oplossingsformule meer spaarzaam

maken. Binnen de groep simplificerende assumpties wordt een onderscheid gemaakt tussen gemakkelijke (easy) en moeilijke (difficult) counterfactuals. De easy counterfactuals zijn simplifi-cerende assumpties die zowel overeenkomen met de empirische gegevens als met bestaande theoretische kennis over het effect van individuele condities die tezamen de logical remainder vormen. Bij difficult counterfactuals gaat het om assumpties die afgestemd zijn op het empirisch materiaal, maar niet met de vermoedens op grond van de theorie (Schneider & Wagemann, 2012, p. 168).

148 Een ander gevaar dat besloten kan liggen in de spaarzame oplossingsformule is het voorkomen van tegenstrijdige simplificerende assumpties (contradictory simplifying assumptions). Deze doen

spaarzame formules een zinvolle interpretatie van de resultaten in de weg kunnen staan. Het resultaat is nog steeds behoorlijk complex.

De tussenoplossing, zoals al gepresenteerd in de vorige sectie, is in deze situatie meer geschikt als oplossingsformule. Deze oplossingsformule komt onder meer tot stand door het verwijderen van alle difficult counterfactuals en het balanceren tussen de complexe en spaarzame oplossing. Voor de totstandkoming van de tussenformule maakt het QCA-softwarepakket, net als in het geval van de spaarzame oplossingsformule, gebruik van simplificerende assumpties ten aanzien van de logical remainders (Rihoux & Ragin, 2009). Uitgangspunt is echter dat de onderzoeker voor de analyse expliciet aangeeft wat de

directional expectations zijn van condities. Met andere woorden: de onderzoeker moet

de vraag beantwoorden of de aan- of afwezigheid van iedere afzonderlijke conditie zal leiden tot de uitkomst. In deze studie moet dus voor ieder van de vijf factoren handmatig worden aangegeven of de aan- of afwezigheid van de conditie naar verwachting bepalend is voor winst. Om tot de tussenoplossing te komen coderen we iedere conditie met de waarde ‘1’ bij de directional expectations. De literatuurstudie doet ons vermoeden dat de aanwezigheid van iedere conditie bijdraagt aan winst. Het resultaat van de analyse van de directional expectations is uitgewerkt in de vorige sectie. Voor de volledigheid herhalen wij deze hieronder. Het antwoord op de vraag welke configuraties van condities leiden tot winst is als volgt:

TURN*SUP*TRUST + TURN*PROT*trust*gov + TURN*PROT*TRUST*GOV → OUT (winst)149

zich voor als dezelfde logical remainder wordt gebruikt in het minimaliseringsproces van zowel de configuraties van de aanwezigheid van de uitkomst (1) als de configuraties van de afwezigheid van de uitkomst (0). Daardoor worden tegenstrijdige assumpties gemaakt ten opzichte van de uitkomstwaarde van die logical remainder (Rihoux & Ragin, 2009, p. 136). Eventuele tegenstrij-digheden in de minimalisering van logical remainders zijn via een omweg op te lossen. Bij het gebruik van de tussenoplossing speelt dit fenomeen niet. Om tot de tussenoplossing te komen worden onderzoekers gedwongen theoretische en substantieve kennis in te zetten voor het specificeren van de richting van de logical remainders. Enkel remainders die plausibel zijn worden gebruikt (Rihoux & Ragin, 2009, p. 137).

149 Gedurende het analyse- en schrijfproces van overige hoofdstukken in dit proefschrift — en na het beëindigen van de dataverzameling en QCA-analyse — werden drie additionele gemeen-telijke raadgevende referenda in Nederlandse gemeenten georganiseerd. Een stemming vond plaats in de gemeente Haarlem, een in de gemeente Weesp en een in de gemeente Zaanstad. Op 19 juli 2017 mochten de inwoners van Haarlem zich uitspreken over een pakket van 19 maatregelen voor het moderniseren van het parkeerbeleid, waar de raad mee had ingestemd. Bij een opkomst van 18,49% stemde 83,81% van de opgekomen kiezers tegen de maatregelen. De opkomstdrempel van 30% werd niet gehaald, waardoor de uitslag ongeldig werd verklaard. Weespenaren konden zich tijdens de gemeenteraadsverkiezingen van 21 maart 2018 tegelijk uitspreken over een bestuurlijke fusie met de gemeente Gooise Meren of Amsterdam. Ruim 62,43% van de stemgerechtigden bracht een stem uit. Een meerderheid van 57,4% prefereerde aansluiting bij Amsterdam; 42,6% zag meer heil in een fusie met Gooise Meren. De

De expressie van de tussenoplossing is als volgt te lezen: [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie SUP en de aanwezigheid van conditie TRUST] OF [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie PROT, de afwezigheid van conditie trust en de afwezigheid van conditie gov] OF [de aanwezigheid van conditie TURN, gecombineerd met de aanwezigheid van conditie PROT, de aanwezigheid van conditie TRUST en de aanwezigheid van conditie GOV] leiden tot de aanwezigheid van de uitkomst winst.

Vertaald naar de betekenis van de condities drukt de tussenoplossing het volgende uit: [een relatief hoge opkomst, gecombineerd met relatief weinig politieke steun in de gemeenteraad en een relatief lage mate van institutioneel vertrouwen onder de bevolking] OF [een relatief hoge opkomst, gecombineerd met relatief veel steun voor protestpartijen onder de bevolking, een relatief hoge mate van institutioneel vertrouwen onder de bevolking en een relatief korte periode dat het college van burgemeester en wethouders bestuurt] OF [een relatief hoge opkomst, gecombineerd met relatief veel steun voor protestpartijen onder de bevolking, een relatief lage mate van institutioneel vertrouwen onder de bevolking en een relatief lange periode dat het college van burgemeester en wethouders bestuurt] leiden tot de aanwezigheid van de uitkomst winst.

7.6 QCA-analyse van noodzakelijke en voldoende condities voor niet-winst