Analyse: van R naar R

(1)

Analyse: van R naar R

ⁿ

hoorcollege

Metrische ruimten (10)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

(2)

Afstandsbegrip

Metriek

Zij S een verzameling en d : S × S → R≥0 een functie die voldoet aan

1 d (x , x ) = 0 voor alle x ∈ S en d (x , y ) > 0 als x 6= y in S .

2 d (x , y ) = d (y , x ) voor alle x , y ∈ S .

3 d (x , z) ≤ d (x , y ) + d (y , z) voor alle x , y , z ∈ S (driehoeksongelijkheid).

Dan noemen we d eenmetriekop S .

De combinatie (S , d ) noemen we een metrische ruimte.

Tot nu toe hebben we altijd gewerkt met S = R en d(x, y ) = |x − y |. We kunnen echter ook S = R² bekijken waar we voor ~x = (x₁, x₂) en ~y = (y₁, y₂) defini¨eren

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

deEuclidische metriek: afstand in het vlak. Merk op dat d (~x, ~y) = k~x − ~yk, waar k · k de Euclidische norm op R² is. Meer algemeen kunnen we op R^k defini¨eren

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(3)

Afstandsbegrip

Metriek

Dan noemen we d eenmetriekop S . De combinatie (S , d ) noemen we een metrische ruimte.

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(4)

Afstandsbegrip

Metriek

Tot nu toe hebben we altijd gewerkt met S = R en d(x, y ) = |x − y |.

We kunnen echter ook S = R² bekijken waar we voor ~x = (x₁, x₂) en ~y = (y₁, y₂) defini¨eren

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(5)

Afstandsbegrip

Metriek

Tot nu toe hebben we altijd gewerkt met S = R en d(x, y ) = |x − y |. We kunnen echter ook S = R² bekijken

waar we voor ~x = (x₁, x₂) en ~y = (y₁, y₂) defini¨eren d (~x, ~y) =

q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(6)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y)

= q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(7)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(8)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)², deEuclidische metriek

: afstand in het vlak. Merk op dat d (~x, ~y) = k~x − ~yk, waar k · k de Euclidische norm op R² is. Meer algemeen kunnen we op R^k defini¨eren

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(9)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)², deEuclidische metriek: afstand in het vlak.

Merk op dat d (~x, ~y) = k~x − ~yk, waar k · k de Euclidische norm op R² is. Meer algemeen kunnen we op R^k defini¨eren

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(10)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

deEuclidische metriek: afstand in het vlak. Merk op dat d (~x, ~y) = k~x − ~yk

, waar k · k de Euclidische norm op R² is. Meer algemeen kunnen we op R^k defini¨eren

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(11)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

deEuclidische metriek: afstand in het vlak. Merk op dat d (~x, ~y) = k~x − ~yk, waar k · k de Euclidische norm op R² is.

Meer algemeen kunnen we op R^k defini¨eren

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(12)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y)

= v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(13)

Afstandsbegrip

Metriek

d (~x, ~y) = q

(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)²,

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− y_j)².

(14)

Voorbeelden van metrieken op R

ⁿ

Metriek

Bekijk S = R^k. Voor de hand liggende metrieken:

d2(~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(x_j − y_j)²

, d1(~x, ~y) =

k

X

j =1

|x_j − y_j|, d∞(~x, ~y) = max

1≤j ≤k|x_j − y_j|. Een veel flauwere metriek is dediscrete metriek:

d (~x, ~y) =

(1 als ~x 6= ~y 0 als ~x = ~y.

(15)

Voorbeelden van metrieken op R

ⁿ

Metriek

d2(~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(x_j − y_j)², d1(~x, ~y) =

k

X

j =1

|x_j − y_j|

, d∞(~x, ~y) = max

1≤j ≤k|x_j − y_j|. Een veel flauwere metriek is dediscrete metriek:

d (~x, ~y) =

(1 als ~x 6= ~y 0 als ~x = ~y.

(16)

Voorbeelden van metrieken op R

ⁿ

Metriek

d2(~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(x_j − y_j)², d1(~x, ~y) =

k

X

j =1

|x_j − y_j|, d∞(~x, ~y) = max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

Een veel flauwere metriek is dediscrete metriek: d (~x, ~y) =

(1 als ~x 6= ~y 0 als ~x = ~y.

(17)

Voorbeelden van metrieken op R

ⁿ

Metriek

d2(~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(x_j − y_j)², d1(~x, ~y) =

k

X

j =1

|x_j − y_j|, d∞(~x, ~y) = max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

Een veel flauwere metriek is dediscrete metriek:

d (~x, ~y)

=

(1 als ~x 6= ~y 0 als ~x = ~y.

(18)

Voorbeelden van metrieken op R

ⁿ

Metriek

d2(~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(x_j − y_j)², d1(~x, ~y) =

k

X

j =1

|x_j − y_j|, d∞(~x, ~y) = max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

Een veel flauwere metriek is dediscrete metriek:

d (~x, ~y) =

(1 als ~x 6= ~y 0 als ~x = ~y.

(19)

Metrieken en convergentie: terminologie

Zij (S , d ) een metrische ruimte en (sn) een rij in S .

We zeggen dat (sn) convergeertnaar s ∈ S als limn→∞d (sn, s) = 0.

Oftewel:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat d(sn, s) < als n > N.

Evenzo zeggen we dat (s_n) Cauchy is als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat d (sn, sm) < als n, m > N.

We noemen (S , d ) volledig(Engels: complete) als elke Cauchyrij in S convergeert naar een element van S .

Bekend: R met d(x, y ) = |x − y | is volledig. De rationale getallen Q met dezelfde metriek zijn echter niet volledig.

Claim: R^k is volledig met de Euclidische metriek.

(20)

Metrieken en convergentie: terminologie

We zeggen dat (sn) convergeertnaar s ∈ S als limn→∞d (sn, s) = 0.

Oftewel:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat d(sn, s) < als n > N. Evenzo zeggen we dat (s_n) Cauchy is als

(21)

Metrieken en convergentie: terminologie

We zeggen dat (sn) convergeertnaar s ∈ S als limn→∞d (sn, s) = 0. Oftewel:

(22)

Metrieken en convergentie: terminologie

(23)

Metrieken en convergentie: terminologie

(24)

Metrieken en convergentie: terminologie

Bekend: R met d(x, y ) = |x − y | is volledig.

De rationale getallen Q met dezelfde metriek zijn echter niet volledig.

(25)

Metrieken en convergentie: terminologie

(26)

Metrieken en convergentie: terminologie

(27)

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = qP_k

j =1(x_j − y_j)².

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾ in R^k convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾ convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾ in R^k is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾ Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|.

1 Stel dat ~x⁽ⁿ⁾ Cauchy is in R^k.

Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) < , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾ is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾ Cauchy is voor elke j

en zij > 0. Er bestaat voor elke j een Nj zodat

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

< als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k).

Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) ≤√

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

Dus is ~x⁽ⁿ⁾ Cauchy.

(28)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾ in R^k convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾ convergeert.

Een rij ~x⁽ⁿ⁾ in R^k is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾ Cauchy is.

We bewijzen de tweede bewering.

Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(29)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y)

≤√ k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(30)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(31)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(32)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x⁽ⁿ⁾ Cauchy is in R^k. Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) <

, dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾ is voor elke j Cauchy in R.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(33)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x⁽ⁿ⁾ Cauchy is in R^k. Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) < , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < .

Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾ is voor elke j Cauchy in R.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(34)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x⁽ⁿ⁾ Cauchy is in R^k. Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) < , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾ is voor elke j Cauchy in R.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(35)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

< als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk).

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(36)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾ Cauchy is voor elke j en zij > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodat

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(37)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

< als n, m > Nj.

Neem nu N = max(N1, . . . , Nk).

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(38)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(39)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

< als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)

≤√ k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(40)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) ≤√ k max

1≤j ≤k

<√ k · .

(41)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) ≤√ k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(42)

Volledigheid van R

^k

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤√ k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m) ≤√ k max

1≤j ≤k

x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√

k · .

(43)

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)². Lemma 13.3

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾ een Cauchyrij in R^k.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾ een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Dus convergeert ~x⁽ⁿ⁾ in R^k (lemma).