Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Extrema in Rⁿ (21)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open.

We zeggen dat f eenlokaal maximumheeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a). Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal maximumheeft in a

als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a). Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal maximumheeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a).

Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal maximumheeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a). Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal maximumheeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a). Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

Bekijk een C²-functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal maximumheeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt f (x ) ≤ f (a). Bekend:

1 als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f⁰(a) = 0,

2 als f een maximum aanneemt in a, dan is f⁰⁰(a) ≤ 0,

3 als f⁰(a) = 0 en f⁰⁰(a) < 0, dan heeft f een maximum in a.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E .

Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.

Anders heet ~a zwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E .

Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.

Anders heet ~a zwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E .

Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.

Anders heet ~a zwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.

Anders heet ~a zwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.

Anders heet ~a zwak. Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~azwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~azwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦)

of eenrandmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema in R

We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rⁿ.

f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ).

We noemen ~a een absoluutmaximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders heet ~a relatief.

We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor

~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~azwak.

Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦) of een randmaximum (~a ∈ ∂E ) zijn.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs:

neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ

en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u).

Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0.

Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) :=

g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1).

Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is

, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a)

= 0, dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Extrema en afgeleides

Propositie 13.6

Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan

(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~uf )(~a) bestaat, dan is (D_~uf )(~a) = ~0.

(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f⁰(~a) = ~0.

Een punt met f⁰(~a) = ~0 heet eenstationair punt.

Bewijs: neem ~u ∈ Rⁿ en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met een lokaal extremum in 0. Dus

(D_~uf )(~a) := g⁰(0) = 0.

Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt f⁰(~a)~u = (D_~uf )(~a) = 0,

dus dan volgt f⁰(~a) = ~0.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie.

De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h2



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h)

= f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h2



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h2



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h2



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h₂



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h₂



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²),

waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h₂



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a)

=D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h₂



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks

Zij f : R² → R een C² functie. De Stelling van Taylor geeft f (~a + ~h) = f (~a) +

2

X

j1=1

D_j1f (~a) 1! h_j1+

2

X

j1,j2=1

D_j1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + D₁f (~a)h₁+ D₂f (~a)h₂

+ ¹₂D₁₁f (~a)h²₁+ 2D₁₂f (~a)h₁h₂+ D₂₂f (~a)h₂² + o(k~hk²)

= f (~a) +D₁f (~a) D2f (~a)h₁ h₂



+ ¹₂h₁ h₂D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D12f (~a) D22f (~a)

 h₁ h2



+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a) D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie.

Er geldt f (~a + ~h) = f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²).

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie. Er geldt f (~a + ~h)

= f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²).

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie. Er geldt f (~a + ~h) = f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²),

waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²).

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie. Er geldt f (~a + ~h) = f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd.

In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²).

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie. Er geldt f (~a + ~h) = f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>Hf(~a)~h + o(k~hk²).

Taylorreeks: meer algemeen

Zij f : Rⁿ→ R een C² functie. Er geldt f (~a + ~h) = f (~a) +

n

X

j1=1

Dj1f (~a) 1! h_j1+

n

X

j1,j2=1

Dj1j2f (~a)

2! h_j1h_j2+ o(k~hk²)

= f (~a) + f⁰(~a)~h +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²), waarbij

H_f(~a) =







D11f (~a) · · · D1nf (~a)

... ...

D_n1f (~a) · · · D_nnf (~a)







deHesse-matrixof Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een stationair punt

f (~a + ~h) = f (~a) +¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²).

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs: neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus g⁰⁰(0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat

g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs:

neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus g⁰⁰(0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat

g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs: neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus g⁰⁰(0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat

g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs: neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0.

Dus g⁰⁰(0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat

g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs: neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus g⁰⁰(0) ≥ 0.

Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Propositie 13.9

Zij f : E → Rⁿ een C² functie en ~a ∈ E^◦. Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a, dan geldt ~h^>H_f(~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rⁿ.

Bewijs: neem ~h ∈ Rⁿ en bekijk g (t) := f (~a + t~h).

Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus g⁰⁰(0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat

g⁰⁰(0) = ~h^>H_f(~a)~h.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h. Dit is continu

en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²) ≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h. Dit is continu

en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu

en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu

en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0. Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt µ := inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀)

> 0. Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.

Tweede afgeleide en extrema

Stelling 13.10

Zij f : E → R een C²-functie en ~a ∈ E^◦ met f⁰(~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt

~h^>H_f(~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Bekijk Λ : Rⁿ→ R gegeven door Λ(~h) = ~h^>H_f(~a)~h.

Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling Sⁿ⁻¹:= {~h ∈ Rⁿ: k~hk = 1}.

Dus voor zekere ~h₀ geldt µ := inf_k~hk=1Λ(~h) = Λ(~h₀) > 0.

Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu

Λ(~h)

= k~hk²

~h^>Hf(~a)~h

k~hk² = k~hk²

"

~h k~hk

#>

Hf(~a)

"

~h k~hk

#

= k~hk²Λ

~h k~hk

!

≥ µk~hk².

Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ

, dan

o(k~hk²)

< ^µ₄k~hk².

Er volgt

f (~a + ~h) − f (~a) = ¹₂~h^>H_f(~a)~h + o(k~hk²)

≥ ^µ₂k~hk²−^µ₄k~hk² > 0.