Analyse: van R naar R

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Heine-Borel (12)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft. Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is.

Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft. Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft. Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden

, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4.

We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · ·

waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft

en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞ n=1Fn

⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F .

Dan is er U0 ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀.

Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is

, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0. Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0. Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r

en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van intervallen

Propositie 13.13

Een interval F = [a, b] ⊆ R is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fnkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft. Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fn kon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = b − a voor de lengte.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F1.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F₁⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x0 ∈T∞

n=1Fn⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus Fn⊆ U₀.

Tegenspraak, want Fnkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in twee gesloten intervallen van lengte `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x₀ ∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze intervallen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x₀ ∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze cellen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in twee intervallen van lengte `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x₀ ∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze cellen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in 2^k cellen van diameter `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij intervallen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n lengte `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x₀ ∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze cellen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in 2^k cellen van diameter `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij cellen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n diameter `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies x₀ ∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat x₀ ∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze cellen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in 2^k cellen van diameter `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij cellen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n diameter `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies ~x₀∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat ~x₀∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B(x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van k-cellen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Bewijs: stel dat F niet compact is. Schrijf ` = q

Pk

j =1(b_j − a_j)² voor de diameter.

Er bestaat een open overdekking U van F die geen eindige deeloverdekking heeft.

Hak nu F in 2^k gesloten k-cellen van diameter `/2.

Minstens ´e´en van deze cellen kan niet door eindig veel elementen van U overdekt worden, zeg F₁.

Hak F1 weer op in 2^k cellen van diameter `/4. We vinden F2 ⊆ F₁ die niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Zo vinden we een rij cellen F1⊇ F₂⊇ · · · waar elke F_n diameter `/2ⁿ heeft en niet door eindig veel elementen van U overdekt kan worden.

Kies ~x₀∈T∞

n=1F_n⊆ F . Dan is er U₀ ∈ U zodat ~x₀∈ U₀. Omdat U0 open is, bestaat er r > 0 zodat B( ~x0, r ) ⊆ U0.

Maar dan geldt voor voldoende grote n dat `/2ⁿ< r en dus F_n⊆ U₀.

Tegenspraak, want F_nkon niet met eindig veel elementen van U overdekt worden.

Compactheid van gesloten verzamelingen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Gevolg

Elke gesloten en begrensde verzameling in R^k is compact. Bewijs:

Opgave

Een gesloten deelverzameling van een compacte verzameling is weer compact.

Compactheid van gesloten verzamelingen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Gevolg

Elke gesloten en begrensde verzameling in R^k is compact.

Bewijs: Opgave

Een gesloten deelverzameling van een compacte verzameling is weer compact.

Compactheid van gesloten verzamelingen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Gevolg

Elke gesloten en begrensde verzameling in R^k is compact.

Bewijs:

Opgave

Een gesloten deelverzameling van een compacte verzameling is weer compact.

Compactheid van gesloten verzamelingen

Propositie 13.13

Een k-cel F = [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × · · · × [a_k, b_k] ⊆ R^k is compact.

Gevolg

Elke gesloten en begrensde verzameling in R^k is compact.

Bewijs:

Opgave

Een gesloten deelverzameling van een compacte verzameling is weer compact.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is. Begrensdheid:

neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”

: stel dat E compact is. Begrensdheid:

neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid:

neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid:

neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}.

Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k

, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking. Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E .

Dus heeft U een eindige deeloverdekking. Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n)

= B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
. Dus E is begrensd.

Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n) = B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd. Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n) = B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd.

Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E .

Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n) = B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd.

Geslotenheid:

we moeten bewijzen dat R^k \ E open is. Kies ~x0∈ R^k\ E . Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.

Heine-Borel

Heine-Borel (Stelling 13.12)

Een deelverzameling E ⊆ R^k is compact desda E gesloten en begrensd is.

Bewijs van “⇒”: stel dat E compact is.

Begrensdheid: neem U = {B(~0, r ) : r ∈ (0, ∞)}. Dit is een open overdekking van R^k, dus zeker van E . Dus heeft U een eindige deeloverdekking.

Dan bestaan er r₁, . . . , r_n zodat E ⊆Sn

i =1B(~0, r_n) = B ~0, max(r₁, . . . , r_n)
.

Dus E is begrensd.

Geslotenheid: we moeten bewijzen dat R^k \ E open is.

Kies ~x0∈ R^k\ E . Neem V_m = {~x ∈ R^k : (~x, ~x₀) > 1/m}.

Dan is V_m open enS∞

m=1V_m= R^k\ { ~x₀}.

De V_m overdekken dus E

, dus er is N zodat E ⊆S_N

m=1V_m = V_N.

Dan geldt R^k\ E ⊇ R^k\ V_N

= B( ~x₀, 1/N)⁻.

In het bijzonder geldt B( ~x0, 1/N) ⊆ R^k \ E

, dus ~x0 is inwendig in R^k\ E .

Dit geldt voor willekeurige ~x₀, dus R^k \ E is open.