Volledigheid van R k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|. 1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk.

Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering.

Merk op dat voor elke j geldt |x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|. 1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk.

Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y)

≤^√k max

1≤j ≤k|x_j− y_j|. 1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk.

Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk.

Als d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|. 1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk.

Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< 

, dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < .

Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R. 2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N₁, . . . , N_k). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j

en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)  <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is. We bewijzen de tweede bewering. Merk op dat voor elke j geldt

|x_j − y_j| ≤ d (~x, ~y) ≤^√k max

1≤j ≤k|x_j − y_j|.

1 Stel dat ~x(n)
Cauchy is in Rk. Als d ~x(n), ~x(m)
< , dan geldt ook voor elke j dat |x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)| < . Dus de rij x_j⁽ⁿ⁾
is voor elke j Cauchy in R.

2 Stel nu dat x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is voor elke j en zij  > 0.

Er bestaat voor elke j een Nj zodatx_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m)

<  als n, m > Nj. Neem nu N = max(N1, . . . , Nk). Voor n, m > N geldt

d ~x⁽ⁿ⁾, ~x^(m)
≤^√k max 1≤j ≤k  x_j⁽ⁿ⁾− x_j^(m) <√ k · . Dus is ~x⁽ⁿ⁾
Cauchy.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet.

Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma).

Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma). Omdat R volledig is

, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R. Dus convergeert ~x⁽ⁿ⁾
in Rk (lemma).

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma).

Omdat R volledig is, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R.

Volledigheid van R

^k

We bekijken R^k met de Euclidische metriek d (~x, ~y) = q

Pk

j =1(x_j − y_j)2.

Lemma 13.3

Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk convergeert desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
convergeert. Een rij ~x⁽ⁿ⁾
in Rk is Cauchy desda voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x_j⁽ⁿ⁾
Cauchy is.

Stelling 13.4

De ruimte R^k is volledig: elke Cauchyrij heeft een limiet. Bewijs:

Zij ~x⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in Rk.

Dan is x_j⁽ⁿ⁾
een Cauchyrij in R voor alle j (lemma).

Omdat R volledig is, geldt voor elke j dat x_j⁽ⁿ⁾→ x_j voor zekere x_j ∈ R. Dus convergeert ~x⁽ⁿ⁾
in Rk (lemma).

In document Analyse: van R naar R (pagina 27-51)