Stelsels differentiaalvergelijkingen
Autonome stelsels differentiaalvergelijkingen
We gaan nu onderzoeken of en hoe we iets kunnen zeggen van de oplossingen van het autonome stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx
dt = f(x) (1)
waarbij f : D → Rn waarbij D ⊂ Rn.
Opmerking
Merk op dat we in het geval dat f(x) = A(x − x0) waarbij A een n × n matrix is met det(A) 6= 0 en n = 2 de algemene oplossing hebben bepaald. Verder kunnen we ook faseplaatjes tekenen die inzicht in de algemene oplossing geeft.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2019 1
In het vervolg nemen we aan dat n = 2 zodat (1) geschreven kan worden als:
dx dt dy dt
=
"
F (x , y ) G (x , y )
#
(2)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2019 2
Type en stabiliteit van een kritiek punt
Kwalitatieve informatie over oplossingen van een autonoom stelsel differentiaalvergelijkingen kan worden gevonden door:
vergelijkingen van banen af te leiden (dat kan soms), een faseplaatje te maken en goed te kijken,
het stelsel differentiaalvergelijkingen te lineariseren rond een kritiek punt.
Voor het vinden van vergelijkingen van banen staan ons diverse technieken ter beschikking, faseplaatjes kunnen we met Maple maken en lineariseren rond een kritiek punt kunnen we met technieken uit de Analyse.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2019 3
