Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Lorenz-attractor
Hoewel we wel wat oplosmethoden hebben voor het oplossen van (stelsels) differentiaalvergelijkingen is het analytisch oplossen daarvan meestal niet mogelijk.
Door het toepassen van een numerieke methode kunnen we een benadering vinden van de exacte oplossing van een
beginwaardeprobleem.
Vaak is het echter niet nodig de exacte of de numerieke oplossing zo’n probleem te bepalen. Men heeft genoeg aan kwalitatieve informatie, waarmee het gedrag van de oplossing(-en) van een (stelsel)
differentiaalvergelijkingen in kaart gebracht kan worden.
Autonome stelsels differentiaalvergelijkingen
We gaan nu onderzoeken of en hoe we iets kunnen zeggen van de oplossingen van het autonome stelsel differentiaalvergelijkingen
dx
dt = f(x) waarbij f : Rn→ Rn
n = 1 dx
dt = F (x ) x = x en f(x) = F (x)
n = 2
dx
dt = F (x , y ) dy
dt = G (x , y )
x =
"
x y
#
en f(x) =
"
F (x) G (x)
#
n = 3
dx
dt = F (x , y , z) dy
dt = G (x , y , z) dz
dt = H(x , y , z)
x =
x y z
en f(x) =
F (x) G (x) H(x)
Doel
1 Een kwalitatief idee krijgen van de oplossingen van een differentiaalvergelijkingen door een faselijn te tekenen of een stelsel differentiaalvergelijkingen door het fasevlak te tekenen met daarin eventueel banen.
2 Het analytisch onderbouwen van hetgeen op de faselijn of in het fasevlak zichtbaar is.
Definitie
Laat f : Rn→ Rn.
Een vector (punt) x0heet een kritiek punt of evenwichtsoplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen
dx
dt = f(x) als
f(x0) = 0
Definitie
Een kritiek punt x0van een stelsel differentiaalvergelijkingen dx
dt = f(x) heet
instabiel als er oplossingen zijn die ‘dicht bij’ x0beginnen maar daar niet blijven,
stabiel als het niet stabiel is, asymptotisch stabiel als het
stabiel is en
elke oplossing x die ‘dicht genoeg bij’ x0begint de eigenschap heeft dat lim
t→∞x(t) = x0.
Voorbeeld
Laat A een inverteerbare 2 × 2 matrix zijn. We bekijken het stelsel differentiaalvergelijkingen
dx dt = Ax
Het enige kritieke punt is 0. Dit kritieke punt is
instabiel als A een eigenwaarde r heeft met Re(r ) > 0:
instabiele knoop, instabiel zadelpunt, instabiel spiraalpunt.
stabiel als A twee complexe eigenwaarden r1en r2heeft met Re(r1) = Re(r2) = 0: stabiel centrumpunt.
asymptotisch stabiel als Re(r ) < 0 voor alle eigenwaarden r van A: asyptotisch stabiele knoop, asymptotisch stabiel
spiraalpunt.
Opgave
§9.2, opgave 7
Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx
dt = 2x − x2− xy dy
dt = 3y − 2y2− 3xy
(a) Bepaal alle kritieke punten.
(b) Gebruik een computer om een fasevlak met richtingsveld en banen te tekenen (Maple).
(c) Bepaal op basis van de plaatjes het type en de stabiliteit van de kritieke punten.
Type en stabiliteit
kritieke punten: (0, 0), (0,32), (2, 0), (−1, 3)
(a)Omgeving (0, 0) (b)Omgeving (0,32)
(c)Omgeving (2, 0) (d)Omgeving (−1, 3)
Hoe kun je controleren of hetgeen je in een faseplaatje ziet met een grote zekerheid klopt?
Door de rechterleden van de differentiaalvergelijkingen te lineariseren rond het kritieke punt dat bekeken wordt.
n = 1 Beschouw de differentiaalvergelijking dx
dt = F (x ) met kritiek punt x0. Lineariseren van F (x ) rond x0geeft:
F (x ) = F (x0) + F0(x0)(x − x0) + η(x ) zodat dx
dt = F (x0)
| {z }
=0
+ F0(x0)(x − x0) + η(x )
= F0(x0)(x − x0) + η(x )
≈ F0(x0)(x − x0) dx
dt = F0(x0)(x − x0) is nu de gelineariseerde differentiaalvergelijking.
Voorbeeld (model voor de groei van het aantal konijnen in een weiland)
Gegeven is de differentiaalvergelijking:
dx
dt = ax (1 − x
K) a, K > 0 De kritieke punten zijn x0= 0 en x0= K .
Het tekenen van een faselijn geeft dat x0= 0 een instabiele knoop is en x0= K een asymptotisch stabiele knoop.
Lineariseren rond x0= 0 geeft als differentiaalvergelijking : dx
dt = ax die ook x0= 0 als instabiele knoop heeft.
Lineariseren rond x0= K geeft als differentiaalvergelijking:
dx
dt = −a(x − K )
die ook x0= K als asymptotisch stabiele knoop heeft.
Bekijk ook eens het Maple-document dat op mijn webpagina kan worden opgehaald.
(Ga hiervoor in het menu naar Onderwijs⇒Mijn Onderwijs⇒Kwartaal 1 etc.)
n = 2
Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen
dx
dt = F (x , y ) dy
dt = G (x , y ) met kritiek punt (x0, y0).
Lineariseren van F (x , y ) en G (x , y ) rond (x0, y0) geeft:
F (x , y ) = F (x0, y0)
| {z }
=0
+∂F
∂x(x0, y0)(x −x0)+∂F
∂y(x0, y0)(y −y0)+η(x , y ) en
G (x , y ) = G (x0, y0)
| {z }
=0
+∂G
∂x(x0, y0)(x −x0)+∂G
∂y(x0, y0)(y −y0)+ζ(x , y ) zodat
dx dt dy dt
=
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
"
x − x0
y − y0
# +
"
η(x , y ) ζ(x , y )
#
≈
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
"
x − x0
y − y0
#
dx dt dy dt
=
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x (x0, y0) ∂G
∂y (x0, y0)
"
x − x0
y − y0
#
is nu het stelsel
gelineariseerde differentiaalvergelijkingen.
Met u =
"
x − x0
y − y0
#
kan dit stelsel differentiaalvergelijkingen
geschreven worden als:
du dt = Au waarbij
A =
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
§9.2, opgave 7
Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx
dt = 2x − x2− xy dy
dt = 3y − 2y2− 3xy
met als kritieke punten: (0, 0), (0,32), (2, 0)en (−1, 3) (a) Bepaal bij alle kritieke punten de gelineariseerde stelsels
differentiaalvergelijkingen.
(b) Bepaal bij alle onder(a)gevonden stelsels het type en de stabiliteit van de kritieke punten.
(c) Vergelijk de resultaten die gevonden zijn onder(c)met de eerder uitgesproken vermoedens op basis van de getekende fasevlakken met richtingsvelden en banen.
F (x , y ) = 2x − x2− xy en G (x, y ) = 3y − 2y2− 3xy dus:
∂F
∂x(x , y ) = 2 − 2x − y
∂F
∂y(x , y ) = −x
∂G
∂x(x , y ) = −3y
∂G
∂y(x , y ) = 3 − 4y − 3x
Bij (0, 0) hoort het gelineariseerde stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx dt dy dt
=
"
2 0 0 3
#
| {z }
A
"
x y
#
Omdat A als eigenwaarden 2 en 3 heeft is (0, 0) een instabiele knoop.
Bij (0,32) hoort het gelineariseerde stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx dt dy dt
=
"
1
2 0
−92 −3
#
| {z }
A
"
x y −32
#
Omdat A als eigenwaarden 12 en −3 heeft is (0,32) een instabiel zadelpunt.
Bij (2, 0) hoort het gelineariseerde stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx dt dy dt
=
"
−2 −2
0 −3
#
| {z }
A
"
x − 2 y − 0
#
Omdat A als eigenwaarden −2 en −3 heeft is (2, 0) een asymptotisch stabiele knoop.
Bij (−1, 3) hoort het gelineariseerde stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx dt dy dt
=
"
1 1
−9 −6
#
| {z }
A
"
x + 1 y − 3
#
Omdat A als eigenwaarden −5−
√ 13
2 < 0 en −5+
√ 13
2 < 0 heeft is (−1, 3) een
Bekijk ook eens het Maple-document dat op mijn webpagina kan worden opgehaald.
(Ga hiervoor in het menu naar Onderwijs⇒Mijn Onderwijs⇒Kwartaal 1 etc.)
