Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen
(homogeen)
Voorbeeld
Voorbeeld (§7.1, Opgave 22)
Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 15 oz (ounces) zout.
Onderzoeken we hoeveel zout per tijdseenheid deze twee
‘communicerende vaten’ instroomt dan vinden we:
dQ1
dt = − 1
10Q1+ 3 40Q2+3
2 dQ2
dt = 1
10Q1− 1 5Q2+ 3 met
Q1(0) = 25 Q2(0) = 15
Voorbeeld
Voorbeeld (§7.1, Opgave 17)
Beschouw een massa-veersysteem waarbij g´e´en demping optreedt maar wel op beide massa’s uitwendige krachten worden uitgeoefend.
Deze uiwendige krachten zijn gelijk aan respectievelijk F1(t) en F2(t).
Met behulp van het volgende diagram en gebruik makend van de tweede wet van Newton vinden we een stelsel tweede orde differentiaalvergelijkingen:
m1
d2x1
dt2 = −k1x1 + k2(x2− x1) + F1(t) m2
d2x2
dt2 = −k2(x2− x1) − k3x2 + F2(t)
of na herordening van de termen:
m1d2x1
dt2 = −(k1 + k2)x1+ k2x2 + F1(t) m2
d2x2
dt2 = k2x1+ −(k2 + k3)x2 + F2(t)
Van hogere orde differentiaalvergelijking naar een stelsel differentiaalvergelijkingen
Doel
Het omschrijven van een differentiaalvergelijking van de n-de orde naar een stelsel van n eerste orde differentiaalvergelijkingen.
Waarom?
Omdat we dan meer over de oplossingen kunnen zeggen.
Voorbeeld (§3.1, opgave 10)
Gegeven is het beginwaardeprobleem:
y00 + 4y0 + 3y = 0 y (0) = 3
y0(0) = −1 Hoe kunnen we dit herschrijven?
Laat u1= y en u2= y0. Dan:
u01 = y0 = u2
u02 = y00 = −3y − 4y0 = −3u1− 4u2 u1(0) = y (0) = 3
u2(0) = y0(0) = −1
⇔
u01 = u2
u02 = −3u1 − 4u2 u1(0) = 3 u2(0) = −1
Beschouw de n-de orde differentiaalvergelijking:
y(n) = F (t, y , y(1), . . . , y(n−1)) en laat u1 = y , u2 = y(1), . . . , un= y(n−1).
Dan
u10 = u2 u20 = u3
...
un0 = F (t, u1, u2, . . . , un)
Opgaven
§7.1, Opgaven 1 en 4
Schrijf de volgende differentiaalvergelijkingen als een eerste orde stelsel differentiaalvergelijkingen:
1 u00 + 3u0 + 2u = 0
2 u(4) − 3u = 0
§7.1, Opgave 5
Schrijf het volgende beginwaardeprobleem als een eerste orde stelsel differentiaalvergelijkingen met de bijbehorende beginvoorwaarden:
u00 + 2u0 + 4u = 2 cos 3t u(0) = 1
u0(0) = −2
De evenwichtsoplossingen van het stelsel differentiaalvergelijkingen bij de ‘communcerende vaten’ zijn:
dQ1
dt = − 1
10Q1+ 3 40Q2+3
2 dQ2
dt = 1
10Q1− 1 5Q2+ 3 zijn:
Q1(t) = 42 Q2(t) = 36
Als u1 = Q1− 42 en u2 = Q2− 36 dan:
du1
dt = dQ1
dt = − 1
10Q1+ 3 40Q2+3
2
= − 1
10(u1+ 42) + 3
40(u2+ 36) +3 2
= − 1
10u1 + 3
40u2 en
du2
dt = 1
10u1− 1 5u2
Hieruit volgt:
du
dt = Au waarbij A =
− 1 10
3 40 1 10 −1
5
en u =
"
u1
u2
# .
En verder:
u1(0) = Q1(0) − 42 = 25 − 42 = −17 en u2(0) = Q2(0) − 36 = 15 − 36 = −21 zodat u(0) =
"
−17
−21
#
Doel
Laat A een vierkante matrix zijn (bijvoorbeeld 2 × 2) dan willen we het lineaire stelsel differentiaalver gelijkingen:
dx dt = Ax oplossen.
Omdat de differentiaalvergelijking x0 = ax een algemene oplossing heeft van de vorm x = ertc waarbij c ∈ R proberen we als oplossing:
x(t) = ertξ
Laat x : R → Rn gegeven door x(t) = ertξ een oplossing zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx
dt = Ax.
Dan dx(t)
dt = Ax(t) voor t ∈ R ⇔ r ertξ = ertAξ voor t ∈ R ⇔
ert{Aξ − r ξ} = 0 ⇔
Aξ = r ξ ⇔
r is een eigenwaarde van A en ξ is een eigenvector van A bij deze eigenwaarde.
Wij bekijken in het vervolg alleen de situatie dat er een verzameling {ξ1, ξ2, . . . , ξn} lineair onafhankelijke, eventueel complexe,
eigenvectoren van A bestaat (Bekijk §7.8 voor andere gevallen).
De algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx
dt = Ax wordt dan gegeven door:
x = c1er1tξ1 + c2er2tξ2 + . . . + c1erntξn
=
x1(t)
z }| { er1tξ1
x2(t)
z }| { er2tξ2. . .
xn(t)
z }| { erntξn
c
z }| {
c1
c2
... cn
=
Ψ(t)
z }| {
[x1(t) x2(t) . . . xn(t)] c
Definitie
Ψ(t) wordt een fundamentaalmatrix bij het stelsel differentiaal- vergelijkingen dx
dt = Ax genoemd.
Opmerking
Voegen we aan het stelsel differentiaalvergelijkingen de beginvoorwaarden x(0) = x0toe. Dan:
x(0) = x0 Ψ(0)c = x0 [ξ1ξ2 . . . ξn] c = x0
zodat c kan worden gevonden door de laatste matrixvergelijking op te lossen.
Doelen (n = 2)
1 Een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen oplossen eventueel met daaraan beginvoorwaarden (beginwaardeprobleem)
toegevoegd.
2 Een kwalitatief idee krijgen van de oplossingen van een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen door het fasevlak te tekenen met daarin eventueel banen.
Opgave
§7.5, Opgave 15
Los het volgende beginwaardeprobleem op:
dx dt =
A
z }| {
"
5 −1 3 1
#
x en x(0) =
"
3
−1
#
Beschrijf de oplossing als t → ∞.
1 Bepaalde de eigenwaarden van A en bij deze eigenwaarden, eigenvectoren: (r1= 2, ξ1=
"
1 3
#
), (r2= 4, ξ2=
"
1 1
# ).
2 Bepaal de algemene oplossing: x = c1ertξ1 + c2er2tξ2.
3 Leg de beginvoorwaarden op: c1= −2, c2= 5.
4 Als t → ∞ dan x → c2er2tξ2.
Fasevlak
1 Teken een rechthoekig assenstelsel met x1langs de horizontale as en x2langs de verticale as (x =
"
x1
x2
# ).
2 Als x(t0) = x0dan is de bewegingsrichting vanuit x0: x0(t0) = Ax0.
Teken in x(t0) = x0een vector met richting Ax0. Deze vector geeft de bewegingsrichting aan.
Definitie
Een baan is de grafiek van een kromme x(t) (t in een interval)
Voorbeeld
dx dt =
"
1 −2 3 −4
#
x, x(0) =
"
2
−4
#
(r1= −2, ξ1=
"
2 3
#
, r2= −1, ξ2=
"
1 1
# )
(a)Fasevlak (b)Oplossingen x1en x2
Voorbeeld
dx dt =
"
2 −1 3 −2
#
x, x(0) =
"
5 6
#
(r1= 1, ξ1=
"
1 1
#
, r2= −1, ξ2=
"
1 3
# )
Voorbeeld (§7.5, opgave 6)
dx dt =
" 5
4 3 4 3 4
5 4
#
x, x(0) =
"
4
−4
#
(r1= 2, ξ1=
"
1 1
#
, r2=12, ξ2=
"
−1 1
# )
(a)Fasevlak (b)Oplossingen x1en x2
Type en stabiliteit evenwichtsoplossing
De evenwichtsoplossing 0 van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx
dt = Ax heet:
een stabiele knoop als 0 > r1> r2, een stabiel sterpunt als 0 > r1 =, r2, een zadelpunt als r1> 0 > r2,
een instabiele knoop als r1> r2> 0 en een instabiel sterpunt als r1 = r2> 0.
Opgave
Los nu het probleem van de ‘communicerende vaten’ op.
Wat kun je zeggen over het type en de stabiliteit van de evenwichtsoplossing?
