Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Voorbeeld

Onderzoeken we hoeveel zout per tijdseenheid deze twee

‘communicerende vaten’ instroomt dan vinden we:









 dQ1

dt = − 1

10Q1+ 3 40Q2+3

2 dQ₂

dt = 1

10Q1− 1 5Q2+ 3

(1)

met







Q₁(0) = 25 Q₂(0) = 15

Is y = [y1, y2]^T = [Q1, Q2]^T dan volgt met behulp van de ingevoerde notaties dat het stelsel differentiaalvergelijkingen (1) (‘communicerende vaten’) ook geschreven kan worden als:

dy

dt = Py + g

waarbij P =









− 1 10

3 40 1 10 −1

5







 , g =





 3 2 3





en y(0) =



 25 15



.

Notatie

Met R^m×n geven we verzameling van matrices met m rijen en n kolommen aan waarvan de elementen re¨eel zijn.

Definities

Een functie g : (α , β) → Rⁿ heet continu in t ∈ (α , β) als de functies g_i (i = 1, 2, . . . , n) continu zijn in t.

Een functie P : (α , β) → R^m×n heet continu in t ∈ (α , β) als de functies p_ij (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n) continu zijn in t.

Definitie

Een functie g : (α , β) → Rⁿ heet differentieerbaar op (α , β) als de functies gi (i = 1, 2, . . . , n) differentieerbaar zijn op (α , β).

Een functie P : (α , β) → R^m×n heet differentieerbaar op (α , β) als de functies pij (i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, . . . , n) differentieerbaar zijn op (α , β).

Notaties

De functie h : (α , β) → Rⁿ met als componenten dg_i

dt = g_i⁰ (i = 1, 2, . . . , n) wordt genoteerd als dg

dt of als g⁰

en de functie Q : (α , β) → R^m×n met als elementen dpij

dt = p_ij⁰ (i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, . . . , n) wordt genoteerd als dP

dt of als P⁰.

Stelling

Laten P : (α , β) → R^n×nen g : (α , β) → Rⁿcontinue functies zijn op (α , β) en x₀∈ Rⁿ, dan heeft het stelsel differentiaalvergelijkingen

dx

dt = P(t)x + g(t)

precies ´e´en oplossing x = φ(t) op (α , β) die voldoet aan x(t0) = x0.

Stelling

Laten de functies F en ∂F

∂x continu zijn op

D = { (t, x) | α < t < β, γi< xi< δi (i = 1, 2, . . . , n)} en (t0, x0) ∈ D.

Dan bestaat er een h > 0 zodat het beginwaardeprobleem





 dx

dt = F(t, x) x(t0) = x0

precies ´e´en oplossing heeft op I = (t₀− h, t₀+ h) waarbij α ≤ t0− h < t0+ h ≤ β.

In het vervolg veronderstellen we steeds dat P : (α , β) → R^n×n en g : (α , β) → Rⁿ continue functies zijn op (α , β).

Definitie

Het stelselhomogenedifferentiaalvergelijkingen bij dx

dt = P(t)x + g(t) (2)

is

dx

dt = P(t)x. (3)

Stelling

Is V de oplossingsverzameling van (2), V_h de oplossingsverzameling van (3) en x = φp(t) ´e´en oplossing van (2) dan is

V = {x = φh(t) + φp(t) | x = φh(t) ∈ Vh} de oplossingsverzameling van (2)

Opmerking

xp wordt eenparticuliere oplossingvan (2) genoemd.

We gaan eerst onderzoeken wat de structuur is van dealgemene oplossing (oplossingsverzameling) van (3).

Daarna gaan we voor eenvoudige gevallen (zoals in §7.1 beschreven)

Stelling (superpositie)

Als x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x^(k)oplossingen zijn van dx

dt = P(t)x (4)

op (α , β) dan is

c1x⁽¹⁾ + c2x⁽²⁾ + · · · + ckx^(k)

voor alle re¨ele c1, c2, . . . , ck ook een oplossing van (4) op (α , β).

Stelling

Er bestaan oplossingen x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x⁽ⁿ⁾van dx

dt = P(t)x (5)

zodat {x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), . . . , x⁽ⁿ⁾(t)} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is voor alle t ∈ (α , β).

Verder is iedere oplossing x = φ(t) van (5) te schrijven als:

φ(t) = c1x⁽¹⁾(t) + c2x⁽²⁾(t) + · · · + cnx⁽ⁿ⁾(t) voor alle t ∈ (α , β)

en zekere re¨ele constanten c1, c2, . . . , cn.

Deze stelling kan in drie stappen worden bewezen.

(Zie hiervoor Brightspace of mijn ‘homepage’)

Stap 1

Zijn x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x^(k) oplossingen van (5) en t₀∈ (α , β) dan is {x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), . . . , x^(k)(t)} een verzameling lineair

(on-)afhankelijke vectoren voor alle t ∈ (α , β) ⇐⇒

{x⁽¹⁾(t0), x⁽²⁾(t0), · · · , x^(k)(t0)} is een verzameling lineair (on-)afhankelijke vectoren.

Stap 2

Als x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾oplossingen zijn van (5) en

{x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), · · · , x⁽ⁿ⁾(t)} is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren voor alle t ∈ (α , β) dan is iedere oplossing

x = φ(t) van (5) te schrijven als:

φ(t) = c1x⁽¹⁾(t) + c2x⁽²⁾(t) + · · · + cnx⁽ⁿ⁾(t) voor zekere re¨ele constanten c1, c2, . . . , cn.

Stap 3

Er bestaan oplossingen x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x⁽ⁿ⁾van (5) zodat {x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), · · · , x⁽ⁿ⁾(t)} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is voor alle t ∈ (α , β).