Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Inhomogene lineaire stelsels

Terug naar de differentiaalvergelijking:

dx

dt = P(t)x + g(t) (1)

met als bijbehorende homogene vergelijking:

dx

dt = P(t)x (2)

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

11 december 2018 1

Stelling

Is V de oplossingsverzameling van (1), Vh de oplossings verzameling van (2) en xp ´e´en oplossing van (1) dan is

V = {x = xh + xp| xh∈ Vh}

xp heet eenparticuliere oplossingvan (1)

We laten c vari¨eren met t en onderzoeken waar c(t) aan moet voldoen wil x = φ(t) met φ(t) = Ψ(t)c(t) een oplossing zijn van (1).

Er moet gelden: φ⁰(t) = P(t)φ(t) +g(t) ⇐⇒

Ψ⁰(t)c(t) + Ψ(t)c⁰(t) = P(t)Ψ(t)c(t) + g(t) voor α < t < β.

Omdat de kolommen van Ψ oplossingen zijn van (2) is Ψ⁰(t) = P(t)Ψ(t) zodat

P(t)Ψ(t)c(t) + Ψ(t)c⁰(t) = P(t)Ψ(t)c(t) + g(t) voor α < t < β.

Waaruit volgt dat Ψ(t)c⁰(t) = g(t) voor α < t < β.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

11 december 2018 3

We lossen nu eerst de matrixvergelijking Ψ(t)c⁰(t) = g(t) op en primitiveren daarna de gevonden vector c⁰(t).

Het vinden van ´e´en primitieve,zeg cp(t), is genoeg omdat we slechts

´

e´en particuliere oplossing zoeken.

Een particuliere oplossing is nu xp = φp(t) met φp(t) = Ψ(t)cp(t) en dus is de algemene oplossing van (2): x = φ(t) met

φ(t) = Ψ(t)c + φp(t) (c ∈ Rⁿ).

Type en stabiliteit van evenwichtsoplossingen

Beschouwen we een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen dx

dt = A x of een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen

dx

dt = A(x − x⁰)

met als evenwichtsoplossingen respectievelijk 0 en x⁰ dan beschrijven de volgende tabellen voor het geval n = 2 (het aantal rijen en kolom- men van A) het type en de stabiliteit van de evenwichtsoplossingen.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

11 december 2018 5

De volgende typen kritieke punten kunnen worden onderscheiden:

Eigenwaarden A Type kritieke punt 1. r1· r2> 0 knoop

2. r₁· r₂< 0 zadelpunt r₁ = λ + i µ, r₂ = r₁

3. λ 6= 0 spiraalpunt

4. r1 = i µ, r2 = r1 centrumpunt

Onder 1., 2. r₁, r₂∈ R en onder 3., 4. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.

Opmerkingen

Ad. 1. Als r1> r2> 0 heet de knoop ook welbronen als r1< r2< 0 welput.

Ad. 1. Als r₁ = r₂en de meetkundige en algebra¨ısche multipliciteit van r1 zijn gelijk dan heet de zuivere knoop ook welsterpunt. In het andere geval heet de onzuivere knoop ook wel gedegenereerde knoop ontaarde knoopof´e´entakkig knooppunt.

Ad. 4. Als λ > 0 heet het spiraalpunt ook welbronen als λ < 0 welput.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

11 december 2018 7

Met betrekking tot de stabiliteit maken we het volgende onderscheid:

Eigenwaarden A Stabiliteit 1. r₁> r₂> 0 Instabiel

2. r1< r2< 0 Asymptotisch stabiel 3. r1< 0 < r2 Instabiel

r1 = λ + i µ, r2 = r1

4. λ > 0 Instabiel

5. λ < 0 Asymptotisch stabiel

6. r₁ = i µ, r₂ = r₁ Stabiel

Onder 1., 2., 3. r1, r2∈ R en onder 4., 5., 6. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.