Stelsels lineaire vergelijkingen

Definitie

Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:

1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix.

2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte van het eerste niet nul element in de volgende rijen.

Het eerste niet-nul van een rij heet het leidende element van die rij, ‘pivot’ of hoofdelement.

Definitie

Een matrix heeft een gereduceerde rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:

1. Het is in rij-echelon vorm.

2. Het leidende element in een rij is gelijk aan 1.

3. De kolom waarin een leidend element staat bevat verder alleen nullen.

Definitie

De volgende elementaire rijoperaties mogen op een matrix worden toegepast.

1. Twee rijen mogen worden verwisseld.

2. Een rij mag met een constante ongelijk nul worden vermenigvuldigd.

3. Een veelvoud van een rij mag bij een andere rij worden opgeteld.

Definitie

Matrices A en B heten rij-equivalent als A door het uitvoeren van een aantal elementaire rijoperaties in B kan worden overgevoerd.

Stelling

Matrices A en B zijn rij-equivalent alleen maar als ze door het toepassen van rijoperaties in dezelfde rij-echelon vorm kunnen worden overgevoerd.

Opmerkingen

Iedere matrix is rij-equivalent met matrix in rij-echelon vorm. Deze matrix is niet uniek.

Iedere matrix is rij-equivalent met een unieke matrix in gereduceerde rij-echelon vorm.

Een stelsel lineaire vergelijkingen kan nu eenvoudig worden opgelost door Gauss eliminatie toe te passen.

Gauss eliminatie

1. Bepaal bij een stelsel lineaire vergelijkingen (S) de bijbehorende aangevulde matrix [A | b].

2. Voer de aangevulde matrix [A | b] door het toepassen van elementaire rijoperaties over in een matrix [U | c] in rij-echelon vorm .

3. Los het met [U | c] corresponderende stelsel lineaire vergelijkingen, als het consistent is, op door terug- substitutie.

Definitie

Laat een matrix A rij-equivalent zijn met een matrix B in rij-echelonvorm. Dan is de rang van A gelijk aan het aantal niet nul-rijen van B.

Notatie rang(A)

Stelling (over de rang van een matrix)

Laat (S) een consistent stelsel lineaire vergelijkingen zijn in n onbekenden met co¨effici¨entenmatrix A. Dan kunnen n − rang(A) onbekenden willekeurig worden gekozen.

De methode Gauss-Jordan

1. Bepaal bij een stelsel lineaire vergelijkingen (S) de bijbehorende aangevulde matrix [A | b].

2. Voer de aangevulde matrix [A | b] door het toepassen van elementaire rijoperaties over in een matrix [U | c] in gereduceerde rij-echelon vorm .

3. Los het met [U | c] corresponderende stelsel lineaire vergelijkingen, als het consistent is, op door de basis- variabelen uit te drukken in de vrije variabelen.

Definitie

Een stelsel lineaire vergelijkingen heet homogeen als alle constante termen gelijk zijn aan 0.

Opmerking

Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft minstens

´e´en oplossing en is dus altijd consistent.

Stelling

Een homogeen stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden waarbij m < n heeft oneindig veel oplossingen.

Een vector b ∈ R^m is een lineaire combinatie van a₁, a₂, · · · , a_n∈ R^m als

b = c₁a₁ + c₂a₂ + · · · + c_na_n voor zekere c₁, c₂, · · · , c_n. Dit kan alleen als het stelsel lineaire vergelijkingen met aangevulde matrix

[ A | b ] = [ a1a2· · · a_n| b ] consistent is.

Stelling

Een stelsel lineaire vergelijkingen met aangevulde matrix [ A | b ] is consistent dan en slechts dan als b een lineaire combinatie is van de kolommen van A.

Definitie

Als S = {v₁, v₂, · · · , v_k} een verzameling vectoren is in Rⁿ dan heet de verzameling van alle lineaire combinaties van v1, v2, · · · , v_k het opspansel of ‘span’ van v1, v2, · · · , v_k. Notaties

span(S) of span(v1, v2, · · · , v_k).

Definitie

Een verzameling vectoren {v₁, v₂, · · · , v_k} heet lineair afhankelijk als er constanten c₁, c₂, · · · , c_k bestaan, niet allemaal gelijk aan 0 zodat

c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0

Een verzameling vectoren die niet lineair afhankelijk is heet lineair onafhankelijk.

Stelling

Laten v₁, v₂, · · · , v_m vectoren zijn in Rⁿ en

A = [ v₁, v₂, · · · , v_m] Dan is {v₁, v₂, · · · , v_m} een

verzameling lineair afhankelijke vectoren dan en slechts dan als het stelsel vergelijkingen met aangevulde matrix [ A | 0 ] een niet-triviale oplossing heeft.

Stelling

Elke verzameling van m vectoren in Rⁿ is lineair afhankelijk als m > n.