Electrical Engineering
I.A.M. Goddijn
TUDelft
September 1, 2010
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408
e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl
homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn of http: //aw.twi.tudelft.nl/∼goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak
Studiehandleiding Boek
David Poole : Linear Algebra (A Modern Introduction) Second Edition
ISBN-13 : 978-0-534-40596-0
ISBN-10 : 0-534-40596-7
Definitie (meetkundig)
Een vector is een lijnstuk met een grootte en een richting.
Voorbeelden Snelheid ([m/s]) Versnelling ([m/s2]) Kracht ([N ])
Een vector kan worden opgevat als een verplaatsing van een beginpunt (staart) A naar een eindpunt B (kop).
Notaties
−−→ AB
u, v, w, · · ·
Gelijkvormig of gelijk
Twee vectoren heten gelijkvormig (gelijk) als ze een gelijke richting hebben en een gelijke grootte.
Ze kunnen door een translatie (verplaatsing) in elkaar worden overgevoerd.
Notatie Als −−→
AB gelijkvormig is met −−→
CD dan gebruiken we:
−−→CD = −−→ AB
Kiezen we een oorsprong O dan is elke vector gelijkvormig met een vector die O als beginpunt heeft.
Is −−→
OC = −−→
AB dan heet−−→
OC de standaardpositie van −−→ AB.
Speciale vectoren
De vector met hetzelfde begin- en eindpunt heet de nulvector.
Notatie 0
De vector die even groot is maar tegengesteld gericht aan een vector u heet de tegengestelde van de vector u.
Notatie
−u
Het optellen van twee vectoren
Er zijn twee technieken om vectoren bij elkaar op te tellen:
De kop aan staartmethode De parallellogramconstructie Notatie
De som van twee vectoren u en v wordt genoteerd als:
u + v
De scalaire vermenigvuldiging
Als c > 0 en v is de vector met dezelfde richting als een vector u maar c maal zo lang of
c < 0 en v is de vector tegengesteld aan een vector u en −c zo lang of
c = 0 en v = 0
dan heet v de scalaire vermenigvuldiging van u met c.
Notatie
De vermenigvuldiging van een vector u met een scalar c ∈ R wordt genoteerd als:
c u.
Eigenschappen
Laten u, v en w vectoren zijn en c, d ∈ R.
Dan geldt:
a. u + v = v + u (Commutatieve eigenschap) b. (u + v) + w = u + (v + w)
(Associatieve eigenschap) c. u + 0 = u
d. u + (−u) = 0
e. c (u + v) = c u + c v (Distributieve eigenschap) f. (c + d) u = c u + d u (Distributieve eigenschap) g. c(du) = (c d) u
h. 1 u = u
Definitie
u + (−v) heet het verschil van de vectoren u en v.
Notatie u − v
Definitie
De Rn bestaat uit alle geordende n-tallen re¨ele getallen.
Notatie
Als u ∈ Rn dan u = [u1, u2, · · · , un] of
u =
u1 u2
... un
u1, u2, · · · , un heten de kentallen of componenten van u.
Opmerking
Voor n = 1, 2 en 3 heeft Rn een meetkundige interpretatie.
Definitie
Als u, v ∈ Rn en u = [u1, u2, · · · , un],
v = [v1, v2, · · · , vn] dan wordt de som van u en v gedefinieerd door:
[u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn] Notatie
u + v
Definitie
Als u ∈ Rn en c ∈ R is een scalar dan wordt de scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door:
[c u1, c u2, · · · , c un].
Notatie c u
Definitie
Een vector v heet een lineaire combinatie van de vectoren v1, v2, · · · , vn als er scalairen c1, c2, · · · , cnbestaan zodat:
v = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn.
c1, c2, · · · , cn heten de co¨effici¨enten van de lineaire combinatie.
Definitie
Als a1, a2, · · · an, b constanten zijn dan heet
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b (1) een lineaire vergelijking in de onbekenden x1, x2, · · · xn.
a1, a2, · · · an heten de co¨effici¨enten van de vergelijking en b de constante term.
Een oplossing van (1) is een vector s = [s1, s2, · · · , sn] waarvan de componenten voldoen aan (1).
Substitueren we dus x1 = s1, x2 = s2, · · · , xn= sn in (1) dan vinden we de gelijkheid a1s1 + a2s2 + · · · + ansn = b.
Definitie
De oplossingserzameling van een lineaire vergelijking is de verzameling van alle oplossingen van deze vergelijking.
Definitie
Een stelsel lineaire vergelijkingen is een eindig aantal lineaire vergelijkingen in dezelfde onbekenden.
Definitie
Een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen is een vector die oplossing is van alle vergelijkingen uit het stelsel.
Definitie
De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire verge- lijkingen is de verzameling van alle oplossingen van dit stelsel.
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft (a.) een unieke oplossing of
(b.) oneindig veel oplossingen of (c.) g´e´en oplossingen.
Definitie
Een stelsel vergelijkingen met tenminste ´e´en oplossing heet consistent anders inconsistent.
Definitie
Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben.
Als we in een lineair stelsel vergelijkingen 1. twee vergelijkingen verwisselen,
2. een vergelijking met een constante ongelijk nul vermenigvuldigen,
3. een veelvoud van ´e´en vergelijking bij een andere optellen dan krijgen we een equivalent stelsel vergelijkingen.
Deze operaties willen we natuurlijk zo inzetten dat we de oplossingsverzameling van ons oorspronkelijke stelsel eenvoudig kunnen bepalen.
Bij elk stelsel lineaire vergelijkingen hoort een aangevulde matrix en omgekeerd. De aangevulde matrix bij
a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2+ · · · + amnxn = bm
(2)
is
a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2
... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm
Ook hoort bij een stelsel lineaire vergelijkingen een co¨effici¨entenmatrix. De co¨effici¨entenmatrix bij (2) is
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... ... am1 am2 · · · amn
Notaties
A voor de co¨effici¨entenmatrix en [A | b] voor de aangevulde matrix bij (2).
De drie operaties die een stelsel lineaire vergelijkingen omzetten in een equivalent stelsel corresponderen met drie elementaire rijoperaties toegepast op de bijbehorende aangevulde matrix.
Laat (S) een stelsel van m vergelijkingen zijn en 1 ≤ i, j ≤ m.
We geven de i-de en j-de rij van de aangevulde matrix [A | b] bij (S) aan met Ri en Rj.
1. Het verwisselen van de i-de en j-de vergelijking correspondeert met het verwisselen van Ri en Rj. 2. Het vermenigvuldigen van de i-de vergelijking met een
factor k 6= 0 correspondeert met het vermenigvuldigen van Ri met een factor k 6= 0.
3. Het optellen van k maal de j-de vergelijking bij de i-de vergelijking correspondeert met het optellen van k Rj
bij Ri.
Definitie
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:
1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix.
2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte van het eerste niet nul element in de volgende rijen.
Het eerste niet-nul van een rij heet het leidende element van die rij, ‘pivot’ of hoofdelement.
Definitie
Een matrix heeft een gereduceerde rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:
1. Het is in rij-echelon vorm.
2. Het leidende element in een rij is gelijk aan 1.
3. De kolom waarin een leidend element staat bevat verder alleen nullen.
Definitie
De volgende elementaire rijoperaties mogen op een matrix worden toegepast.
1. Twee rijen mogen worden verwisseld.
2. Een rij mag met een constante ongelijk nul worden vermenigvuldigd.
3. Een veelvoud van een rij mag bij een andere rij worden opgeteld.
