De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire vergelijkingen

De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire

vergelijkingen

Definities

Een stelsel lineaire vergelijkingen heet homogeen als alle bekende termen gelijk zijn aan 0 en anders inhomogeen.

Als a1, a2, · · · , an en b ∈ R^m gegeven zijn dan heet de vectorvergelijking x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_na_n = b homogeen als b = 0 en anders inhomogeen.

Als A een m × n matrix is dan heet de matrixvergeljking Ax = b homogeen als b = 0 en anders inhomogeen.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

17 februari 2014 1

Laat A een m × n matrix zijn. De homogene matrixvergelijking Ax = 0 heeft alleen een niet-triviale oplossing als het

bijbehorende stelsel vergelijkingen een vrije variabele heeft.

Laat A een m × n matrix zijn en b ∈ R^m.

Als S de oplossingsverzameling is van Ax = 0 en p is ´e´en oplossing van de matrixvergelijking Ax = b dan is

{x = u + p | u ∈ S} de oplossingsverzameling van de

Definitie

p heet een particuliere oplossing van de matrixvergelijking Ax = b.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

17 februari 2014 3

Lineaire (on-)afhankelijkheid

Definitie

Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} heet lineair afhankelijk als er constanten c₁, c₂, · · · , c_p bestaan, niet allemaal gelijk aan 0 zodat

c1v1 + c2v2 + · · · + cpvp = 0

Een verzameling vectoren die niet lineair afhankelijk is heet lineair onafhankelijk.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

17 februari 2014 1

c1v1 + c2v2 + · · · + cpvp = 0 alleen maar als c1 = c2 = . . . = cp = 0.

Opmerkingen

1. Een verzameling vectoren {v₁, v₂, · · · , v_p} is lineair afhankelijk als de vectorvergelijking

x1v1 + x2v2 + · · · + xpvp = 0 oneindig veel oplossingen heeft.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

17 februari 2014 3

vectorvergelijking

x₁v₁ + x₂v₂ + · · · + x_pv_p = 0 alleen x = 0 als oplossing heeft.

2. Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} is zeker lineair afhankelijk zij de nulvector bevat.

3. Een verzameling vectoren {v₁, v₂, · · · , v_p} in Rⁿ is zeker