De oplossingsverzameling van stelsels lineaire vergelijkingen
Lineaire (on-)afhankelijkheid van een verza-
meling vectoren
(In-)homogene stelsels lineaire vergelijkngen
Definitie
Een stelsel lineaire vergelijkingen met corresponderende matrix- vergelijking Ax = b heet homogeen als b = 0 en anders inhomogeen.
Opmerking
Een homogeen stelsel vergelijkingen is altijd consistent omdat x = 0 altijd een oplossing is.
Deze oplossing noemen we een triviale oplossing.
Andere oplossingen noemen we niet-triviaal.
Stelling
Een stelsel lineaire vergelijkingen met corresponderende
matrixvergelijking Ax = 0 heeft niet-triviale oplossingen alleen maar als het stelsel tenminste ´e´en vrije variabele heeft (de matrix A tenminste ´e´en kolom heeft die geen pivotkolom is).
Opgave
§1.5, opgave 1
Onderzoek of het volgende stelsel vergelijkingen niet-triviale oplossingen heeft.
2x1− 5x2+ 8x3= 0
−2x1− 7x2+ x3= 0 4x1+ 2x2+ 7x3= 0
2 −5 8 0
−2 −7 1 0 4 2 7 0
∼
2 −5 8 0 0 −12 9 0 0 12 −9 0
∼
2 −5 8 0 0 −12 9 0
0 0 0 0
x1 en x2zijn basisvariabelen en x3 is vrije variabele dus heeft het stelsel vergelijkingen niet-triviale oplossingen.
Anders gezegd: de co¨effici¨entenmatrix van het stelsel vergelijkingen heeft een kolom die geen pivotkolom is dus heeft het stelsel vergelijkingen niet-triviale oplossingen.
Voorbeeld
We willen van het volgende stelsel vergelijkingen alle oplossingen bepalen.
3x1+ 4x2− 5x3= 0
−3x1− 2x2+ x3= 0 6x1+ x2+ 4x3= 0
3 4 −5 0
−3 −2 1 0
6 1 4 0
∼
3 4 −5 0 0 2 −4 0 0 −7 14 0
∼
3 4 −5 0 0 1 −2 0 0 1 −2 0
∼
3 4 −5 0 0 1 −2 0 0 0 0 0
∼
3 4 −5 0 0 1 −2 0 0 0 0 0
∼
3 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 0
∼
1 0 1 0 0 1 −2 0 0 0 0 0
x1 en x2zijn basisvariabelen en x3 is vrije variabele.
Als x3= t (t ∈ R) dan x1= −t en x2= 2t.
In vectorvorm:
x = t
−1 2 1
(t ∈ R)
Merk op dat de oplossingsverzameling een lijn door 0 voorstelt in de ruimte.
Opgave
§1.5, opgave 5
Schrijf de algemene oplossing van het volgende stelsel in vectorvorm.
x1+ 3x2+ x3= 0
−4x1− 9x2+ 2x3= 0
− 3x2− 6x3= 0
1 3 1 0
−4 −9 2 0 0 −3 −6 0
∼
1 3 1 0
0 3 6 0
0 −3 −6 0
∼
1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0
∼
1 3 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0
1 3 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0
∼
1 0 −5 0 0 1 2 0 0 0 0 0
x1 en x2zijn basisvariabelen en x3 is vrije variabele.
Als x3= t (t ∈ R) dan x1= 5t en x2= −2t.
In vectorvorm:
x = t
5
−2 1
(t ∈ R)
Voorbeeld
We willen van het volgende stelsel vergelijkingen alle oplossingen bepalen. We doen dit tegelijk met het bijbehorende homogene stelsel vergelijkingen.
3x1+ 4x2− 5x3= 1
−3x1− 2x2+ x3= 1 6x1+ x2+ 4x3= −5
3 4 −5 0 1
−3 −2 1 0 1
6 1 4 0 −5
∼
3 4 −5 0 1
0 2 −4 0 2
0 −7 14 0 −7
∼
3 4 −5 0 1 0 1 −2 0 1 0 1 −2 0 1
∼
3 4 −5 0 1 0 1 −2 0 1 0 0 0 0 0
∼
3 4 −5 0 1 0 1 −2 0 1 0 0 0 0 0
∼
3 0 3 0 −3 0 1 −2 0 1
0 0 0 0 0
∼
1 0 1 0 −1 0 1 −2 0 1
0 0 0 0 0
x1 en x2zijn basisvariabelen en x3 is vrije variabele.
Als x3= t (t ∈ R) dan x1= −1 − t en x2= 1 + 2t.
In vectorvorm:
x =
−1 1 0
| {z }
p
+ t
−1 2 1
| {z }
v
(t ∈ R)
x = p + tv (t ∈ R)
Stelling
Gegeven is een consistente matrixvergelijking Ax = b waarbij A een m × n matrix is. Dan heeft de oplossingsverzameling de volgende structuur:
x = p + t1v1 + t2v2 + . . . + tkvk
waarbij het aantal niet-pivotkolommen van A gelijk is aan k.
Definitie
De vector p in bovenstaande formule heet een particuliere oplossing van de matrixvergelijking Ax = b.
Opmerking
x = t1v1 + t2v2 + . . . + tkvk
is de oplossingsverzameling van de homogene matrixvergelijking Ax = 0.
Tenslotte: kijk nog eens naar de volgende video.
Lineaire (on-)afhankelijkheid
Definitie
Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} heet lineair afhankelijk als er constanten c1, c2, · · · , cp bestaan, niet allemaal gelijk aan 0, zodat
c1v1 + c2v2 + · · · + cpvp = 0
Een verzameling vectoren die niet lineair afhankelijk is heet lineair onafhankelijk.
De vraag of een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} lineair afhankelijk of onafhankelijk is komt dus neer op de vraag of de vectorvergelijking:
x1v1 + x2v2 + · · · + xpvp = 0 wel of geen niet-triviale oplossingen heeft.
Voorbeeld (Lineair afhankelijk of niet?)
In het linker plaatje zijn {u, v},{u, w} en {v, w} verzamelingen lineair onafhankelijke vectoren maar {u, v, w} een verzameling lineair afhankelijke vectoren.
In het rechter plaatje bestaan al deze verzamelingen uit lineair onafhankelijke vectoren.
Voorbeeld (Lineair afhankelijk of niet?)
In het linker plaatje zijn {u, v},{u, w} en {v, w} verzamelingen lineair onafhankelijke vectoren maar {u, v, w} een verzameling lineair afhankelijke vectoren.
In het rechter plaatje bestaan al deze verzamelingen uit lineair onafhankelijke vectoren.
Opgave
§1.7, opgave 1
Onderzoek of de volgende vectoren lineair afhankelijk of onafhankelijk zijn. Beargumenteer je antwoord.
5 0 0
,
7 2
−6
,
9 4
−8
5 7 9 0
0 2 4 0
0 −6 −8 0
∼
5 7 9 0 0 2 4 0 0 0 4 0
Het aantal pivotkolommen is gelijk aan het aantal vectoren dus zijn de gegeven vectoren lineair onafhankelijk.
Opgave
§1.7, opgave 2
Onderzoek of de volgende vectoren lineair afhankelijk of onafhankelijk zijn. Beargumenteer uw antwoord.
0 0 2
,
0 5
−8
,
−3 4 1
0 0 −3 0
0 5 4 0
2 −8 1 0
∼
2 −8 1 0
0 5 4 0
0 0 −3 0
Het aantal pivotkolommen is gelijk aan het aantal vectoren dus zijn de gegeven vectoren lineair onafhankelijk.
Stelling
Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} (p ≥ 2) is alleen maar lineair afhankelijk als tenminste ´e´en vector uit deze verzameling te schrijven is als lineaire combinatie van de anderen.
Stelling
Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} in Rnis linair afhankelijk als p > n.
Stelling
Een verzameling vectoren {v1, v2, · · · , vp} die de nulvector bevat is lineair afhankelijk.
Opgave
§1.7, opgave 9
Voor welke waarde(n) van h is v3∈ Span{v1, v2}?
En voor welke waarde(n) van h is {v1, v2, v3} een verzameling lineair afhankelijke vectoren?
Hierbij v1=
1
−3 2
, v2=
−3 9
−6
, v3=
5
−7 h
1 −3 5 0
−3 9 −7 0 2 −6 h 0
∼
1 −3 5 0
0 0 8 0
0 0 h − 10 0
∼
1 −3 5 0
0 0 1 0
0 0 h − 10 0
∼
1 −3 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0
∼
1 −3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
x1 en x3zijn basisvariabelen en x2 is vrije variabele.
Als x2= t (t ∈ R) dan x1= 3t en x3= 0.
3tv1 + tv2 + 0v3 = 0 (t ∈ R) dus:
voor geen enkele waarde van h is v3∈ Span{v1, v2} en voor alle waarden van h is {v1, v2, v3} een verzameling lineair afhankelijke vectoren.
