Dimensie van een deelruimte en rang van een
matrix
Definitie (Herinnering)
Een basis voor een deelruimte H van Rnis een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant.
Notatie
Een basis van een deelruimte wordt vaak, ter afkorting, weergegeven door een ‘sierletter’ bijvoorbeeld B.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 1
Met deze notatie kan de definitie van basis ook als volgt worden geformuleerd:
Definitie
Een basis voor een deelruimte H van Rnis een verzameling vectoren B met de volgende eigenschappen:
1. B is lineair onafhankelijk en 2. H = Span(B).
Vraag
Wat is een basis voor R2, R3? En Rn?
De n eenheidsvectoren in Rn vormen een basis voor Rn. Dus: B = {e1, e2, . . . , en} is een basis voor Rn
Vraag
Heeft een deelruimte H van Rn maar ´e´en basis?
Nee, kijk maar eens naar dit plaatje. B1= {e1, e2} is een basis voor R2 maar B2= {b1, b2} ook.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 3
En, kijk maar eens naar dit plaatje waarin twee bases van R3 zijn getekend (paars en rood).
Vraag
Hoeveel vectoren heeft een basis van R2? En van R3?
Stel H is een lijn door 0 in het platte vlak of de ruimte. Hoeveel vectoren bevat een basis van H?
Dezelfde vraag wanneer H een vlak is door 0 in de ruimte.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 5
Stelling
Als H een deelruimte is van Rn dan bevat elke basis van H evenveel vectoren.
Gevolg
Een basis van H bevat ten hoogste n vectoren.
Definitie
Als H een deelruimte is van Rn dan heet het aantal vectoren in een basis van H, de dimensie van H.
{0} is de enige deelruimte van Rnzonder basis. De afspraak dat de dimensie van H gelijk is aan 0.
Notatie
dim(H)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 7
Stelling
Laat H een deelruimte zijn van Rn met basis B = {v1, v2, . . . , vp}.
Dan is iedere x ∈ H op precies ´e´en manier te schrijven als lineaire combinatie van v1, v2, . . . , vp.
Bewijs.
Laat x een vector zijn in H.
Omdat H = Span(B) bestaan er scalairen c1, c2, . . . , cpzodat x = c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp
Stel dat er ook nog scalairen d1, d2, . . . , dpbestaan zodat x = d1v1+ d2v2+ . . . + dpvp
.
Bewijs.
Dan x = c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp= d1v1+ d2v2+ . . . + dpvp. Maar dan
(c1− d1)v1+ (c2− d2)v2+ . . . + (cp− dp)vp= 0
Omdat B een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is kan dit alleen wanneer c1− d1= 0, c2− d2= 0, . . . , cp− dp= 0 zodat
c1= d1, c2= d2, . . . , cp= dp.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 9
Definitie
Laat H een deelruimte zijn van Rn met basis B = {v1, v2, . . . , vp}.
Bij x ∈ H bestaan ´e´enduidig bepaalde scalairen c1, c2, . . . , cp zodat x = c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp.
c1, c2, . . . , cp heten de co¨ordinaten of kentallen van x ten opzichte van de basis B.
De vector
c1
c2 ... cp
heet de co¨ordinaatvector van x ten op zichte van B.
Deze vector (in Rp!) wordt genoteerd als [x]B
Opgave
§2.9, opgave 3
Laat b1=
"
1
−4
# , b2=
"
−2 7
# en x =
"
−3 7
# .
B = {b1, b2} is een basis voor R2.
Bepaal de co¨ordinaatvector van x ten opzichte van B.
x = c1b1+ c2b2 ⇔ x = [b1b2]
| {z }
A
c waarbij c =
"
c1
c2
#
Oplossen van deze matrixvergelijking Ac = x geeft [x]B= c =
"
7 5
# .
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 11
Voorbeeld (§2.9, opgave 8)
Laat b1=
"
0 2
# , b2=
"
2 1
# , x =
"
−2 3
# ,y =
"
2 4
# en
z =
"
−1
−2.5
# .
Lees [x]B, [y]B en [z]B af uit het plaatje. Controleer de antwoorden!
Opgaven
§2.8, opgave 25
Hieronder staan A en een echelonmatrix bij A.
1 4 8 −3 −7
−1 2 7 3 4
−2 2 9 5 5
3 6 9 −5 −2
∼
1 4 8 0 5
0 2 5 0 −1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
Bepaal een basis voor Col(A) en Nul(A).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 13
Een echelonmatrix bij de matrix A is al gegeven. Met een klein beetje moeite kan daar een gereduceerde echelonmatrix van worden gemaakt.
1 4 8 −3 −7
−1 2 7 3 4
−2 2 9 5 5
3 6 9 −5 −2
∼
1 4 8 0 5
0 2 5 0 −1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
∼
1 0 −2 0 7
0 2 5 0 −1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
∼
1 0 −2 0 7
0 1 52 0 −12
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
Voor elk van deze matrices geldt:
‘derde kolom = -2 (eerste kolom) + 52 (tweede kolom)’ en
‘vijfde kolom = 7 (eerste kolom) − 12 (tweede kolom) + 4 (vierde kolom)’.
Rij-operaties be¨ınvloeden de relaties tussen de kolommen niet.
De matrix
1 0 −2 0 7
0 1 52 0 −12
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
maakt duidelijk dat elke vector in
de kolomruimte niet alleen een lineaire combinatie is van de vijf kolommen maar ook een lineaire combinatie van de eerste, tweede en vierde, die lineair onafhankelijk zijn. En dus is B = {a1, a2, a4} een basis voor Col(A) en dim(Col(A)) = 3.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 15
De gereduceerde echelonmatrix
1 0 −2 0 7
0 1 52 0 −12
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
geeft ook dat
wanneer Nul(A) moet worden bepaald x3en x5vrije variabelen zijn en dat
Nul(A) =
x1
x2
x3
x4
x5
= t
2
−52 1 0 0
| {z }
b1
+s
−7
1 2
0
−4 1
| {z }
b2
| (t, s ∈ R)
Omdat C = {b1, b2} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is moet C een basis zijn voor Nul(A) en dus is dim(Nul(A)) = 2
Merk op dat dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = 5 .
Opgaven
§2.9, opgave 9
Hieronder staan A en een echelonmatrix bij A.
1 −3 2 −4
−3 9 −1 5
2 −6 4 −3
−4 12 2 7
∼
1 −3 2 −4
0 0 5 −7
0 0 0 5
0 0 0 0
Bepaal een basis voor Col(A) en Nul(A) evenals hun dimensies.
Tip: Kijk eens naar het laatste voorbeeld.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 17
§2.9, opgave 13
Gegeven zijn de vectoren
1
−3 2
−4
,
−3 9
−6 12
,
2
−1 4 2
en
−4 5
−3 7
.
Bepaal een basis van de deelruimte die deze vectoren opspannen.
Wat is de dimensie van deze deelruimte?
Tip: Laat de gegeven vectoren kolommen zijn van een matrix A. Dan is de deelruimte opgespannen door deze vectoren Col(A).
Definitie
De rang van een m × n matrix A is gelijk aan dim(Col(A)) en wordt genoteerd als rank(A) of rang(A)
Stelling
Als A een m × n matrix is dan
dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = n of
rank(A) + dim(Nul(A)) = n
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2016 19
Voorbeeld
Gegeven is een homogeen stelsel van 40 lineaire vergelijkingen in 42 onbekenden dat geschreven kan worden als Ax = 0.
Veronderstel dat de algemene oplossing een lineaire combinatie is van twee lineair onafhankelijke oplossingen.
Toon aan dat het inhomogene stelsel vergelijkingen dat geschreven kan worden als Ax = b voor elke b consistent is.
