Polynomiale vergelijkingen
p(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 waarbij a0, a1, · · · , an−1, an∈ C, an6= 0
heet een polynoom vangraad n met complexeco¨effici¨enten.
Wat is er bekend over de nulpunten van dit polynoom ? Anders gezegd:
Wat is er bekend over de oplossingen ofwortels van de polynomiale vergelijking p(z) = 0 ?
Hoofdstelling van de algebra
Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 dan heeft p minstens ´e´en nulpunt α1 ∈ C.
Stelling
Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 en α1 is een nulpunt van p dan bestaat er een polynoom q van de graad n − 1 zodat p(z) = (z − α1)q(z).
Herhaalde toepassing van deze stelling geeft : p(z) = c(z − α1)(z − α2) · · · (z − αn) voor zekere c, α1, α2, · · · , αn∈ C, c 6= 0.
Partieel breuksplitsen
Als p een polynoom is met re¨ele co¨effici¨enten en α is een nulpunt van dit polynoom dan is α ook een nulpunt van dit polynoom.
(z − α)(z − α) = z2 + 2Reα z + |α|2 en dus
p(z) = (z2 − 2Reα z + |α|2) · q(z) waarbij q een polynoom is van de graad n − 2 met re¨ele co¨effici¨enten.
Ieder polynoom met re¨ele co¨effici¨enten kan ontbonden worden in lineaire en kwadratische factoren met re¨ele co¨effici¨enten.
Op het voorgaande is het idee van breuksplitsing gebaseerd.
Waar gaat het dan om ?
Appendices A, B en C
De representatie van re¨ele getallen.
Het oplossen van (on-)gelijkheden.
De absolute waarde van een getal.
Eerste en tweede graads vergelijkingen en hun meetkundige interpretaties.
De representatie van re¨ ele getallen
Ieder rationaalgetal is te schrijven als een repeterende breuk.
1
8 = 0.1250 1
3 = 0.3
Ieder irrationaalgetal is niet te schrijven als een repeterende breuk.
√3 = 1.732050807568877293527446341505872366943 · · ·
√3 ≈ 1.7321
De representatie van re¨ ele getallen
Ieder rationaalgetal is te schrijven als een repeterende breuk.
1
8 = 0.1250 1
3 = 0.3
Ieder irrationaalgetal is niet te schrijven als een repeterende breuk.
√3 = 1.732050807568877293527446341505872366943 · · ·
√3 ≈ 1.7321
Het noteren van verzamelingen
A = {x ∈ N | 1 < x ≤ 4} = {2, 3, 4}
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} of
ha, bi = {x ∈ R | a < x < b} (Open interval)
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (Gesloten interval)
[a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x} of
[a, →i = {x ∈ R | a ≤ x} (Halfopen interval)
Rekenregels voor ongelijkheden
Laten a, b, c, d ∈ R.
Als a < b dan a + c < b + c.
Als a < b en c < d dan a + c < b + d.
Als a < b en c > 0 dan a c < b c.
Als a < b en c < 0 dan a c > b c.
Als 0 < a < b dan 1 a > 1
b.
De absolute waarde van een getal
Definitie
De absolute waarde van een ree¨el getal is het getal zonder zijn teken.
|a| =
( a als a ≥ 0
−a als a < 0
|a| = sign(a) · a waarbij
sign(a) =
1 als a > 0 0 als a = 0
−1 als a < 0
Eigenschappen
|a| = √
a2 voor alle a ∈ R.
|a b| = |a||b|.
a b = |a|
|b| voor alle a, b ∈ R, b 6= 0.
|an| = |a|n voor alle a ∈ R\{0} en n ∈ Z\{0}.
|a + b| ≤ |a| + |b| voor alle a, b ∈ R.
(De driehoeksongelijkheid)
