Vergelijkingen van cirkels en lijnen
Rechthoekig co¨ordinatenstelsel !
Cartesisch co¨ordinatenstelsel !
Vergelijkingen van cirkels
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 is dus een vergelijking van de cirkel.
Vergelijkingen van lijnen
m = tan α = y − b x − a
voor alle punten (x, y) op de lijn.
y − b = m · (x − a) is dus een vergelijking van de lijn .
Twee lijnen met vergelijkingen ( y − b = m1 · (x − a)
y − b = m2 · (x − a) snijden elkaar loodrecht
onder een hoek π 2
als m1 · m2 = −1
Kwadratische vergelijkingen
De ellips.
De hyperbool.
De parabool
Vergelijking van een ellips
Een ellips is de verzameling punten met de eigenschap dat de som van de afstanden tot twee verschillende punten F1 en F2 (de brandpunten) constant is (2a).
Als A1, F1, F2 en A2 als co¨ordinaten
(−a, 0), (−c, 0), (c, 0) en (a, 0) hebben en (0, b) is het snijpunt van de ellips met de positieve y-as dan is b2 = a2 − c2 en heeft de ellips als vergelijking x2
a2 + y2 b2 = 1.
Vergelijking van een hyperbool
Een hyperbool is de verzameling ling punten met de eigenschap dat het verschil van de
afstanden tot twee verschil- lende punten F1 en F2
(de brandpunten) constant is (2a).
Als A1, F1, F2 en A2 als co¨ordinaten
(−a, 0), (−c, 0), (c, 0) en (a, 0) hebben en b2 = c2 − a2 dan heeft de hyperbool als vergelijking x2
a2 − y2 b2 = 1.
Vergelijking van een parabool
Een parabool is de verzameling punten met de eigenschap dat de afstand tot een gegeven punt F (het brandpunt) gelijk is aan de afstand tot
een gegeven lijn (de richtlijn).
Als A en F als co¨ordinaten (−p
2, 0) en (p
2, 0) hebben
dan heeft de parabool als vergelijking y2 = 2p x.
De hyperbool heeft als asymptoten y = ±b ax.
0 < e < 1 voor de ellips, e > 1 voor de hyperbool en e = 1 voor de parabool.
De hyperbool heeft als asymptoten y = ±b ax.
Deexcentriciteite is gelijk aan de afstand van Fi tot O gedeeld door de afstand van Ai tot O.
(De index i is hierbij afwezig of gelijk aan 1 of 2.) Er geldt dus
0 < e < 1 voor de ellips, e > 1 voor de hyperbool en e = 1 voor de parabool.
Als niet (0, 0) maar (h, k) de top is van de parabool en het centrum van de ellips en de hyperbool dan worden hun vergelijkingen
(y − k)2 = 2p (x − h) (x − h)2
a2 + (y − k)2 b2 = 1 (x − h)2
a2 − (y − k)2 b2 = 1
Functies
A, B zijn verzamelingen.
Een functie van A naar B voegt aan elk element van A precies
´e´en element van B toe.
Zo’n functie wordt meestal gegeven door eenvoorschriftf .
A heet hetdomein, B heet hetcodomein,
{f (x) | x ∈ A} ⊂ B heet hetbereiken
{(x, f (x)) | x ∈ A} heet degrafiekvan de functie.
Manieren om een functie te representeren
Verbaal (d.m.v. woorden) Numeriek (d.m.v. een tabel)
Visueel (d.m.v. een diagram of een tekening van de grafiek) Algebra¨ısch (d.m.v. een functievoorschrift)
Vertikale lijntest
Een kromme in het platte vlak is de grafiek van een functie als elke vertikale lijn deze grafiek ten hoogste ´e´en keer snijdt.
Een functie f heet stuksgewijs gedefinieerd als een voorschrift op disjuncte delen van het domein van f verschillend is.
Even en oneven functies
Laat het domein van een functie f een symmetrisch interval I rond 0 zijn.
Dan heet f
( even als f (−x) = f (x)
oneven als f (−x) = −f (x) voor alle x ∈ I.
