7EJI=C 1IJ=FJAJI )=OIA  '

Uitslag Instaptoets Analyse (2009-2010)

1 d 12 c

2 b 13 b

3 c 14 c

4 a 15 a

5 d 16 a

6 b 17 b

7 b 18 d

8 c 19 d

9 c 20 a

10 a 21 a

11 d 22 c

September 11, 2009 2

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Stelling (formule) van de Moivre

Abraham de Moivre (1667-1754) Uit de eigenschappen van modulus en argument volgt:

(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙)^𝑛 = cos(𝑛𝜙) + 𝑖 sin(𝑛𝜙) voor alle hoeken 𝜙 ∈ ℝ en 𝑛 ∈ ℤ.

September 4, 2009 3

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Formule van Euler

Leonard Euler (1707-1783) Definitie

𝑒^𝑖𝜙 = cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙 Eigenschappen

𝑒^𝑖𝜙 = 𝑒^𝑖𝜃

⇔ 𝜙 = 𝜃 + 2𝜋𝑘 (𝑘 ∈ ℤ).

𝑒^𝑖𝜙  = 1.

𝑒^𝑖𝜙 ⋅ 𝑒^𝑖𝜃 = 𝑒^{𝑖(𝜙 + 𝜃)}.

(𝑒^𝑖𝜙)^𝑛 = 𝑒^𝑖𝑛𝜙 voor alle 𝑛 ∈ ℤ.

September 4, 2009 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Er zijn dus drie verschillende schrijfwijzen voor een complex getal 𝑧.

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) met 𝑟 = ∣𝑧∣ en 𝜙 = arg 𝑧 ( mod 2𝜋) 𝑧 = 𝑟𝑒^𝑖𝜙 met 𝑟 = ∣𝑧∣ en 𝜙 = arg 𝑧 ( mod 2𝜋)

September 4, 2009 5

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Tenslotte defini¨eren we 𝑒^𝑧 door :

𝑒^𝑧 = 𝑒^𝑎 ⋅ 𝑒^𝑖𝑏 voor 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

Eigenschappen

𝑒⁰ = 1.

∣𝑒^𝑧∣ = 𝑒^𝑎 en arg(𝑒^𝑧) = 𝑏 ( mod 2𝜋) voor alle 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

𝑒^𝑧 = 𝑒^𝑤

⇔ 𝑧 = 𝑤 + 2𝑘𝜋𝑖 voor zekere 𝑘 ∈ ℤ.

𝑒^𝑧 ⋅ 𝑒^𝑤 = 𝑒^𝑧+𝑤 voor alle 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ.

September 4, 2009 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Het oplossen van vergelijkingen

Binomiale vergelijkingen

𝑧^𝑛 = 𝑐 waarbij 𝑐 ∈ ℂ en 𝑛 ∈ ℕ∖{0}.

Exponenti¨ele vergelijkingen 𝑒^𝑧 = 𝑐 waarbij 𝑐 ∈ ℂ∖{0}.

Polynomiale vergelijkingen

𝑎𝑛𝑧^𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧^𝑛−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 = 0 waarbij 𝑎₀, 𝑎₁, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛∈ ℂ, 𝑎𝑛∕= 0.

September 4, 2009 7

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Binomiaalvergelijkingen

De binomiaalvergelijking 𝑧^𝑛 = 𝑐 (𝑐 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ∖{0})heeft precies 𝑛 verschillende oplossingen.

Hiernaast zijn getekend de 6 verschillende oplossingen van 𝑧⁶ = 1 + 𝑖.

September 4, 2009 8

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Exponenti¨ ele vergelijkingen

De exponenti¨ele vergelijking 𝑒^𝑧 = 𝑐 (𝑐 ∈ ℂ∖{0}) heeft oneindig veel verschillende oplossingen.

Hiernaast zijn getekend 5 verschillende oplossingen van 𝑒^𝑧 = 1 + 𝑖.

September 4, 2009 9

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Polynomiale vergelijkingen

𝑝(𝑧) = 𝑎𝑛𝑧^𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧^𝑛−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 waarbij 𝑎0, 𝑎1, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛∈ ℂ, 𝑎𝑛∕= 0

heet een polynoom vangraad 𝑛 met complexeco¨effici¨enten.

Wat is er bekend over de nulpunten van dit polynoom ? Anders gezegd:

Wat is er bekend over de oplossingen ofwortels van de polynomiale vergelijking 𝑝(𝑧) = 0 ?

September 4, 2009 10

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Een reststelling

Als 𝑝 een polynoom is van de graad 𝑛 ≥ 1 en 𝛼1∈ ℂ dan bestaat er een polynoom 𝑞 van de graad 𝑛 − 1 en een 𝑟 ∈ ℂ zodat 𝑝(𝑧) = (𝑧 − 𝛼₁)𝑞(𝑧) + 𝑟.

Hoofdstelling van de algebra

Als 𝑝 een polynoom is van de graad 𝑛 ≥ 1 dan heeft 𝑝 minstens ´e´en nulpunt 𝛼₁ ∈ ℂ.

Stelling

Als 𝑝 een polynoom is van de graad 𝑛 ≥ 1 en 𝛼1 is een nulpunt van 𝑝 dan bestaat er een polynoom 𝑞 van de graad 𝑛 − 1 zodat 𝑝(𝑧) = (𝑧 − 𝛼1)𝑞(𝑧).

September 4, 2009 11

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Herhaalde toepassing van deze stelling geeft : 𝑝(𝑧) = 𝑐(𝑧 − 𝛼1)(𝑧 − 𝛼2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑧 − 𝛼𝑛) voor zekere 𝑐, 𝛼1, 𝛼2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝛼𝑛∈ ℂ, 𝑐 ∕= 0.

September 4, 2009 12

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Partieel breuksplitsen

Als 𝑝 een polynoom is met re¨ele co¨effici¨enten en 𝛼 is een nulpunt van dit polynoom dan is 𝛼 ook een nulpunt van dit polynoom.

(𝑧 − 𝛼)(𝑧 − 𝛼) = 𝑧² + 2𝑅𝑒𝛼 𝑧 + ∣𝛼∣² en dus

𝑝(𝑧) = (𝑧² − 2𝑅𝑒𝛼 𝑧 + ∣𝛼∣²) ⋅ 𝑞(𝑧) waarbij 𝑞 een polynoom is van de graad 𝑛 − 2 met re¨ele co¨effici¨enten.

Ieder polynoom met re¨ele co¨effici¨enten kan ontbonden worden in lineaire en kwadratische factoren met re¨ele co¨effici¨enten.

September 4, 2009 13

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Appendices A, B en C

De representatie van re¨ele getallen.

Het oplossen van (on-)gelijkheden.

De absolute waarde van een getal.

Eerste en tweede graads vergelijkingen en hun meetkundige interpretaties.

September 10, 2009 1

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De representatie van re¨ ele getallen

Ieder rationaalgetal is te schrijven als een repeterende breuk.

1

8 = 0.1250 1

3 = 0.3

Ieder irrationaalgetal is niet te schrijven als een repeterende breuk.

√3 = 1.732050807568877293527446341505872366943 ⋅ ⋅ ⋅

√3 ≈ 1.7321

September 10, 2009 2

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Het noteren van verzamelingen

𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 1 < 𝑥 ≤ 4} = {2, 3, 4}

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} of

⟨𝑎, 𝑏⟩ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} (Open interval)

[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} (Gesloten interval)

[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 ≤ 𝑥} of

[𝑎, →⟩ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑎 ≤ 𝑥} (Halfopen interval)

September 10, 2009 3

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Rekenregels voor ongelijkheden

Laten 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ.

Als 𝑎 < 𝑏 dan 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐.

Als 𝑎 < 𝑏 en 𝑐 < 𝑑 dan 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.

Als 𝑎 < 𝑏 en 𝑐 > 0 dan 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐.

Als 𝑎 < 𝑏 en 𝑐 < 0 dan 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐.

Als 0 < 𝑎 < 𝑏 dan 1 𝑎 > 1

𝑏.

September 10, 2009 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De absolute waarde van een getal

Definitie

De absolute waarde van een ree¨el getal is het getal zonder zijn teken.

∣𝑎∣ =

{ 𝑎 als 𝑎 ≥ 0

−𝑎 als 𝑎 < 0

∣𝑎∣ = sign(𝑎) ⋅ 𝑎 waarbij

sign(𝑎) =

⎧

⎨

⎩

1 als 𝑎 > 0 0 als 𝑎 = 0

−1 als 𝑎 < 0

September 10, 2009 5

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Eigenschappen

∣𝑎∣ = √

𝑎² voor alle 𝑎 ∈ ℝ.

∣𝑎 𝑏∣ = ∣𝑎∣∣𝑏∣.

   𝑎 𝑏    = ∣𝑎∣

∣𝑏∣ voor alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ∕= 0.

∣𝑎^𝑛∣ = ∣𝑎∣^𝑛 voor alle 𝑎 ∈ ℝ∖{0} en 𝑛 ∈ ℤ∖{0}.

∣𝑎 + 𝑏∣ ≤ ∣𝑎∣ + ∣𝑏∣ voor alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

(De driehoeksongelijkheid)

September 10, 2009 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI