1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen

Rijen

1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen

a) Definitie en notatie

Een rij is een afbeelding van

ℕ

₀ in ℝ. We noteren een rij als

  u

_n

: , u u u

1 2

,

3

, ..., u

_n

, ...

.

Hierbij zijn

u u u

₁

,

₂

,

₃

,...

de termen van die rij, en

u

_n is de algemene term van de rij (de

n

-de term).

De onderindex bij een term geeft zijn rangnummer aan.

Voorbeeld: De rij der kwadraten is

  k

_n

:1, 4, 9, ..., n

²

, ...

. Hier is bijvoorbeeld

k 

₁₅

225

.

b) Bepalen van een rij

Een rij noemen we volledig bepaald als we elke term ervan kunnen berekenen. Dit kan op verschillende manieren.

Expliciet voorschrift

Bij sommige rijen kan je een formule f bepalen voor de algemene term:

u

n

 f n  

. Deze formule noemen we het expliciet voorschrift. Je kan elke term direct berekenen.

Voorbeeld: De rij bepaald door het voorschrift

 ^{1 2}  ¹ 

n

6

n n n

u  



^is

  u

_n

:1, 5, 14, 30, 55,...

.

Recursief voorschrift

Soms kan je bij een rij ook een formule vinden die toelaat een term te berekenen met behulp van één of meer voorgaande termen. Om de rij dan volledig vast te leggen moet je ook de waarde van de eerste term(en) kennen. De bijhorende formule noemen we de recursieformule.

Voorbeeld 1: De rij bepaald door u11; u_n1u_n



n1



² is

  u

_n

:1, 5, 14, 30, ...

. Voorbeeld 2: De rij

  a

n is gedefinieerd:

a

₁

 2 ; a

₂

 3 ; a

_n2

 2. a

_n

 a

_n1

 n

. Geef de eerste 7 termen van deze rij.

Stel

n  1  a

₃

 2. a

₁

 a

₂

  1 2.2 3 1 6    2

n   a

₄

 2. a

₂

 a

₃

  2 2.3 6 2 10    3

n   a

₅

 2. a

₃

 a

₄

  3 2.6 10 3 19    4

n   a

₆

 2. a

₄

 a

₅

  4 2.10 19 4    35 5

n   a

₇

 2. a

₅

 a

₆

  5 2.19 35 5    68

Belangrijke opmerking

Bij sommige rijen is het niet mogelijk een expliciet of een recursief functievoorschrift te vinden. Een eenvoudig voorbeeld is de rij van de priemgetallen

  p

_n

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

^.

c) Kortere notatie voor som en product

Voor een som gebruiken we volgende notatie: _{1 2}

1

...

n

n i

i

u u u u



   



⁽

^

is de Griekse Sigma).

Voor een product gebruiken we volgende notatie: _{1 2}

1

. . .

n

n i

i

u u u u







… ⁽



is de Griekse Pi).

Deze notaties zijn ingevoerd om lange sommen (en producten) op een kortere manier te noteren.

Het symbool

2

1

...

n

i n



spreek je uit als: ‘de som voor i gaande van

n

₁ ^tot

n

₂ van …’. Het aantal termen in deze som is

n

₂

  n

₁

1

(bovengrens – ondergrens + 1). Analoog voor het product.

Voorbeeld: ¹⁰⁰

 

1

2 1

i

i





 is een kortere notatie voor

1 3 5 7 9 11 ... 199        

10000



. Een ander belangrijk symbool is het faculteitssymbool ‘

!

’. Dit wordt gedefinieerd als

1

!

n

i

n i







^{. Zo is}

bijvoorbeeld

6! 1.2.3.4.5.6   720

. Dit symbool gaan we vaak gebruiken bij kansrekenen.

d) Rekenkundige rijen

Definitie

Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de vorige term met een constant getal

v

, dat we het verschil van die rij noemen.

Recursieve definitie:

  u

n is een R.R. met verschil

v



  n ℕ

₀

: u

_n1

 u

_n

 v

We kunnen een rekenkundige rij ook makkelijk expliciet definiëren, als we opmerken dat:

 

2 1

;

3 2 1

2 ;

4 3 1

3 ; ...

_{n n} 1 1

1 u   u v u  u    v u v u  u    v u v u  u

_

   v u n  v

. Expliciete definitie:

  u

n is een R.R. met verschil

v 

  n ℕ

0

: u

_n

  u

1

 n  1  v

Voorbeeld: Bepaal de duizendste term in de rij

  u

_n

: 6327, 6320, 6313, 6306, 6299, ...     

^. Dit is een rekenkundige rij met eerste term

u  

₁

6327

en verschil

v  7

^.

De duizendste term is dus:

u

₁₀₀₀

 u

₁

 999 v   6327 999.7   666

^.

Veralgemening:

  u

n is een R.R. met verschil

v

  k l ,  ℕ

0

: u

_k

  u

_l

 k l v  

Voorbeeld: Bepaal het verschil bij R.R.

  u

n , als je weet dat

u

₁₀₀

  200

^en

u

₁₅₀

 1200

^.

De formule geeft ons _{150 100} 1200 200

50 1200 200 50 28

u u v v v 50

         .

Deze formule laat toe rechtstreekser te werken (je hoeft niet altijd de eerste term te bepalen).

Eigenschappen

In verband met rekenkundige rijen kennen we twee heel belangrijke eigenschappen:

Eigenschap : a b c, , zijn drie opeenvolgende termen in een R.R. als en slechts als

2 a c

b 

 .

Opmerking:

2 a c

b 

 noemen we het rekenkundig gemiddelde van

a

^en

c

^.

Eigenschap : voor de som van de eerste

n

termen van een R.R. geldt: . ¹ 2

n n

u u

s n 

 .

e) Meetkundige rijen

Definitie

Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan het product van de vorige term met een constant getal q, dat we het quotiënt van die rij noemen (soms wordt hiervoor ook reden gebruikt).

Recursieve definitie:

  u

n is een M.R. met quotiënt

q 

  n ℕ

₀

: u

_n1

 u q

_n

.

We kunnen een meetkundige rij ook makkelijk expliciet definiëren, als we opmerken dat:

2 3 1

2 1. ; 3 2. 1. ; 4 3. 1. ; ... _{n n} 1. 1. ⁿ u u q u u qu q u u qu q u u _ qu q ^ .

Expliciete definitie:

  u

n is een M.R. met quotiënt

q 

 n ℕ₀:u_n u q₁. ^n1 Voorbeeld: Bepaal de twintigste term in de rij

  u

_n

: 1, 2, 4, 8, 16, ...   

.

Dit is een meetkundige rij met eerste term

u  

₁

1

en quotiënt q  2. De twintigste term is dus: u20 u q1. ¹⁹ 1.

 

2 ¹⁹ 524288.

Veralgemening:

  u

n is een M.R. met quotiënt

q



k l, ℕ0:u_k u q_l. ^{k l} Eigenschappen

In verband met meetkundige rijen zijn er twee heel belangrijke eigenschappen:

Eigenschap : a b c, , zijn drie opeenvolgende termen in een M.R. als en slechts als b² ac. Opmerking: voor positieve getallen noemen we

b  ac

het meetkundige gemiddelde van

a

^en

c

^. Eigenschap : voor de som van de eerste

n

termen van een M.R. geldt: ₁

1

. 1

n n

s u q q

 



^.

2) De limiet van een rij

a) Eindige limieten

Definitie

Een rij waarvan de waarden als

n

zeer groot wordt een vast getal naderen, noemen we convergent. Dit getal noemen we de limiet van die rij, en we zeggen ook dat de rij convergeert naar dat getal.

De definitie van een convergente rij

  u

n met limiet

a

^is:

0 0 0

lim

: : :

n n

n

u a

n n n n u a

 







         

⇕

ℝ ℕ ℕ

In woorden betekent dit het volgende: hoe klein je ook een positieve waarde



neemt, er bestaat altijd een rangnummer

n

₀ vanaf waar alle termen dichter bij

a

zullen liggen dan



.

Op de figuur zie je dit grafisch geïllustreerd.

Voorbeeld: Toon met behulp van de definitie aan dat 3

lim 3

1

n

n n

 

 ^.

We moeten dus bewijzen dat _{0 0 0} 3

: : : 3

1

n n n n n



^ n



         

ℝ ℕ ℕ 

Er geldt: 3 3 3 3 3 3

1 3 1 1 1

n n n

n n n n

  

   

    ^,

dus: 3 3 3

3 3

1 1

n n n

n n

    



         

  ^.

Kiezen we dus

n  ℕ

_{0 0} ^zodat n₀ ³





  , dan volgt onmiddellijk wat we moesten bewijzen!

b) Oneindige limieten

Veel rijen hebben geen eindige limiet. Soms worden rijen willekeurig groot (of klein). We spreken dan van oneindige limieten.

Definitie

De limiet van een rij is



: lim _n : ₀ : : _{0 n}

n u r n n n n u r

     ℝ  ℕ  ℕ    ^.

In woorden betekent dit: hoe groot je een reëel getal r ook neemt, er zal altijd een rangnummer

n

₀ bestaan vanaf waar alle termen groter zijn dan r. Soms is het hier praktisch om te eisen dat

r  ℝ

^₀^, maar dit vormt duidelijk geen beperking.

De limiet van een rij is : lim _n : ₀ : : _{0 n}

n u r n n n n u r

     ℝ  ℕ  ℕ    ^.

In woorden: hoe klein je een reëel getal r ook neemt, er zal altijd een rangnummer

n

₀ ^bestaan vanaf waar alle termen kleiner zijn dan r. Ook hier mag zonder probleem geeist worden dat

r  ℝ

₀^.

Voorbeeld: Toon met behulp van de definitie aan dat

2 lim 3

n

n

 

.

We moeten dus bewijzen dat

  r ℝ :   n

₀

ℕ :   n ℕ : n  n

₀

 u

_n

 r

.

Als

r  0

is het gestelde waar voor alle

n  ℕ

₀ want alle termen zijn positief. Stel dus dat r ℝ^₀.

Er geldt:

2

²

2 3 log 3

3

n

n

u

n

  r   r  r   n r

^,

Nemen we dus een n₀  ²log 3r dan volgt het gestelde onmiddellijk.

c) Uniciteit van limieten

Niet elke rij heeft een limiet. Zo kan een rij bijvoorbeeld alterneren (per term wisselen van teken), terwijl de absolute waarde van de termen toeneemt. Dit type rijen heeft geen limiet.

Voorbeeld: De rij

  u

_n

 0, 2, 4, 6, 8,10,...  

met voorschrift un ²

  

^{1 n} n¹



heeft geen limiet.

Stelling: Een rij kan hoogstens één limiet hebben.

Bewijs: Uit het voorgaande voorbeeld blijkt dat een rij alvast geen limiet kan hebben.

Stel nu dat de rij wel een limiet heeft, bijvoorbeeld

a  ℝ

₁ , en daarnaast nog een limiet

a  ℝ

₂ .

Dan geldt: lim _{1 0}: ₁ : _{1 1}

2 : 2

n n

n u a



 n n n n u a



    ℝ  ℕ  ℕ    

en ook: lim _{2 0}: ₂ : _{2 2}

2 : 2

n n

n u a



 n n n n u a



    ℝ  ℕ  ℕ     Nemen we nu

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt:

n  n

0

  n n

₁

 n  n

_{2 1 2}

2 2

n n

u a



u a



     

 u

_n

 a

₁

 u

_n

 a

₂

 

Dus:

a

₂

 a

₁

 a

₂

 u

_n

 u

_n

 a

₁

 a

₂

 u

_n

 u

_n

 a

₁

 u

_n

 a

₁

 u

_n

 a

₂

 

Dit geldt voor alle



 ℝ^₀, dus moet

a

₂

 a

₁

 0

, waaruit onmiddellijk volgt dat

a

₁

 a

₂.  Een rij heet begrensd als en slechts als er een M  ℝ^ bestaat zodat

  n ℕ

₀

: u

_n

 M

. Stelling: Een convergente rij is begrensd.

Bewijs: De rij is convergent dus heeft ze een unieke limiet

a  ℝ

. Neem een



 ℝ^₀, dan weten we wegens de definitie dat er een

n  ℕ

_{0 0} bestaat zodat

  n n

₀

: u

_n

  a 

. Hieruit volgt dat

0

:

_{n n n}

n n u u a a u a a  a

         

^.

Definieer dan

M  max  u

1

, u

2

, ... , u

_n0

,   a   1

, dan geldt

  n ℕ

₀

: u

_n

 M

. 

d) Enkele standaardlimieten

De constante rij

Stelling: Voor de constante rij

  u

n

 c

^{, met}

c  ℝ

^geldt lim _n

n u c

 

Bewijs:

   ℝ

^₀

:   n ℕ : u

_n

     c c c 0 

, waarmee het gestelde direct is bewezen. 

De machtrijen

Stelling: Voor de rijen

  u

n

 n

^k, met

k  ℕ

₀^{, geldt} lim _n

n u

  

Bewijs: We nemen een willekeurig groot getal r ℝ^. Dan geldt

n

^k

   r n

^k

r

^. Nemen we dus een

n

₀



^k

r

, dan geldt nn₀ u_n n^k r. 

Stelling: Voor de rijen

 

un ¹k

n , met

k  ℕ

₀, geldt lim _n 0

n u

 

Bewijs: We nemen een willekeurig klein getal



 ℝ^₀. Dan geldt 1 k 1 k 1

k n n

n



 

     .

Nemen we dus een ₀

1 n

k

 

, dan geldt ₀ 1

n 0 k

n n u

n



     . 

e) Rekenregels voor limieten

Rekenregels voor eindige limieten Stelling: Als lim _n

n u a

   ℝ ^en lim _n

n v b

   ℝ, dan geldt:



^lim 

n n

 ^lim

n

^lim

n

n

u v

n

u

n

v a b



 







 

 n

^lim  u

n

v

n



n

^lim u

n n

^lim v

n

a b



 







 



^lim 

n

^.

n

 ^lim

n

^{. lim}

n

^.

n

u v

n

u

n

v a b





 





1 1 1

lim lim

n^

u

n n

u

n

a



 

 

 

 

(op voorwaarde dat lim _n 0

n u a

   )



lim

lim lim

n n n

n

n n n

u u a

v v b







 

 

 

 

(op voorwaarde dat lim _n 0

n v b

   )

Bewijs: Uit het gegeven volgt:

1 0 1 1 1

lim

_n

: : :

_n

n

u a 

^

n n n n u a 



    ℝ   ℕ   ℕ    

2 0 2 2 2

lim

_n

: : :

_n

n

v b 

^

n n n n v b 



    ℝ   ℕ   ℕ    

Het zal er hier vooral op aankomen om



₁ ^en



₂ zo te kiezen dat we een elegant bewijs bekomen.

 Kies een

n  ℕ

1 zodat ₁

n 2

n n u a



    en een

n  ℕ

₂ zodat ₂

n 2

n n v b



    . Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt:

           

0 ^{n n n n n n} 2 2

nn  u v  a b  u a  v b  u a  v b   

  

. 

 Kies een

n  ℕ

₁ zodat ₁

n 2

n n u a



    en een

n  ℕ

₂ zodat ₂

n 2

n n v b



    . Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt:

           

0 ^{n n n n n n} 2 2

nn  u v  a b  u a  v b  u a  v b   

  

. 

 De rij

  v

n is convergent en dus begrensd. Er is dus een M ℝ^ zodat

  n ℕ

₀

: v

_n

 M

. Kies een

n  ℕ

₁ zodat ₁

n 2

n n u a

M

   



en een

n  ℕ

₂ zodat ₂

n

2

n n v b

a

    

^.

Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt:

0

. . . . . .

. . . .

. .

. .

2 2

n n n n n n

n n n n

n n n

n n u v a b u v a v a v a b u v a v a v a b

v u a a v b

M a

M a

  

      

   

   

   □

(in het geval dat

a  0

neem je u_n M





en dan is u v_{n n} u v_{n n} M M

 

    )

 Kies een

n

1

 ℕ

^zodat ₁ ^{1 2}

2 2

n n

n

a a

n n a u u

u a

        ,

en een

n  ℕ

₁

'

zodat

2

1

' .

n

2

n  n   a u   a

.

Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

1

' 

, dan geldt:

2

0

. . .

1 1 2 1 2

. . 2 2

n

n n n n

a

a a

n n a u

u a a u a u u a

  

 

         

. 

 Dit volgt uit het voorgaande, want

3 4

1 1 1

lim

ⁿ

lim

_n

. lim

_n

. lim .

n n n n

n n n

u a

u u a

v v v b b

   

   

   

   

   

^{. }

Rekenregels voor oneindige limieten Stelling: Als lim _n lim _n

n u n v

     , dan geldt: Symbolische notatie:



^lim 

n n



n

u v



       



^lim 

n

^.

n



n

u v



      ^{    .}



^{: lim} 

n



n

x x u

  ℝ



   x    

 0

: lim  .

_n



x

^ n

x u

  ℝ



    x ℝ

^0

: . x     



: lim 0

n

n

x x



u

 

    

 

ℝ

: x 0

 x  ℝ 



  ℕ k

0

:

_n^lim_

 

^{kun  }

en _n

^lim

_

   ^u

^{n k}

 ^{ }

⁰

:

  ℕ k

^k

  

en

 

^{  k}

Bewijs: Uit het gegeven volgt:

1 1 1 1

lim _n : : : _n

n u r n n n n u r

     ℝ  ℕ  ℕ   

2 2 2 2

lim _n : : : _n

n v r n n n n v r

     ℝ  ℕ  ℕ   

Het zal er hier dus vooral op aan komen de

r

₁ en

r

₂ zo te kiezen dat we een elegant bewijs krijgen.

 Kies een

n  ℕ

1 ^zodat ₁ n 2

nn u  r en een

n  ℕ

₂ ^zodat ₂

n 2 nn v  r .

Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt: ₀

2 2

n n

r r

nn u v   r. 

 Kies een

n  ℕ

1 zodat nn₁u_n  r en een

n  ℕ

₂ zodat nn₂v_n  r . Nemen we dan

n

0

 max  n n

1

,

2



, dan geldt: nn₀u v_n. _n  r. r r

(merk op dat we hier

r  0

eisen, maar dat vormt geen beperking). 

 Kies een

n

0

 ℕ

^zodat

n  n

₀

 u

_n

  r x

, dan geldt

n  n

₀

  x u

_n

    x r x r

^. _

 Kies een

n  ℕ

0 ^zodat n n₀ u_n ^r

   x , dan geldt ₀ . _n .r

n n x u x r

   x  . 

 Als

x  0

^{, dan is} 0

n

x

u  van zodra de termen van

u

_n positief zijn en dus geldt

lim 0

n n

x



u

 

  

 

^. Als

x  0

, kies dan een willekeurige



 ℝ₀^ en een

n  ℕ

₀ ^zodat _{0 n}

x

n n u

   

^.

Daaruit volgt onmiddellijk dat ₀ 1

n

n n

x x

n n u

u x u

 

  



    . 

 Kies een

n  ℕ

0 ^zodat nn₀ u_n r^k , dan geldt

n  n

₀



^k

u

_n

 r

^. _ Kies een

n

₀

 ℕ

^zodat nn₀ u_n ^k r , dan geldt 0

 

k

nn  un r.  Volledig analoog kan je ook de volgende uitdrukkingen bewijzen:



        

^

    ^{    .}



    ^{    .}

^

  x ℝ

^0

: . x     



^{  x ℝ : x    }  

^

  x ℝ

^0

: . x     



  x ℝ

0^

: . x     

  k ℕ0:

 

  ^k (

k

oneven)



: x 0

  x 

ℝ 

^  k ℕ0:

 

  ^k (

k

^even)



^{  k}

^ℕ0

^: 

^k

^{  } 

⁽

^k

^oneven)

Al zijn sommige limieten per definitie onbepaald, toch bestaan er soms eenvoudige rekentechnieken om de onbepaaldheden op te heffen.

Voorbeeld 1: Bereken _n

^{lim 4}

_

 ⁿ

³

^{ 3 n}

²

^{ 5 n  6}  ^{( )}

^*

Enerzijds: *

lim 4

³

lim 3

²

lim 5 li m 6 6

n

n

n

n

n

n

n

   

          

, wat onbepaald is. Maar:

 

3 3

2 3 2 3

3

2 3

3 5 3 3 5 3

lim 4 . 1 lim 4 . lim 1

4 4 2 4 4 2

3 5 3

lim 4 . lim 1 lim lim lim . 1 0 0 0

4 4 2

* n n n

n n n n n

n n

n n n n n n

n n n n

  

    

     

                   

 

              

Op deze laatste manier is de onbepaaldheid opgeheven.

Algemeen: Bij het berekenen van de limiet voor een veeltermuitdrukking, kijk je enkel naar de hoogstegraadsterm (zie ook: asymptotisch gedrag in de cursus elementaire functies).

Voorbeeld 2: Bereken

2

2

3 5 1

lim (*)

2

n

n n



n

 



Enerzijds:

 

 

2 2

2 2

lim 3 5 1 lim 3 lim 5 lim 1 1

lim lim 2 2

* lim

2

n n n n

n n

n

n n n n

n n

   

 



       

  

  

 : onbepaald. Maar:

 

 

 

  ^{ }

2 2

2 2

2

lim 3 5 1 lim 3

lim 2 li

l m 3

* 1

m

i

n n

n n

n

n n

zie vb n

n n

n

 

 



 

 



 2

n lim 3 3

n

 

 

 

 

 

Algemeen: Bij het berekenen van de limiet voor een rationale uitdrukking, kijk je enkel naar de hoogstegraadstermen in teller en noemer.

Voorbeeld 3: Bereken

li m 4

²

2 ( )

*

n

n n n



 

 

2 2 2

lim 4 2 lim 4 lim 2 lim 4 l 2

*

im

n

n n n

n

n n

n

n

n

n n

n

n

    

            

, maar:



²

 

²



2

4 2 . 4 2

lim l m

4 2

* i

n n

n n n n n n n

n n n

 

   

 

  2 n_{. 1} ¹ ₁ ^2.



^{1 0 11}



¹⁴

4n

 

   

 

 

 

.

Algemeen: Onbepaaldheden van de vorm

  

kan je soms ook wegwerken door te vermenigvuldigen met de toegevoegde vorm (vooral handig bij wortelvormen).

3) Enkele eenvoudige convergentiestellingen

a) Convergentie bij meetkundige rijen

Het is duidelijk dat rekenkundige rijen divergeren van zodra het verschil van de rij verschillend van nul is. Is het verschil

v  0

dan zal lim _n

n u

   ^{en is}

v  0

dan zal lim _n

n u

  ^.

Om de convergentie van meetkundige rijen te bespreken hebben we enkele stellingen nodig.

De ongelijkheid van Bernouilli

Stelling:      x



1,



, n ℕ0: 1



x



ⁿ  1 nx Bewijs: We bewijzen de stelling met behulp van inductie.

De stelling klopt voor

n  1

want



^1x



^{1  1 1.x.}

Neem nu aan dat ze klopt voor

n

, we bewijzen dat ze dan ook geldt voor

n  1

:



^1x



^{n1  }



^{1 x}

 

^{n 1x}

 

^{ 1 nx}



^1x



^{ 1}



^n1



^{xnx2  1}



^n1



^{x. □}

Convergentie van meetkundige rijen

Stelling: Met

a  ℝ

geldt:

a  1 lim

ⁿ

n

a





 

1

a  lim

ⁿ

1

n

a





 1 a 1

   lim

ⁿ

0

n

a





 1

a   lim

ⁿ

n

a



 bestaat niet Bewijs: We bewijzen deze vier gevallen apart:

 Neem

a  1

. We willen bewijzen dat  r ℝ: n₀ ℕ: n ℕ:nn₀ aⁿ r We weten dat

^a

ⁿ

^{ }  ¹  ^{a  1}  

ⁿ_Bern

^{ }

_.

^{1 n a}  ^{ 1} 

, dus als we stellen dat ₀ 1

1 n r

a

 

 , is bewezen dat:

  ¹

1 1 1

1

n

r

a n a

a

     

  ^{a  1}  ^{ r}

^.

 Neem

a  1

. Dan is de rij constant 1 en dus de limiet gelijk aan de constante 1.

 Neem

   1 a 1

^{. Als}

a  0

dan is de rij constant

0

en dus de limiet gelijk aan de constante

0

. In het andere geval geldt

0  a  1

, noem dan

1

1

b  a 

. Dan geldt dus wegens geval  dat:

1 1

lim lim lim 0

lim

n n

n n

n n n

n

a a

b b

  



   

^{(want 1} 0

 ) en dus ook

lim

ⁿ

0

n

a





^.

 Neem

a   1

. Als

a   1

dan is de rij afwisselend 1 en 1 en dus de limiet onbestaande.

Als

a   1

dan is

a  1

en dus wegens het eerste geval lim ⁿ lim ⁿ

n a n a

    . Maar ook hier is het een alternerende rij (teken wisselt telkens) dus is de limiet onbestaande. □

Opmerking: De eerste stelling kan je ook bewijzen met behulp van logaritmen:

Als

r  0

klopt dit altijd omdat a ⁿ 0. Neem dus

r  0

. Neem n₀  ^alogr, dan geldt:

0 log

:

0 ^{n n n a r n}

n n n a a a a a r

  ℕ       

.

Over het algemeen wordt dit bewijs niet aanvaard omdat de stelling ook wordt gebruikt bij het bewijs dat de exponentiële functie stijgend is als

a  1

, waar je hier op steunt.

Gevolg: Een meetkundige rij

  u

n met quotiënt q en eerste term

u 

₁

0

convergeert   1 q 1. Bewijs: Voor die rij geldt _{n 1}

.

^{n 1}

u

^{1 n}

u u q q

q





 

^{, zodat}

lim

_n ¹

lim

ⁿ

n n

u u q



 q

 waaruit het gestelde onmiddellijk volgt wegens de vorige stelling.

De som van alle termen van een meetkundige rij

We weten reeds dat voor de som van de eerste

n

termen van een meetkundige rij

  u

n ^met

quotiënt q en eerste term

u 

₁

0

geldt dat ₁

1 1

n n

s u q q

 



^.

De som van alle termen is dus n

^lim

ⁿ n

^lim

¹

¹ ₁

ⁿ

₁

¹

 ¹

n

^lim

ⁿ



u

s u q q

q q

  

   

 

^.

Uit de vorige paragraaf volgt dan dat ¹

1

1 1

n 1

i

q S u u

q





     



 ^. In alle andere gevallen (dus

q  1

) divergeert de som.

Voorbeeld 1:

0,9

0,999... 0,9 0, 09 0, 009 ... 1 1 0,1

     



Voorbeeld 2: Men construeert een spiraal op de volgende manier:

Teken een halve cirkel met straal 2 cm; aan een eindpunt hiervan teken je een halve cirkel met straal 1 cm; aan dit nieuwe eindpunt teken je weer een halve cirkel met straal 0,5 cm; … dit proces herhaalt zich door telkens weer de straal te halveren (zie figuur). Hoe lang is de spiraal?

De halve cirkels vormen een MR met ₁ 2 .2 2 2

u 







en 1

q  2, dus 2 1 1 2 4 l







 ^.

b) Enkele aanvullende definities

 Een rij

  u

n is stijgend

   n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1

 Een rij

  ^u

_n is strikt stijgend

   n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1

 Een rij

  u

n is dalend

   n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1

 Een rij

  ^u

_n is strikt dalend

   n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1

 Een rij

  u

n is constant

   n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1

 Een rij

  u

n is alternerend

   n ℕ

₀

: u u

_n



_n1

 0

 Een rij

  u

n is monotoon

   u

n is stijgend of dalend

 Het getal

b  ℝ

is een majorant van de rij

  u

n

   n ℕ

₀

: u

_n

 b

 Het getal

b  ℝ

is een minorant van de rij

  ^u

_n

   ⁿ ℕ

₀

^{: u}

_n

 ^b

In plaats van majorant en minorant worden soms ook bovengrens en ondergrens gebruikt.

 Een rij

  u

n is naar boven begrensd

   u

n heeft minstens één majorant

 Een rij

  u

n is naar onder begrensd

   u

n heeft minstens één minorant

 Een rij

  u

n is begrensd

   u

n is naar boven begrensd en naar onder begrensd

 Het getal

b  ℝ

is het supremum van de rij

  u

n

 b

is een bovengrens van

  u

n

én

   ℝ

^0

,   n

0

ℕ

0

: b    u

_n0

 b

 Het getal

b  ℝ

is het infimum van de rij

  u

n

 b

is een ondergrens van

  u

n

én

   ℝ

^0

,   n

0

ℕ

0

: b  u

_n0

  b 

Het supremum is de kleinste bovengrens en het infimum is de grootste ondergrens van een rij.

Men kan bewijzen dat elke naar boven begrensde rij een supremum bezit en dat elke naar onder begrensde rij een infimum bezit. Het bewijs van deze stelling valt buiten het bestek van deze cursus.

Voorbeeld: We beschouwen de rij

 

^{4, ,7 10, ...}

n 2 3

u  met 1

n 3

u  n .

  ^u

_n is naar boven begrensd want

  n ℕ

₀

: u

_n

 4

. 4 is de kleinste bovengrens van deze rij en dus het supremum van deze rij. Er bestaat geen kleinere bovengrens want

u 

₁

4

, dit is het maximum van de rij.

  u

n is ook naar onder begrensd (en dus begrensd) want ₀ 1 : _n 3 3

n u

 ℕ   n . Dat

3

ook het infimum is van deze rij volgt uit:

0

1 1 1

: 3 3 3 n

n n

  



 ℝ         . Dus met ₀ 1

n ^



^{is 3}^un0  ³



.

Omdat

 

1

1 1 1 1 1

3 3 0

1 1 1

n n

u u

n n n n n n



    

                   

is ze strikt dalend.

c) Convergentiekenmerk voor monotone rijen

Stelling: Een stijgende rij die naar boven begrensd is, convergeert.

Bewijs: Zij

  ^u

_n een naar boven begrensde rij, met supremum

b

. We bewijzen dat lim _n

n u b

  . Het getal

b

is een bovengrens voor de rij

  u

n dus geldt:

   n ℕ

₀

: u

_n

 b

Omdat

b

het supremum is van de rij geldt:

0

, n

0 0

: b u

_n0

b



^



  ℝ   ℕ   

. Maar de rij is ook stijgend, dus

  n ℕ

₀

: u

_n

 u

_n1.

Vatten we deze drie gegevens samen dan krijgen we:

0: n0 : n :n n0



^

 ℝ  ℕ  ℕ 

   b  u

_n

 b    b  u

_n

  b   u

_n

  b 

lim _n

n u b

   □

Stelling: Een dalende rij die naar onder begrensd is, convergeert.

Bewijs: Analoog aan de vorige stelling bewijs je dat elke zulke rij convergeert naar haar infimum.