Stelsels differentiaalvergelijkingen
Inhomogene lineaire stelsels
Terug naar de differentiaalvergelijking:
dx
dt = P(t)x + g(t) (1)
met als bijbehorende homogene vergelijking:
dx
dt = P(t)x (2)
Stelling
Is V de oplossingsverzameling van (1), Vh de oplossings verzameling van (2) en xp ´e´en oplossing van (1) dan is
V = {x = xh + xp| xh∈ Vh}
xp heet eenparticuliere oplossingvan (1)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 2
We laten c vari¨eren met t en onderzoeken waar c(t) aan moet voldoen wil x = φ(t) met φ(t) = Ψ(t)c(t) een oplossing zijn van (1).
Er moet gelden: φ0(t) = P(t)φ(t) +g(t) ⇐⇒
Ψ0(t)c(t) + Ψ(t)c0(t) = P(t)Ψ(t)c(t) + g(t) voor α < t < β.
Omdat de kolommen van Ψ oplossingen zijn van (2) is Ψ0(t) = P(t)Ψ(t) zodat
P(t)Ψ(t)c(t) + Ψ(t)c0(t) = P(t)Ψ(t)c(t) + g(t) voor α < t < β.
Waaruit volgt dat Ψ(t)c0(t) = g(t) voor α < t < β.
We lossen nu eerst de matrixvergelijking Ψ(t)c0(t) = g(t) op en primitiveren daarna de gevonden vector c0(t).
Het vinden van ´e´en primitieve,zeg cp(t), is genoeg omdat we slechts
´
e´en particuliere oplossing zoeken.
Een particuliere oplossing is nu xp = φp(t) met φp(t) = Ψ(t)cp(t) en dus is de algemene oplossing van (2): x = φ(t) met
φ(t) = Ψ(t)c + φp(t) (c ∈ Rn).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 4
Type en stabiliteit van evenwichtsoplossingen
Beschouwen we een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen dx
dt = A x of een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen
dx
dt = A(x − x0)
met als evenwichtsoplossingen respectievelijk 0 en x0 dan beschrijven de volgende tabellen voor het geval n = 2 (het aantal rijen en kolom- men van A) het type en de stabiliteit van de evenwichtsoplossingen.
De volgende typen kritieke punten kunnen worden onderscheiden:
Eigenwaarden A Type kritieke punt 1. r1· r2> 0 knoop
2. r1· r2< 0 zadelpunt r1 = λ + i µ, r2 = r1
3. λ 6= 0 spiraalpunt
4. r1 = i µ, r2 = r1 centrumpunt
Onder 1., 2. r1, r2∈ R en onder 3., 4. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 6
Opmerkingen
Ad. 1. Als r1> r2> 0 heet de knoop ook welbronen als r1< r2< 0 welput.
Ad. 1. Als r1 = r2en de meetkundige en algebra¨ısche multipliciteit van r1 zijn gelijk dan heet de zuivere knoop ook welsterpunt. In het andere geval heet de onzuivere knoop ook wel gedegenereerde knoop ontaarde knoopof´e´entakkig knooppunt.
Ad. 4. Als λ > 0 heet het spiraalpunt ook welbronen als λ < 0 welput.
Met betrekking tot de stabiliteit maken we het volgende onderscheid:
Eigenwaarden A Stabiliteit 1. r1> r2> 0 Instabiel
2. r1< r2< 0 Asymptotisch stabiel 3. r1< 0 < r2 Instabiel
r1 = λ + i µ, r2 = r1
4. λ > 0 Instabiel
5. λ < 0 Asymptotisch stabiel 6. r1 = i µ, r2 = r1 Stabiel
Onder 1., 2., 3. r1, r2∈ R en onder 4., 5., 6. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 8
Niet-lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen
Niet-lineaire stelsels en stabiliteit
Hoewel we wel wat oplosmethoden hebben voor het oplossen van (stelsels) differentiaalvergelijkingen is het analytisch oplossen daarvan toch meestal niet mogelijk.
Door het toepassen van een numerieke methode kunnen we een benadering vinden van de exacte oplossing van een
beginwaardeprobleem.
Vaak is het echter niet nodig de exacte of de numerieke oplossing zo’n probleem te bepalen. Men heeft genoeg aan kwalitatieve informatie, waarmee het gedrag van de oplossing(-en) van een (stelsel)
differentiaalvergelijkingen in kaart gebracht kan worden.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 1
Autonome stelsels differentiaalvergelijkingen
We gaan nu onderzoeken of en hoe we iets kunnen zeggen van de oplossingen van het autonome stelsel differentiaalvergelijkingen
dx
dt = f(x) (3)
waarbij f : D → Rn waarbij D ⊂ Rn.
Opmerking
Merk op dat we in het geval dat f(x) = A(x − x0) waarbij A een n × n matrix is met det(A) 6= 0 en n = 2 de algemene oplossing hebben bepaald. Verder kunnen we ook faseplaatjes tekenen die inzicht in de algemene oplossing geeft.
In het vervolg nemen we aan dat n = 2 zodat (3) geschreven kan worden als:
dx dt dy dt
=
"
F (x , y ) G (x , y )
#
(4)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 3
Definitie
De punten x ∈ D waarvoor f(x) = 0 noemt men wel de kritieke puntenofkritische puntenvan (3).
Deze punten corresponderen met de constante oplossingen van (3).
Deze oplossingen worden ook welevenwichtsoplossingenof evenwichtspunten genoemd.
Opmerking
In het geval dat f(x) = A(x − x0) met det(A) 6= 0 is x = x0het enige evenwichtsoplossing of kritieke punt.
Definitie
De punten x ∈ D waarvoor f(x) = 0 noemt men wel de kritieke puntenofkritische puntenvan (3).
Deze punten corresponderen met de constante oplossingen van (3).
Deze oplossingen worden ook welevenwichtsoplossingenof evenwichtspunten genoemd.
Opmerking
In het geval dat f(x) = A(x − x0) met det(A) 6= 0 is x = x0het enige evenwichtsoplossing of kritieke punt.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
11 december 2018 4
