Stelsels diﬀerentiaalvergelijkingen

(1)

Stelsels differentiaalvergelijkingen

(2)

Oplossingen

Voor de eigenwaarden van A zijn er een drietal mogelijkheden.

1. Alle eigenwaarden van A zijn re¨eel en voor elke eigenwaarde van A is de meetkundige multipliciteit gelijk aan de algebra¨ısche multipliciteit.

2. A heeft complexe eigenwaarden, die in paren voorkomen, en voor elke eigenwaarde van A is de meetkundige multipliciteit gelijk aan de algebra¨ısche multipliciteit.

3. Er zijn eigenwaarden van A waarvoor de meetkundige multipliciteit kleiner is dan de algebra¨ısche multipliciteit.

(3)

Oplossingen, 1.

Er bestaat een basis {ξ⁽¹⁾, ξ⁽²⁾, . . . , ξ⁽ⁿ⁾} van Rⁿbestaand uit eigenvectoren van A.

Zijn r₁, r₂, · · · , r_nde bijbehorende eigenwaarden en

x^{(i )}(t) = e^rⁱ^tξ^{(i )} (i = 1, 2, · · · , n) dan is {x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾} een stelsel fundamentaaloplossingen van (2).

Namelijk

Wx⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾ (0) = det(ξ⁽¹⁾, ξ⁽²⁾, · · · , ξ⁽ⁿ⁾) 6= 0. De algemene oplossing van (2) wordt nu gegeven door:

x(t) = c1e^r¹^tξ⁽¹⁾+ c2e^r²^tξ⁽²⁾ + · · · + cne^rⁿ^tξ⁽ⁿ⁾ (c1, c2, · · · , cn∈ R).

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

4 december 2018 11

(4)

Oplossingen, 1.

Namelijk

Wx⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾ (0) = det(ξ⁽¹⁾, ξ⁽²⁾, · · · , ξ⁽ⁿ⁾) 6= 0.

De algemene oplossing van (2) wordt nu gegeven door:

(5)

Oplossingen, 1.

Namelijk

Wx⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾ (0) = det(ξ⁽¹⁾, ξ⁽²⁾, · · · , ξ⁽ⁿ⁾) 6= 0.

De algemene oplossing van (2) wordt nu gegeven door:

4 december 2018 11

(6)

Veronderstel dat n = 2.

Als r1< r2< 0 dan lim

t→∞||v(t)|| = 0 voor alle oplossingen v : R → R² van (2).

Het evenwichtspunt wordt een asymptotisch stabiele knoop (put) genoemd.

Als r₁> r₂> 0 dan lim

t→∞||v(t)|| = ∞ voor alle oplossingen v : R → R² van (2) verschillend van de evenwichtsoplossing. Het evenwichtspunt wordt een instabiele knoop (bron)genoemd. Als r₁< 0 < r₂heet het evenwichtspunt eeninstabiel zadelpunt.

(7)

t→∞||v(t)|| = ∞ voor alle oplossingen v : R → R² van (2) verschillend van de evenwichtsoplossing.

Het evenwichtspunt wordt een instabiele knoop (bron)genoemd.

Als r₁< 0 < r₂heet het evenwichtspunt eeninstabiel zadelpunt.

4 december 2018 12

(8)

t→∞||v(t)|| = ∞ voor alle oplossingen v : R → R² van (2) verschillend van de evenwichtsoplossing.

Het evenwichtspunt wordt een instabiele knoop (bron)genoemd.

Als r₁< 0 < r₂heet het evenwichtspunt eeninstabiel zadelpunt.

(9)

Stelsels differentiaalvergelijkingen

(10)

We zijn op zoek naar een stelsel fundamentaaloplossingen van dx

dt = Ax (1)

Wanneer er een basis is van Rⁿbestaand uit eigenvectoren dan kunnen we dit stelsel vinden.

Hoe vinden we zo’n stelsel als er complexe eigenwaarden zijn ? Of als er geen basis van Rⁿ bestaat bestaand uit eigenvectoren ?

(11)

Oplossingen, 2.

Hoe vinden we re¨eelwaardige fundamentaaloplossingen als A complexe eigenwaarden heeft?

Stelling

Laat r = λ + i µ (λ, µ ∈ R, µ 6= 0) een eigenwaarde zijn van A en ξ = u + i v (u, v ∈ Rⁿ) een bijbehorende eigenvector.

Dan is r = λ − i µ ook een eigenwaarde van A en ξ = u − i v is een bijbehorende eigenvector.

8 december 2018 2

(12)

Laat x(t) = e^rtξ met r = λ + i µ en ξ = u + i v een oplossing zijn van (1) met functiewaarden in C².

Omdat dx

dt = d(Re(x) + i Im(x))

dt = dRe(x)

dt + idIm(x) dt en

Ax = A(Re(x) + i Im(x)) = ARe(x) + i AIm(x) zijn

dRe(x)

dt = ARe(x) en dIm(x)

dt = AIm(x)

zodat Re(x) en Im(x) twee oplossingen van (1) met functiewaarden in R².

(13)

Hieruit volgt: als

x⁽¹⁾(t) = Re(e^rtξ)(t) = e^λt{cos(µt)u − sin(µt)v} en x⁽²⁾(t) = Im(e^rtξ)(t) = e^λt{sin(µt)u + cos(µt)v}

dan zijn x⁽¹⁾ en x⁽²⁾ oplossingen van (1).

Opmerkingen

De eigenwaarde r met bijbehorende eigenvector ξ geven op dezelfde manier x⁽¹⁾ en −x⁽²⁾ als oplossingen van (1).

Het is gemakkelijk na te gaan dat {u, v} een stelsel lineair onafhankelijke vectoren is.

Omdat x⁽¹⁾(0) = u en x⁽²⁾(0) = v hebben we hiermee een stelsel re¨ele, onafhankelijke oplossingen gevonden van (1).

8 december 2018 4

(14)

Als r = λ + i µ λ, µ ∈ R, µ 6= 0 en λ < 0 dan lim_t→∞||v(t)|| = 0 voor alle oplossingen

v : R → R² van (1).

De evenwichtsoplossing wordt een asymptotisch stabiel spiraalpunt (put) genoemd.

Als λ > 0 dan lim

t→∞||v(t)|| = ∞ voor alle oplossingen x : R → R²van (1) verschillend van de evenwichtsoplossing.

De evenwichtsoplossing wordt een instabiel spiraalpunt (bron) genoemd.

(15)

Alst r = λ + i µ µ ∈ R, λ = 0 en µ 6= 0.

Dan is ||v(t)|| begrensd voor alle t ∈ R en alle oplossingen v : R → R² van (1).

De evenwichtsoplossing wordt een neutraal stabiel centrumpunt genoemd.

8 december 2018 6

(16)

We gaan op zoek naar een stelsel fundamentaaloplossingen van (1) voor het geval dat voor sommige eigenwaarden van A de meetkundige multipliciteit kleiner is dan de algebra¨ısche multipliciteit.

(17)

Oplossingen, 3.

We vinden nu niet n fundamentaaloplossingen door de eigenwaarden van A en een basis van de bijbehorende eigenruimten te bepalen.

Om een idee op te doen veronderstellen we eerst n = 2.

Laat r1 de enige eigenwaarde zijn van A en {ξ⁽¹⁾} een basis van de bijbehorende eigenruimte.

Laat x⁽¹⁾(t) = e^r¹^tξ⁽¹⁾. Dan is x⁽¹⁾ een oplossing van (1).

We proberen een tweede oplossing te vinden.

Een voor de hand liggende keuze is x(t) = te^rtξ.

8 december 2018 8

(18)

Omdat x⁰(t) = (1 + tr )e^rtξ en A x = te^rtAξ werkt dit niet.

Op grond van de vorm van x⁰(t) proberen we x(t) = e^rt(η + tξ) Dit levert wel wat op.

Nu is x is nu alleen een oplossing van (1) als (A − r1I)ξ = 0 en

(A − r1I)η = ξ.

(19)

ξ moet een eigenvector zijn van A dus kiezen we ξ = ξ⁽¹⁾.

Het is mogelijk om aan te tonen dat het tweede stelsel inderdaad een oplossing η heeft.

{η, ξ⁽¹⁾} een stelsel lineair onafhankelijke vectoren omdat η /∈ N U L(A − r1I).

Is x⁽²⁾(t) = (η + tξ⁽¹⁾)e^r¹^t dan is

W [x⁽¹⁾, x⁽²⁾](0) = det([ξ⁽¹⁾η]) 6= 0 en dus is {x⁽¹⁾, x⁽²⁾} een stelsel fundamentaaloplossingen van (1)

η heet eengegeneraliseerde eigenvector bij de eigenwaarde r₁.

8 december 2018 10