Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Ook nu veronderstellen we steeds dat de, in het stelsel differentiaalvergelijkingen

dx

dt = P(t)x + g(t)

voorkomende matrixfunctie P : (α , β) → R^n×n en vectorfunctie g : (α , β) → Rⁿ continu zijn op (α , β).

Dat zal niet meer worden vermeld.

Definitie

Laten x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾oplossingen zijn van dx

dt = P(t)x (1)

en

X(t) = h

x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), · · · , x⁽ⁿ⁾(t)i .

Dan wordt de Wronskiaanvan x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾gegeven door:

Wh

x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾i

(t) = det(X(t)).

Definitie

We kunnen nu eenvoudig controleren of {x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t), · · · , x⁽ⁿ⁾(t)}

een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is voor alle t ∈ (α , β).

Dit kan door te onderzoeken of Wx⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾ (t0) 6= 0 voor zekere t0∈ (α , β).

Is dit het geval dan heet {x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x⁽ⁿ⁾} een stelselfunda- mentaaloplossingen van (1) op (α , β).

De matrix X(t) wordt in dit geval genoteerd als Ψ(t) en heet een fundamentaalmatrix van (1).

Opmerking

Laten x, ˆx : (α , β) → Rⁿ de oplossingen zijn van dx

dt = P(t)x + g(t)

die voldoen aan de beginvoorwaarden x(t₀) = x₀ en ˆx(t₀) = ˆx₀. Dan is v = ˆx − x, met v(t0) = ˆx0 − x0, een oplossing van

dx

dt = P(t)x

Is ˆx0≈ x0 dan zou je graag willen dat ˆx(t) ≈ x(t) voor t0< t < β.

Of: als ||v(t0)|| = ||ˆx0 − x0|| ‘klein’ is dan is ook

||ˆx(t) − x(t)|| ‘klein’ voor t0< t < β.

Een kleine fout in de beginvoorwaarde heeft dan geen ‘grote’ gevolgen voor de oplossing die wordt gevonden.

We veronderstellen dat P(t) onafhankelijk is van t (P(t) = A) en gaan op zoek naar een stelsel fundamentaaloplossingen van

dx

dt = Ax (2)

Evenwichtsoplossingen

x : R → Rⁿ is een evenwichtsoplossing of -punt van (2) ⇐⇒

dx(t)

dt = 0 voor t ∈ R ⇐⇒

x(t) = c voor t ∈ R en Ac = 0 ⇐⇒

x(t) = c voor t ∈ R en zekere c ∈ N UL(A).

In het vervolg veronderstellen we meestal det(A) 6= 0 zodat de nuloplossing de enige evenwichtsoplossing is van (2).

Verder vragen we ons wat er gevonden kan worden over ||v(t)|| voor

n

Fasevlak

Deze vraag kan worden beantwoord en gevisualiseerd voor n = 2.

Een visualisatie bestaat uit een richtingsveld en/of grafieken van een aantal oplossingskrommen (banen) getekend in het zogenaamde fasevlak. De lijnelementen van het richtingsveld hebben in x de richting van de vector Ax (x ∈ R²).

De oplossingskrommen hebben als vectorvoorstellingen x = x(t) (t ∈ R).

Laat x : R → Rⁿgegeven door x(t) = e^rtξ een oplossing zijn van (2).

Dan dx(t)

dt = Ax(t) voor t ∈ R ⇐⇒

r e^rtξ = e^rtAξ voor t ∈ R ⇐⇒

e^rt{Aξ − r ξ} = 0 ⇐⇒

Aξ = r ξ ⇐⇒

r is een eigenwaarde van A en ξ is een eigenvector van A bij deze eigenwaarde.